北京高考立体几何汇编 9页

北京近年高考立体几何试题汇编 ‎1．(2009 北京理科卷 16)‎ ‎ 如图，在三棱锥中，底面，‎ 点，分别在棱上，且 ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；‎ ‎（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说 ‎ 明理由。‎ 方法提示:‎ 方法一：几何法(利用线线关系，线面关系，面面关系)。‎ ‎（Ⅰ）判定线面垂直的主要方法：‎ ‎　 （１）线面垂直的定义；‎ ‎　 （２）线面垂直的判定定理；‎ ‎　 （３）作定理用的正确命题：‎ ‎　　如果两条平行直线中的一条垂直于另一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；‎ ‎　 （４）面面垂直的性质定理；‎ ‎　 （５）作定理用的正确命题：‎ ‎　　如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。‎ ‎（Ⅱ）求线面角的基本步骤：‎ ‎　 （１）找角；‎ ‎　 （２）求角。‎ ‎（Ⅲ）求面面角的基本步骤：‎ ‎　 （１）找角；‎ ‎　 （２）求角（或说明原因）。‎ 方法二：向量法。‎ ‎　 （１）建立适当的直角坐标系，并表示有关点的坐标；‎ ‎　 （２）表示有关线段所对应的向量；‎ ‎　 （３）利用向量的平行或垂直来判断直线的平行或垂直，从而判定线线、线面、面面的 位置关系；或者利用向量的运算求夹角或距离。‎ ‎2．(2009北京文科卷16)‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。‎ ‎3. （2008 北京理科卷 16 文科无第三问）‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.‎ ‎（Ⅰ）求证：PC⊥AB；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；‎ ‎（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.‎ ‎4. （2007北京理科卷16,文科无第三问）‎ 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成角的最大值．‎ ‎5.（2006年北京理科卷17,）‎ 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的大小.‎ ‎1. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.‎ 又，∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，‎ ‎∴，‎ 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形，∴，‎ ‎∴在Rt△ABC中，，∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中，，‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）∵DE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，‎ 又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角，‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设，由已知可得 ‎ .‎ ‎ （Ⅰ）∵，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴，∴BC⊥AP.‎ 又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎（Ⅲ）同解法1.‎ ‎2【解法1】‎ ‎（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎ ∴OE//PD，，又∵，‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ ‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎ ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设 则，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，‎ ‎ 设AC∩BD=O，连接OE， ‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎3. 解法一：‎ （I） 取AB中点D，连结PD，CD.‎ ‎∵AP=BP，‎ ‎∴PD⊥AB.‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴CD⊥AB.‎ ‎∵PD∩CD=D,‎ ‎∴AB⊥平面PCD.‎ ‎∵PC∩平面PCD.‎ ‎∴PC⊥AB.‎ ‎（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，‎ ‎∴△APC≌△BPC.‎ 又PC⊥BC.‎ ‎∴PC⊥BC.‎ 又∠ACB=90°,即AC⊥BC.‎ 且AC∩PC＝C,‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ 取AP中点E，连结BE，CE.‎ ‎∵AB＝BP，‎ ‎∴BE⊥AP.‎ ‎∵EC是BE在平面PAC内的射影.‎ ‎∴CE⊥AP.‎ ‎∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.‎ 在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，‎ ‎∴sin∠BEC=‎ ‎∴二面角B-AP-C的大小为 aresin ‎(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，‎ ‎∴平面APB⊥平面PCD.‎ 过C作CH⊥PD，垂足为H.‎ ‎∵平面APB∩平面PCD＝PD，‎ ‎∴CH⊥平面APB.‎ ‎∴CH的长即为点C到平面APB的距离，‎ 由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，‎ 且AB∩AC＝A.‎ ‎∴PC⊥平面ABC.‎ CD平面ABC.‎ ‎∴PC⊥CD.‎ 在Rt△PCD中，CD＝‎ ‎∴PC＝‎ ‎∴CH=‎ ‎∴点C到平面APB的距离为 解法二：‎ ‎（Ⅰ）∵AC＝BC，AP＝BP，‎ ‎∴△APC≌△BPC.‎ 又PC⊥AC.‎ ‎∴PC⊥BC.‎ ‎∵AC∩BC＝C，‎ ‎∴PC⊥平面ABC.‎ ‎∵AB平面ABC，‎ ‎∴PC⊥AB.‎ ‎（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.‎ 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.‎ 设P（0，0，1）.‎ ‎∵｜PB｜＝｜AB｜＝2，‎ ‎∴t＝2，P（0，0，2）.‎ 取AP中点E，连结BE，CE.‎ ‎∵｜AC｜＝｜PC｜，｜AB｜＝｜BP｜,‎ ‎∴CE⊥AP，BE⊥AP.‎ ‎∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.‎ ‎∵E（0，1，1），‎ ‎∴cos∠BEC=‎ ‎∴二面角B-AP-C的大小为arecos ‎（Ⅲ）∵AC=BC=PC，‎ ‎∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离.‎ 如（Ⅱ）建立空间直角坐标第C-xyZ.‎ ‎∵‎ ‎∴点H的坐标为（）.‎ ‎∴‎ ‎∴点C到平面APB的距离为 ‎4. 解法一：‎ ‎（I）由题意，，，‎ 是二面角是直二面角，‎ 又二面角是直二面角，‎ ‎，又，‎ 平面，‎ 又平面．‎ 平面平面．‎ ‎（II）作，垂足为，连结（如图），则，‎ 是异面直线与所成的角．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 又．‎ 在中，．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（III）由（I）知，平面，‎ 是与平面所成的角，且．‎ 当最小时，最大，‎ 这时，，垂足为，，，‎ 与平面所成角的最大值为．‎ 解法二：‎ ‎（I）同解法一．‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（III）同解法一 ‎5. 解法一：‎ ‎（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD ‎∴AB是PB在平面ABCD上的射影 又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥PB ‎（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO。‎ ‎∵ABCD是平等四边形，‎ ‎∴O是BD的中点，‎ 又E是PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB 又PB平面AEC，EO平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC。‎ ‎（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为 又 ‎∴‎ ‎∴OE⊥AC，OG⊥AC ‎∴∠EOG是二面角E-AC-B的平面角。‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴二面角的大小为