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- 2021-05-13 发布
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2016年全国高考理科数学模拟试题四
一、选择题(每题5分,共60分)
1.全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位,则复数对应的点位于复平面内的( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.以下函数,在区间内存在零点的是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数的导函数的图像是一条如图所示的直线,直线与轴交于点,则与的大小关系为( )
A. B. C. D.无法确定
5.“为第一象限角”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知点在抛物线上,点到轴的距离与到焦点的距离之比为,则点到轴的距离为( )
A. B. C. D.
7.某同学在借助计算器求方程的近似数(精确度)时,构造函数,得出,且,他用“二分法”又取了个的值,计算其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解为.那么他所取的个值中的第二个值为( )
A. B. C. D.
8.安排甲、乙、丙在周一至周五这五天值班,每天安排一人,每人至少值班一天,则不同的安排方案有( )
A. B. C. D.
9.在中,有正弦定理:定值,这个定值就是的外接
圆的直径.如下图所示,中,已知,点在直线上从左到右运动(点不与、重合),对于的每一个位置,记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为,那么( )
A.先变小再变大 B.先变大再变小
C.是一个定值 D.仅当为线段的中点时,取得最大值
10.如右图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几体的体积为( )
A. B. C. D.
11.已知奇函数是上的单调函数,若关于的函数只有一个零点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.把函数的图像绕着原点顺时针旋转角度后恰与轴相切,则( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每题5分,共20分)
13.等差数列中,已知,则该数列前项的和为 .
14.中,已知,面积,则该三角形最长边的长度为 .
15.中,,若,则 .
16.如下图,是边长为的正三角形,记位于直线左侧的图形的面积为,现给出关于函数的四个性质,其中说法正确的是 .
①;
②在上单调递增;
③当时,取得最大值;
④对于任意的,都有.
三、解答题
17.(本小题满分10分)设,函数,
(1)如果在上单调递增,求实数的取值范围;(5分)
(2)当时,求函数在上的极值.(5分)
18.(本小题满分12分)某工厂有甲乙两条流水线生产同一种工艺品,随机在这两条流水线上各抽取件产品并称出它们的重量(单位:克)如下表,假设重量值落在的产品为优质品,否则为非优质品.
分组
[29.86,
29.90)
[29.90,
29.94)
[29.94,
29.98)
[29.98,
30.02)
[30.02,
30.06)
[30.06,
30.10)
[30.10,
30.14]
频数
(甲流水线)
15
30
125
198
77
35
20
频数
(乙流水线)
40
70
79
162
59
55
35
(1)由以上统计数据填下面的列联表,并问是否有超过的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同流水线生产有关”?(6分)
甲流水线
乙流水线
合计
优质品
非优质品
合计
(2)现用分层抽样方法(按优质品和非优质品分二层)从每条流水线已抽取的件产品中各抽取五件产品,然后分别从中随机的各抽取两件,将这四件产品中的优质品数记为,求的数学期望.(6分)
附:
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19.(本小题满分12分)已知平行四边形中,,为的中点,且是等边三角形,沿把折起至的位置,使得.
(1)是线段的中点,求证:平面;(4分)
(2)求证:;(4分)
(3)求点到平面的距离.(4分)
20.(本小题满分12分)已知点与两个定点、距离的比是一个常数().
(1)求点的轨迹的方程,并说明轨迹是什么图形;(4分)
(2)当时,过点作斜率为的直线交轨迹于、两点,
①若,求;(4分)
②若,求.(4分)
21.(本小题满分14分)已知,函数,为自然对数的底数,
(1)求函数的单调区间;(4分)
(2)构造函数
①如果对于任意的正数,恒成立,求的取值范围;(5分)
②如果对于任意的,总存在以为边长的三角形,求的取值范围.(5分)
请考生在第22、23、24题中任选一题作答.(本题10分)
22.如图所示,过圆上一点的切线与圆一条直径所在的直线交于(在、之间),
(1)若,求的度数;(4分)
(2)若,求的长.(6分)
23.已知参数方程为(为参数,)的直线经过椭圆的右焦点.
(1)求的值;(4分)
(2)设直线与椭圆的交于、两点,求的值.(6分)
(参考公式:设,、是二次方程的两个根,则)
24.设,,
(1)解关于的不等式;(4分)
(2)如果恒成立,求实数的取值范围.(6分)
2016年全国高考理科数学模拟试题四答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
A
C
B
D
B
C
D
A
A
二、填空题13.; 14.; 15.; 16.②④.
三、解答题
17.解:(1)因为在上单调递增,故在上恒成立,;
(2),,
由,得,,
结合,知在上递减,在上递增,
故函数在上的极小值为,没有极大值.
18.解:(1)列联表如下,
甲流水线
乙流水线
合计
优质品
400
300
700
非优质品
100
200
300
合计
500
500
1000
,
故有超过99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与不同流水线有关”;
(2)甲流水线抽取优质品件,非优质品件;乙流水线抽取优质品件,非优质品件;
的可能取值为,
; ;
;;
所以的分布列为:
1
2
3
4
19.证明:(1)取的中点,连、,
因为为中点,故,且,
又,且,
四边形为平行四边形,,
又平面,平面,故平面;
(2)折叠前,,,即
在四棱锥中,即有,
在中,,,由余弦定理得,
又,由勾股定理的逆定理,得,,
又,从而平面,
平面,得;
(也可连,证平面)
(3)由(2)知,平面,
设点到平面的距离为,则由,
得,,
解得.
(也可取中点,连、,证面面,就是所求的距离)
20.解:设,依题意,,即,…………………1分
化简整理得,……………………………2
分
当时,轨迹表示直线;………………………………………………………………3分
当,轨迹是一个圆;……………………………………………………………………………4分
(2)当时,轨迹的方程是,
即,它表示圆心,半径的圆;…………………………………5分
①时,的方程为,即,……………………6分
圆心到直线距离,…………………………………………………………7分
由勾股定理,;……………………………………………………………8分
②法一:因为,结合轨迹的定义,、…………9分
故有,即为线段的中点,………………………………………………10分
过圆心作的垂线,垂足为,
由勾股定理,且…………………12分
结合,可解得,
即圆心到直线的距离为,…………………………………………………………13分
的方程为,即,
故,解得.…………………………………………………………14分
法二:因为,结合轨迹的定义,、…………9分
故有,即为线段的中点,………………………………………………10分
设,则,代入圆的方程,得
,以及,……………………………12分
联立两个方程可解得或,……………………………13分
故或.………………………………………………………14分
(注:最后一问,得出后,也可以结合割线长定理求得的长度,据此再求)
21.解:(1),
当时,;当时,;
于是的递增区间为,递减区间为;
(2),
①当时,由,得,
于是恒成立
而,仅当时取等号,于是;
②对于任意的,总存在以为边长的三角形,
等价于当,;
当时,在恒成立,递减,
∴,解得;
当时,在恒成立,递增,
∴,解得;
当时,
在,,递减;在,,递增;
;
又由(1)知,在上单调递减,故;
而,故恒成立,
综上所述,.
22.解:(1)由,得圆的半径为,,
连,则,,,
于是,;
(2),由切割线定理,,,圆的半径为.
于是,,
在等腰中,,
根据余弦定理,.
23.解:(1)在椭圆中,,
右焦点,而直线经过定点,故;
(2)把代入,整理,得,
设点对应的参数为,根据参数的几何意义,
.
24.(1)解法一:
不等式等价于或者,解得;
解法二:由,得,即,
,即,解得.
(2),
因为恒成立,故有,解得.