高考理科数学第一轮复习测试题 8页

A级　基础达标演练 ‎ (时间：40分钟　满分：60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．函数f(x)＝2sin xcos x是(　　)．‎ A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数 C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数 解析　f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．‎ 答案　C ‎2．函数y＝sin图象的对称轴方程可能是(　　)．‎ A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 解析　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0得该函数的一条对称轴为x＝.本题也可用代入验证法来解．‎ 答案　D ‎3．(2012·南昌质检)函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为(　　)．‎ A．2π B. C．π D. 解析　依题意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期为2π.‎ 答案　A ‎4．(★)下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)．‎ A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin D．y＝cos 解析　(筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C、D，∵函数在上是减函数，∴排除B.‎ 答案　A ‎【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)．‎ A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 解析　∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数．‎ 答案　D 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．若函数f(x)＝cos ωxcos(ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．‎ 解析　f(x)＝cos ωxcos ‎＝cos ωxsin ωx＝sin 2ωx，‎ ‎∴T＝＝π.∴ω＝1.‎ 答案　1‎ ‎7．(★)(2011·开封质检)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为________．‎ 解析　(回顾检验法)据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋‎ ＝kπ＋(k∈Z)，又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，经代入检验符合题意．‎ 答案　 ‎【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下.‎ ‎8．(★)函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.‎ 解析　(构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f(x)＝1＋，f(x)－1为奇函数，则m－1＝－(M－1)，所以M＋m＝2.‎ 答案　2‎ ‎【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.‎ 三、解答题(共23分)‎ ‎9．(11分)设f(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．‎ 解　(1)由1－2sin x≥0，根据正弦函数图象知：‎ 定义域为{x|2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．‎ ‎(2)∵－1≤sin x≤1，∴－1≤1－2sin x≤3，∵1－2sin x≥0，‎ ‎∴0≤1－2sin x≤3，∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．‎ ‎10．(12分)(2011·中山模拟)已知f(x)＝sin x＋sin.‎ ‎(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值；‎ ‎(2)若x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．‎ 解　(1)由题设知，f(α)＝sin α＋cos α.‎ ‎∵sin 2α＝＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，‎ ‎∴α∈，sin α＋cos α＞0.‎ 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝，‎ 得sin α＋cos α＝，∴f(α)＝.‎ ‎(2)f(x)＝sin，又0≤x≤π，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为.‎ B级　综合创新备选 ‎(时间：30分钟　满分：40分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(★)函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)．‎ A．[－1,1] B. C. D. 解析　(数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.‎ 答案　C ‎【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.‎ ‎2．(2011·山东)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)．‎ A. B. C．2 D．3‎ 解析　由题意知f(x)的一条对称轴为x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.‎ 答案　B 二、填空题(每小题4分，共8分)‎ ‎3．(2011·绍兴模拟)关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：‎ ‎①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；‎ ‎②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；‎ ‎③y＝f(x)的图象关于点对称；‎ ‎④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．‎ 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．‎ 解析　函数f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是＝知①错．‎ 利用诱导公式得f(x)＝4cos＝‎ ‎4cos＝4cos，知②正确．‎ 由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x＝－代入得f(x)＝4sin eq lc[ c](avs4alco1(2×lc( c)(avs4alco1(－f(π,6)))＋f(π,3)))＝4sin 0＝0，‎ 因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x＝－时y＝0，点不是最高点也不是最低点，故直线x＝－不是图象的对称轴，因此命题④不正确．‎ 答案　②③‎ ‎4．函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于________．‎ 解析　因为f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.‎ 答案　 三、解答题(共22分)‎ ‎5．(10分)(2012·南通调研)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.‎ ‎(1)求φ；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．‎ 解　(1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 又－π＜φ＜0，则－＜k＜－，k∈Z，‎ ‎∴k＝－1，则φ＝－.‎ ‎(2)由(1)得：f(x)＝sin，‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 因此y＝f(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ ‎6．(12分)已知a＞0，函数f(x)＝－2asin＋‎2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.‎ ‎(1)求常数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝f且lg g(x)＞0，求g(x)的单调区间．‎ 解　(1)∵x∈，∴2x＋∈.‎ ‎∴sin∈，‎ ‎∴－2asin∈[－‎2a，a]．‎ ‎∴f(x)∈[b,‎3a＋b]，‎ 又∵－5≤f(x)≤1，‎ ‎∴b＝－5,‎3a＋b＝1，‎ 因此a＝2，b＝－5.‎ ‎(2)由(1)得a＝2，b＝－5，‎ ‎∴f(x)＝－4sin－1，‎ g(x)＝f＝－4sin－1‎ ‎＝4sin－1，‎ 又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，‎ ‎∴4sin－1＞1，‎ ‎∴sin＞，‎ ‎∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，‎ 其中当2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.‎ 又∵当2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.‎ ‎∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.‎