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- 2021-05-13 发布
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中档小题(三)
1．(2013·江西省高三上学期七校联考)若集合P＝{x|30，b>0)与抛物线y＝x2有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于( )
A．2 B.
C. D.
4．(2013·长春市第一次调研测试)若x∈(1，4)，设a＝x，b＝x，c＝ln，则a、b、c的大小关系为( )
A．c>a>b B．b>a>c
C．a>b>c D．b>c>a
5．(2013·郑州市第二次质量检测)已知A(1，2)，B(3，4)，C(－2，2)，D(－3，5)，则向量在向量上的投影为( )
A. B.
C. D.
6．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013＝( )
A.－1 B.－1
C.－1 D.＋1
7．(2013·广州市调研测试)在区间[1，5]和[2，4] 上分别取一个数，记为a，b，则方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( )
A. B.
C. D.
8．(2013·郑州市第一次质量检测)把70个面包分五份给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A．2 B．8
C．14 D．20
9．(2013·高考北京卷)设关于x，y的不等式组
表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(－∞，)
C．(－∞，－) D．(－∞，－)
10．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )
A．y＝4sin(4x＋)
B．y＝2sin(2x＋)＋2
C．y＝2sin(4x＋)＋2
D．y＝2sin(4x＋)＋2
11．(2013·安徽省“江南十校”联考)从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)．若要从身高在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，则这2人的身高不在同一组内的概率为________．
12．(2013·武汉市武昌区联合考试)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆，如图所示，则该几何体的全面积为________．
13．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.
14．(2013·武汉市高中毕业生调研测试)从圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0外一点P向该圆引切线PT，T为切点，且|PT|＝|PO|(O为坐标原点)，则
(1)|PT|的最小值为________；
(2)|PT|取得最小值时点P的坐标为________．
备选题
1．(2013·洛阳市统一考试)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( )
A．4π B．12π
C．16π D．64π
2．(2013·海淀区第二学期期中练习)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1，0)，则的最小值是( )
A. B.
C. D.
3．(2013·高考安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．
4．(2013·湖南省五市十校联合检测)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
答案：
1．【解析】选D.依题意， P∩Q＝Q，Q⊆P，于是，解得61，所以x>x>1，即b>a>1.又1a>c.
5．【解析】选B.依题意得＝(2，2)，＝(－1，3)，||＝，·＝－2＋6＝4，向量在向量上的投影等于＝.
6．【解析】选C.由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.
∴an＝＝＝－，
S2 013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 013＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.
7．【解析】选B.方程＋＝1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆，故，
即，化简得，又a∈[1，5]，b∈[2，4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为，故所求的概率P＝＝.
8．【解析】选A.由题意知，中间一份为14，设该等差数列的公差为d(d>0)，则这五份分别是14－2d，14－d，14，14＋d，14＋2d.又(14＋14＋d＋14＋2d)＝14－2d＋14－d，解得d＝6.故14－2d＝2.
9．【解析】选C.
当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此，m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域内包含y＝x－1上的点，只需可行域边界点(－m，m)在直线y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－.
10．【解析】选D.由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，可知k＝2，A＝2，由函数的最小正周期为，可知＝，可得ω＝4，由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin(4x＋)＋2.
11．【解析】身高在[60，70)的男生人数为0.030×10×100＝30，同理[70，80)的人数为20，[80，90]的人数为10，所以按分层抽样选取6人，各小组依次选3人，2人，1人，分别记为a，b，c；A，B，M；从这6人中选取2人共有15种结果，其中身高不在同一组内的结果有11种．故概率P＝.
【答案】
12．【解析】由三视图知该几何体为上底直径为2，下底直径为6，高为2的圆台，则几何体的全面积S＝π×1＋π×9＋π×(4＋12)＝26π.
【答案】26π
13．【解析】当n＝1时，S1＝a1＋，∴a1＝1.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝an＋－(an－1＋)
＝(an－an－1)，
∴an＝－2an－1，即＝－2，
∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，
∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.
【答案】(－2)n－1
14．【解析】圆C的标准方程为：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设P(x，y)，由|PT|＝|PO|得(x－3)2＋(y－4)2－1＝x2＋y2，得3x＋4y－12＝0，P的轨迹为直线：3x＋4y－12＝0，当圆心C到直线的距离最小时，切线PT取最小值，|PT|min＝，此时P点坐标为(，)．
【答案】(1) (2)(，)
备选题
1．【解析】选C.取SC的中点E，连接AE、BE，依题意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE，∴点E是三棱锥SABC的外接球的球心，即点E与点O重合，OA＝SC＝＝2，球O的表面积为4π×OA2＝16π.
2．【解析】选B.依题意知x≥0，则焦点F(1，0)，|PF|＝x＋1，|PA|＝＝，当x＝0时，＝1；当x>0时，1<＝≤ ＝(当且仅当x＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤≤，≤≤1，的最小值是.
3．【解析】设C(x，x2)，由题意可取A(－，a)，B(，a)，
则＝(－－x，a－x2)，＝(－x，a－x2)，
由于∠ACB＝，所以·＝(－－x)(－x)＋(a－x2)2＝0，
整理得x4＋(1－2a)x2＋a2－a＝0，
即y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，
所以
解得a≥1.
【答案】[1，＋∞)
4．【解析】令Q(c，d)，由新的运算可得
＝m⊗＋n＝(2x，sin x)＋(，0)＝(2x＋，sin x)，
，消去x得d＝sin(c－)，所以y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．
【答案】[－，]
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