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- 2021-05-13 发布
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2016年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知复数i•(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
2.集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是( )
A.a≥5 B.a≥4 C.a<5 D.a<4
3.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为( )
A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,5
4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. B.1 C.2 D.4
5.在极坐标系中,直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为( )
A. B.1 C. D.
6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为( )
A.2 B. C.3 D.
7.已知三点P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0)那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
8.已知1, 2为平面上的单位向量, 1与2的起点均为坐标原点O, 1与2夹角为.平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中,那么平面区域D的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在的展开式中,x3的系数值为______.(用数字作答)
10.已知等比数列{an}中,a2=2,a3•a4=32,那么a8的值为______.
11.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA=______;AP=______.
12.若,且,则sin2α的值为______.
13.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:
货物
体积(升/件)
重量(公斤/件)
利润(元/件)
甲
20
10
8
乙
10
20
10
运输限制
110
100
在最合理的安排下,获得的最大利润的值为______.
14.已知函数f(x)=|lnx|,关于x的不等式f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)的解集为(0,+∞),其中x0∈(0,+∞),c为常数.当x0=1时,c的取值范围是______;当时,c的值是______.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.在△ABC中,,AC=2,且.
(Ⅰ)求AB的长度;
(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)与直线相邻交点间的最小距离.
16.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠BAC=90°,A1A=1,,AC=2,E、F分别为棱C1C、BC的中点.
(Ⅰ)求证 AC⊥A1B;
(Ⅱ)求直线EF与A1B所成的角;
(Ⅲ)若G为线段A1A的中点,A1在平面EFG内的射影为H,求∠HA1A.
17.现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间如表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能.
比赛项目
男单
女单
混双
平均比赛时间
25分钟
20分钟
35分钟
(Ⅰ)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率;
(Ⅱ)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行;
(Ⅲ)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).
18.设函数f(x)=aex﹣x﹣1,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln>.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为﹣p.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:.
20.数列{an}中,给定正整数m(m>1),.定义:数列{an}满足ai+1≤ai(i=1,2,…,m﹣1),称数列{an}的前m项单调不增.
(Ⅰ)若数列{an}通项公式为:,求V(5).
(Ⅱ)若数列{an}满足:,求证V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增.
(Ⅲ)给定正整数m(m>1),若数列{an}满足:an≥0,(n=1,2,…,m),且数列{an}的前m项和m2,求V(m)的最大值与最小值.(写出答案即可)
2016年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知复数i•(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为( )
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部为0求得a的值.
【解答】解:∵i•(1+ai)=﹣a+i为纯虚数,
∴﹣a=0,即a=0.
故选:B.
2.集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是( )
A.a≥5 B.a≥4 C.a<5 D.a<4
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】由x2﹣5x<0,可得B=(0,5),再利用集合的运算性质即可得出.
【解答】解:由x2﹣5x<0,解得0<x<5,
∴B=(0,5),
∵A∩B=B,∴a≥5.
则a的取值范围是a≥5.
故选:A.
3.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为( )
A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,5
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系,即可求出各职称分别抽取的人数.
【解答】解:用分层抽样方法抽取容量为30的样本,
则样本中的高级职称人数为30×=9,
中级职称人数为30×=18,
初级职称人数为30×=3.
故选:A.
4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A. B.1 C.2 D.4
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=,k=1,
当k=1时,满足进行循环的条件,故S=,k=2,
当k=2时,满足进行循环的条件,故S=1,k=3,
当k=3时,满足进行循环的条件,故S=2,k=4,
当k=4时,不满足进行循环的条件,
故输出的S值为2,
故选:C
5.在极坐标系中,直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为( )
A. B.1 C. D.
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】分别得出直角坐标方程,求出圆心(0,0)到直线的距离d.即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2.
【解答】解:直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程:x﹣y+1=0.
曲线ρ=1即x2+y2=1.
∴圆心(0,0)到直线的距离d=.
∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=.
故选:D.
6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为( )
A.2 B. C.3 D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥P﹣ABCD,其中底面ABCD为直角梯形,侧棱PB⊥底面ABCD.即可得出.
【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥P﹣ABCD,其中底面ABCD为直角梯形,侧棱PB⊥底面ABCD.
∴最长的棱为PD,PD==3.
故选:C.
7.已知三点P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0)那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0),可得:c=6,2a=|PF1|+|PF2|,可得b=.
【解答】解:设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0),
可得:c=6,2a=|PF1|+|PF2|=+=6,解得a=3.
∴b===3.
∴椭圆的短轴长为6.
故选:B.
8.已知1, 2为平面上的单位向量, 1与2的起点均为坐标原点O, 1与2夹角为.平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中,那么平面区域D的面积为( )
A. B. C. D.
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】以O为原点,以方向为x轴正方向,建立坐标系xOy,写出、的坐标,根据=λ+μ写出的坐标表示,利用向量相等列出方程组,求出点P的坐标满足的约束条件,画出对应的平面区域,计算平面区域的面积即可.
【解答】解:以O为原点,以方向为x轴正方向,建立坐标系xOy,
则=(1,0),=(cos,sin)=(,),
又=λ+μ=(λ+μ,μ),其中λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1;
设=(x,y),
则(x,y)=(λ+μ,μ),
∴,
解得;
由于λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1,
∴,
它表示的平面区域如图所示:
由图知A(,),B(1,0);
所以阴影部分区域D的面积为S=×1×=.
故选:D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在的展开式中,x3的系数值为 20 .(用数字作答)
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.
【解答】解:Tr+1=(2x)5﹣r=25﹣3rx5﹣2r.
令5﹣2r=3,解得r=1.
∴T4=x3=20x3.
故答案为:20.
10.已知等比数列{an}中,a2=2,a3•a4=32,那么a8的值为 128 .
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.
【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,
∵a2=2,a3•a4=32,
∴a1q=2, =32,
解得a1=1,q=2.
那么a8=27=128.
故答案为:128.
11.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA= ;AP= .
【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】证明△OAC是等边三角形,得到∠COA=,利用OA=1,可求AP.
【解答】解:由题意,OA⊥AP.
∵CP=AC,
∴∠P=∠CAP,
∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC,
∴∠AOP=∠OAC,
∴AC=OC,
∵OA=OC,
∴△OAC是等边三角形,
∴∠COA=,
∵OA=1
∴AP=
故答案为:,
12.若,且,则sin2α的值为 .
【考点】二倍角的正弦.
【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=,两边平方,利用二倍角公式即可解得sin2α的值.
【解答】解:∵=(cosα﹣sinα),
∴cosα﹣sinα=>0,
∴两边平方可得:1﹣sin2α=,
∴sin2α=.
故答案为:.
13.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:
货物
体积(升/件)
重量(公斤/件)
利润(元/件)
甲
20
10
8
乙
10
20
10
运输限制
110
100
在最合理的安排下,获得的最大利润的值为 62 .
【考点】简单线性规划.
【分析】运送甲x件,乙y件,利润为z,建立约束条件和目标函数,利用线性规划的知识进行求解即可.
【解答】解:设运送甲x件,乙y件,利润为z,
则由题意得,即,且z=8x+10y,
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=8x+10y得y=﹣x+,
平移直线y=﹣x+,由图象知当直线y=﹣x+经过点B时,直线的截距最大,此时z最大,
由,得,即B(4,3),
此时z=8×4+10×3=32+30=62,
故答案为:62
14.已知函数f(x)=|lnx|,关于x的不等式f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)的解集为(0,+∞),其中x0∈(0,+∞),c为常数.当x0=1时,c的取值范围是 [﹣1,1] ;当时,c的值是 ﹣2 .
【考点】分段函数的应用;对数函数的图象与性质.
【分析】当0<x<1时,f(x)=﹣lnx,f′(x)=﹣∈(﹣∞,﹣1),当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=∈(0,1),进而将x0=1和代入,结果斜率公式分类讨论可得答案.
【解答】解:∵函数f(x)=|lnx|,
当0<x<1时,f(x)=﹣lnx,f′(x)=﹣∈(﹣∞,﹣1),
当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=∈(0,1),
①当x0=1时,f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)可化为:f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)
当0<x<1时,f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)可化为:≤c,则c≥﹣1,
当x>1时,f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)可化为:≥c,则c≤1,
故c∈[﹣1,1];
②当x0=时,f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)可化为:f(x)﹣f()≥c(x﹣)
当0<x<时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≤c,则c≥f′()=﹣2,
当<x<1时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≥c,则c≤f′()=﹣2,
当x>1时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≥c,则c≤1,
故c=﹣2,
故答案为:[﹣1,1],﹣2
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.在△ABC中,,AC=2,且.
(Ⅰ)求AB的长度;
(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)与直线相邻交点间的最小距离.
【考点】两角和与差的余弦函数;正弦函数的图象.
【分析】(Ⅰ)利用诱导公式求得cosC,可得C的值,咋利用余弦定理求得AB的长度.
(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+C),求得x1、x2的值,可得|x1﹣x2|的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵,∴C=45°.
∵,AC=2,∴=4,∴AB=2.
(Ⅱ)由,解得或,k∈Z,
解得,或,k1,k2∈Z.
因为,当k1=k2时取等号,
所以 当时,相邻两交点间最小的距离为.
16.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠BAC=90°,A1A=1,,AC=2,E、F分别为棱C1C、BC的中点.
(Ⅰ)求证 AC⊥A1B;
(Ⅱ)求直线EF与A1B所成的角;
(Ⅲ)若G为线段A1A的中点,A1在平面EFG内的射影为H,求∠HA1A.
【考点】直线与平面所成的角;棱柱的结构特征.
【分析】(I)由AC⊥AB,AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1,于是AC⊥A1B;
(II)以A为原点建立坐标系,求出和的坐标,计算cos<>即可得出直线EF与A1B所成的角;
(III)求出和平面EFG的法向量,则sin∠HA1A=|cos<,>|.
【解答】证明:(Ⅰ)∵AA1⊥底面ABC,AC⊂平面ABC,
∴AC⊥AA1.
∵∠BAC=90°,∴AC⊥AB.
又A1A⊂平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,A1A∩AB=A,
∴AC⊥平面A1ABB1.
∵A1B⊂平面A1ABB1,
∴AC⊥A1B.
(Ⅱ)以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz,如图所示:
则A1(0,0,1),,,.
∴,.
∴.
直线EF与A1B所成的角为45°.
(Ⅲ),,. =(0,0,1).
设平面GEF的法向量为=(x,y,z),
则,∴
令,则.
∴cos<>==.
∵A1在平面EFG内的射影为H,∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角,
∴sin∠HA1A=|cos<>|=.
∴∠HA1A=.
17.现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间如表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能.
比赛项目
男单
女单
混双
平均比赛时间
25分钟
20分钟
35分钟
(Ⅰ)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率;
(Ⅱ)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行;
(Ⅲ)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).
【考点】计数原理的应用.
【分析】(Ⅰ)求出三场比赛的种数,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,根据概率公式计算即可,
(Ⅱ)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛,分别求出按不同顺序比赛时,第三场比赛等待的时间,再根据平均数的定义即可求出,
(Ⅲ)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少.
【解答】解:(I)三场比赛共有种方式,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为. (Ⅱ)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛.
按ABC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t1=20+25=45(分钟).
按ACB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t2=20+35=55(分钟).
按BAC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t3=20+25=45(分钟).
按BCA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t4=35+25=60(分钟).
按CAB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t5=35+20=55(分钟).
按CBA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t6=35+25=60(分钟).
且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生概率为,所以平均等待时间为,
(Ⅲ)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少
18.设函数f(x)=aex﹣x﹣1,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;
(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln>.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)a=1时得出f(x),进而得到f′(x)=ex﹣1,这样便可判断导数符号,根据符号即可得出f(x)的单调区间;
(Ⅱ)可以由f(x)>0恒成立得到恒成立,这样设,求导,根据导数符号便可判断g(x)在(0,+∞)上单调递减,这便可得到g(x)<1,从而便可得出a的取值范围;
(Ⅲ)容易得到等价于ex﹣xex﹣1>0,可设h(x)=ex﹣xex﹣1,求导数,并根据上面的f(x)>0可判断出导数h′(x)>0,从而得到h(x)>h(0)=0,这样即可得出要证明的结论.
【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,则f(x)=ex﹣x﹣1,f'(x)=ex﹣1;
令f'(x)=0,得x=0;
∴当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;
当x≥0时,f'(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;
即a=1时,f(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调赠区间为[0,+∞);
(Ⅱ)∵ex>0;
∴f(x)>0恒成立,等价于恒成立;
设,x∈(0,+∞),;
当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0;
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减;
∴x∈(0,+∞)时,g(x)<g(0)=1;
∴a≥1;
∴a的取值范围为[1,+∞);
(Ⅲ)证明:当x∈(0,+∞)时,等价于ex﹣xex﹣1>0;
设h(x)=ex﹣xex﹣1,x∈(0,+∞),;
由(Ⅱ)知,x∈(0,+∞)时,ex﹣x﹣1>0恒成立;
∴;
∴h′(x)>0;
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增;
∴x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0;
因此当x∈(0,+∞)时,.
19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为﹣p.
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:.
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】(I)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直x轴)的方程可设为.与抛物线方程联立可得:,由直线OA与OB的斜率之积为﹣p,即.可得:x1x2=4. 利用根与系数的关系即可得出.
(II)利用中点坐标公式、斜率计算公式可得:直线OD的方程为,代入抛物线C:y2=8x的方程,解出即可得出.
【解答】(I)解:∵直线AB过点F且与抛物线C交于A,B两点,,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直x轴)的方程可设为.
∴,.
∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p,
∴.
∴,得 x1x2=4.
由,化为,
其中△=(k2p+2p)2﹣k2p2k2>0
∴x1+x2=,x1x2=.
∴p=4,抛物线C:y2=8x.
(Ⅱ)证明:设M(x0,y0),P(x3,y3),∵M为线段AB的中点,
∴,.
∴直线OD的斜率为.
直线OD的方程为代入抛物线C:y2=8x的方程,
得.
∴.
∵k2>0,
∴.
20.数列{an}中,给定正整数m(m>1),.定义:数列{an}满足ai+1≤ai(i=1,2,…,m﹣1),称数列{an}的前m项单调不增.
(Ⅰ)若数列{an}通项公式为:,求V(5).
(Ⅱ)若数列{an}满足:,求证V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增.
(Ⅲ)给定正整数m(m>1),若数列{an}满足:an≥0,(n=1,2,…,m),且数列{an}的前m项和m2,求V(m)的最大值与最小值.(写出答案即可)
【考点】数列的应用.
【分析】(Ⅰ)由数列{an}通项公式分别气的前5项,代入即可求得V(5),
(Ⅱ)充分性:由,数列{an}的前m项单调不增,即am≤…≤a2≤a1,去掉绝对值求得V(m)=a﹣b,再证明必要性,采用反证法,假设数列{an}的前m项不是单调不增,则存在i(1≤i≤m﹣1)使得ai+1>ai,求得=|a﹣b+ai+1﹣ai|+(ai+1﹣ai)>a﹣b,与已知矛盾,即可证明V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增.
(Ⅲ)由当丨ai+1﹣ai丨=0时,即数列{an}为常数列,V(m)=0,当m=2时的最大值:此时a1+a2=4,|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4,当m>2时的最大值:此时a1+a2+a3+…+a4=m2.
【解答】解(Ⅰ),
a1=﹣1,a2=1,a3=﹣1,a4=1,a5=﹣1,
V(5)=丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨=2+2+2+2=8,
V(5)=8.…
(Ⅱ)充分性:若数列{an}的前m项单调不增,即am≤…≤a2≤a1,
此时有: =(a1﹣a2)+(a2﹣a3)+(a3﹣a4)+…+(am﹣1﹣am)=a1﹣am=a﹣b.
必要性:反证法,若数列{an}的前m项不是单调不增,则存在i(1≤i≤m﹣1)使得ai+1>ai,那么:
=丨ai+1﹣ai丨+丨ai+1﹣ai丨+丨ai+1﹣ai丨≥丨ai﹣a1丨+(ai+1﹣ai)+丨am﹣ai+1丨,
=丨am﹣ai+ai﹣ai+1丨+(ai+1﹣ai),
=丨a﹣b+ai+′﹣ai丨+(ai+1﹣ai),
由于ai+1>ai,a>b,
∴|a﹣b+ai+1﹣ai|+(ai+1﹣ai)>a﹣b.
与已知矛盾.…
(III)最小值为0.此时{an}为常数列.…
最大值为,
当m=2时的最大值:此时a1+a2=4,(a1,a2≥0),…11分
|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4.
当m>2时的最大值:此时a1+a2+a3+…+a4=m2.
由|x﹣y|≤|x|+|y|易证,{an}的值的只有是大小交替出现时,才能让V(m)取最大值.
不妨设:ai+1≤ai,i为奇数,ai+1≥ai,i为偶数.当m为奇数时有:
,
=a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+am﹣am﹣1,
=a1﹣am+2ai﹣4a2i≤2ai=2m2,
当m为偶数时同理可证.…
2016年9月20日