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  • 2021-05-13 发布

北京市东城区高考数学一模试卷理科解析

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‎2016年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知复数i•(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎2.集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是(  )‎ A.a≥5 B.a≥4 C.a<5 D.a<4‎ ‎3.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为(  )‎ A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,5‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A. B.1 C.2 D.4‎ ‎5.在极坐标系中,直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为(  )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎7.已知三点P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0)那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为(  )‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎8.已知1, 2为平面上的单位向量, 1与2的起点均为坐标原点O, 1与2夹角为.平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中,那么平面区域D的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.在的展开式中,x3的系数值为______.(用数字作答)‎ ‎10.已知等比数列{an}中,a2=2,a3•a4=32,那么a8的值为______.‎ ‎11.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA=______;AP=______.‎ ‎12.若,且,则sin2α的值为______.‎ ‎13.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:‎ 货物 体积(升/件)‎ 重量(公斤/件)‎ 利润(元/件)‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下,获得的最大利润的值为______.‎ ‎14.已知函数f(x)=|lnx|,关于x的不等式f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)的解集为(0,+∞),其中x0∈(0,+∞),c为常数.当x0=1时,c的取值范围是______;当时,c的值是______.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.在△ABC中,,AC=2,且.‎ ‎(Ⅰ)求AB的长度;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)与直线相邻交点间的最小距离.‎ ‎16.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠BAC=90°,A1A=1,,AC=2,E、F分别为棱C1C、BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证 AC⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)求直线EF与A1B所成的角;‎ ‎(Ⅲ)若G为线段A1A的中点,A1在平面EFG内的射影为H,求∠HA1A.‎ ‎17.现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间如表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能.‎ 比赛项目 男单 女单 混双 平均比赛时间 ‎25分钟 ‎20分钟 ‎35分钟 ‎(Ⅰ)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率;‎ ‎(Ⅱ)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行;‎ ‎(Ⅲ)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).‎ ‎18.设函数f(x)=aex﹣x﹣1,a∈R.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln>.‎ ‎19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为﹣p.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:.‎ ‎20.数列{an}中,给定正整数m(m>1),.定义:数列{an}满足ai+1≤ai(i=1,2,…,m﹣1),称数列{an}的前m项单调不增.‎ ‎(Ⅰ)若数列{an}通项公式为:,求V(5).‎ ‎(Ⅱ)若数列{an}满足:,求证V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增.‎ ‎(Ⅲ)给定正整数m(m>1),若数列{an}满足:an≥0,(n=1,2,…,m),且数列{an}的前m项和m2,求V(m)的最大值与最小值.(写出答案即可)‎ ‎ ‎ ‎2016年北京市东城区高考数学一模试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知复数i•(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部为0求得a的值.‎ ‎【解答】解:∵i•(1+ai)=﹣a+i为纯虚数,‎ ‎∴﹣a=0,即a=0.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.集合A={x|x≤a},B={x|x2﹣5x<0},若A∩B=B,则a的取值范围是(  )‎ A.a≥5 B.a≥4 C.a<5 D.a<4‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用.‎ ‎【分析】由x2﹣5x<0,可得B=(0,5),再利用集合的运算性质即可得出.‎ ‎【解答】解:由x2﹣5x<0,解得0<x<5,‎ ‎∴B=(0,5),‎ ‎∵A∩B=B,∴a≥5.‎ 则a的取值范围是a≥5.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.某单位共有职工150名,其中高级职称45人,中级职称90人,初级职称15人.现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本,则各职称人数分别为(  )‎ A.9,18,3 B.10,15,5 C.10,17,3 D.9,16,5‎ ‎【考点】分层抽样方法.‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系,即可求出各职称分别抽取的人数.‎ ‎【解答】解:用分层抽样方法抽取容量为30的样本,‎ 则样本中的高级职称人数为30×=9,‎ 中级职称人数为30×=18,‎ 初级职称人数为30×=3.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )‎ A. B.1 C.2 D.4‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=,k=1,‎ 当k=1时,满足进行循环的条件,故S=,k=2,‎ 当k=2时,满足进行循环的条件,故S=1,k=3,‎ 当k=3时,满足进行循环的条件,故S=2,k=4,‎ 当k=4时,不满足进行循环的条件,‎ 故输出的S值为2,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.在极坐标系中,直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】分别得出直角坐标方程,求出圆心(0,0)到直线的距离d.即可得出直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长=2.‎ ‎【解答】解:直线ρsinθ﹣ρcosθ=1化为直角坐标方程:x﹣y+1=0.‎ 曲线ρ=1即x2+y2=1.‎ ‎∴圆心(0,0)到直线的距离d=.‎ ‎∴直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长L=2=2=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的最长棱长为(  )‎ A.2 B. C.3 D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图可知:该几何体为四棱锥P﹣ABCD,其中底面ABCD为直角梯形,侧棱PB⊥底面ABCD.即可得出.‎ ‎【解答】解:由三视图可知:该几何体为四棱锥P﹣ABCD,其中底面ABCD为直角梯形,侧棱PB⊥底面ABCD.‎ ‎∴最长的棱为PD,PD==3.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.已知三点P(5,2)、F1(﹣6,0)、F2(6,0)那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为(  )‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0),可得:c=6,2a=|PF1|+|PF2|,可得b=.‎ ‎【解答】解:设椭圆的标准方程为: +=1(a>b>0),‎ 可得:c=6,2a=|PF1|+|PF2|=+=6,解得a=3.‎ ‎∴b===3.‎ ‎∴椭圆的短轴长为6.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.已知1, 2为平面上的单位向量, 1与2的起点均为坐标原点O, 1与2夹角为.平面区域D由所有满足=λ1+μ2的点P组成,其中,那么平面区域D的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎【分析】以O为原点,以方向为x轴正方向,建立坐标系xOy,写出、的坐标,根据=λ+μ写出的坐标表示,利用向量相等列出方程组,求出点P的坐标满足的约束条件,画出对应的平面区域,计算平面区域的面积即可.‎ ‎【解答】解:以O为原点,以方向为x轴正方向,建立坐标系xOy,‎ 则=(1,0),=(cos,sin)=(,),‎ 又=λ+μ=(λ+μ,μ),其中λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1;‎ 设=(x,y),‎ 则(x,y)=(λ+μ,μ),‎ ‎∴,‎ 解得;‎ 由于λ≥0,μ≥0,λ+μ≤1,‎ ‎∴,‎ 它表示的平面区域如图所示:‎ 由图知A(,),B(1,0);‎ 所以阴影部分区域D的面积为S=×1×=.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.‎ ‎9.在的展开式中,x3的系数值为 20 .(用数字作答)‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:Tr+1=(2x)5﹣r=25﹣3rx5﹣2r.‎ 令5﹣2r=3,解得r=1.‎ ‎∴T4=x3=20x3.‎ 故答案为:20.‎ ‎ ‎ ‎10.已知等比数列{an}中,a2=2,a3•a4=32,那么a8的值为 128 .‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵a2=2,a3•a4=32,‎ ‎∴a1q=2, =32,‎ 解得a1=1,q=2.‎ 那么a8=27=128.‎ 故答案为:128.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,圆O的半径为1,A,B,C是圆周上的三点,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,若CP=AC,则∠COA=  ;AP=  .‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】证明△OAC是等边三角形,得到∠COA=,利用OA=1,可求AP.‎ ‎【解答】解:由题意,OA⊥AP.‎ ‎∵CP=AC,‎ ‎∴∠P=∠CAP,‎ ‎∵∠P+∠AOP=∠CAP+∠OAC,‎ ‎∴∠AOP=∠OAC,‎ ‎∴AC=OC,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴△OAC是等边三角形,‎ ‎∴∠COA=,‎ ‎∵OA=1‎ ‎∴AP=‎ 故答案为:,‎ ‎ ‎ ‎12.若,且,则sin2α的值为  .‎ ‎【考点】二倍角的正弦.‎ ‎【分析】利用已知及两角差的正弦函数公式可得cosα﹣sinα=,两边平方,利用二倍角公式即可解得sin2α的值.‎ ‎【解答】解:∵=(cosα﹣sinα),‎ ‎∴cosα﹣sinα=>0,‎ ‎∴两边平方可得:1﹣sin2α=,‎ ‎∴sin2α=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎13.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表:‎ 货物 体积(升/件)‎ 重量(公斤/件)‎ 利润(元/件)‎ 甲 ‎20‎ ‎10‎ ‎8‎ 乙 ‎10‎ ‎20‎ ‎10‎ 运输限制 ‎110‎ ‎100‎ 在最合理的安排下,获得的最大利润的值为 62 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】运送甲x件,乙y件,利润为z,建立约束条件和目标函数,利用线性规划的知识进行求解即可.‎ ‎【解答】解:设运送甲x件,乙y件,利润为z,‎ 则由题意得,即,且z=8x+10y,‎ 作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=8x+10y得y=﹣x+,‎ 平移直线y=﹣x+,由图象知当直线y=﹣x+经过点B时,直线的截距最大,此时z最大,‎ 由,得,即B(4,3),‎ 此时z=8×4+10×3=32+30=62,‎ 故答案为:62‎ ‎ ‎ ‎14.已知函数f(x)=|lnx|,关于x的不等式f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)的解集为(0,+∞),其中x0∈(0,+∞),c为常数.当x0=1时,c的取值范围是 [﹣1,1] ;当时,c的值是 ﹣2 .‎ ‎【考点】分段函数的应用;对数函数的图象与性质.‎ ‎【分析】当0<x<1时,f(x)=﹣lnx,f′(x)=﹣∈(﹣∞,﹣1),当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=∈(0,1),进而将x0=1和代入,结果斜率公式分类讨论可得答案.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=|lnx|,‎ 当0<x<1时,f(x)=﹣lnx,f′(x)=﹣∈(﹣∞,﹣1),‎ 当x>1时,f(x)=lnx,f′(x)=∈(0,1),‎ ‎①当x0=1时,f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)可化为:f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)‎ 当0<x<1时,f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)可化为:≤c,则c≥﹣1,‎ 当x>1时,f(x)﹣f(1)≥c(x﹣1)可化为:≥c,则c≤1,‎ 故c∈[﹣1,1];‎ ‎②当x0=时,f(x)﹣f(x0)≥c(x﹣x0)可化为:f(x)﹣f()≥c(x﹣)‎ 当0<x<时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≤c,则c≥f′()=﹣2,‎ 当<x<1时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≥c,则c≤f′()=﹣2,‎ 当x>1时,f(x)﹣f()≥c(x﹣)可化为:≥c,则c≤1,‎ 故c=﹣2,‎ 故答案为:[﹣1,1],﹣2‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.在△ABC中,,AC=2,且.‎ ‎(Ⅰ)求AB的长度;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)与直线相邻交点间的最小距离.‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用诱导公式求得cosC,可得C的值,咋利用余弦定理求得AB的长度.‎ ‎(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+C),求得x1、x2的值,可得|x1﹣x2|的最小值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵,∴C=45°.‎ ‎∵,AC=2,∴=4,∴AB=2.‎ ‎(Ⅱ)由,解得或,k∈Z,‎ 解得,或,k1,k2∈Z.‎ 因为,当k1=k2时取等号,‎ 所以 当时,相邻两交点间最小的距离为.‎ ‎ ‎ ‎16.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,∠BAC=90°,A1A=1,,AC=2,E、F分别为棱C1C、BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证 AC⊥A1B;‎ ‎(Ⅱ)求直线EF与A1B所成的角;‎ ‎(Ⅲ)若G为线段A1A的中点,A1在平面EFG内的射影为H,求∠HA1A.‎ ‎【考点】直线与平面所成的角;棱柱的结构特征.‎ ‎【分析】(I)由AC⊥AB,AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1,于是AC⊥A1B;‎ ‎(II)以A为原点建立坐标系,求出和的坐标,计算cos<>即可得出直线EF与A1B所成的角;‎ ‎(III)求出和平面EFG的法向量,则sin∠HA1A=|cos<,>|.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)∵AA1⊥底面ABC,AC⊂平面ABC,‎ ‎∴AC⊥AA1.‎ ‎∵∠BAC=90°,∴AC⊥AB.‎ 又A1A⊂平面AA1B1B,AB⊂平面AA1B1B,A1A∩AB=A,‎ ‎∴AC⊥平面A1ABB1.‎ ‎∵A1B⊂平面A1ABB1,‎ ‎∴AC⊥A1B.‎ ‎(Ⅱ)以A为原点建立空间直角坐标系A﹣﹣﹣xyz,如图所示:‎ 则A1(0,0,1),,,.‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎ 直线EF与A1B所成的角为45°.‎ ‎(Ⅲ),,. =(0,0,1).‎ 设平面GEF的法向量为=(x,y,z),‎ 则,∴‎ 令,则.‎ ‎∴cos<>==.‎ ‎∵A1在平面EFG内的射影为H,∴∠HA1A位AA1与平面EFG所成的角,‎ ‎∴sin∠HA1A=|cos<>|=.‎ ‎∴∠HA1A=.‎ ‎ ‎ ‎17.现有两个班级,每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打(混双)比赛(注:每名选手打只打一场比赛).根据以往的比赛经验,各项目平均完成比赛所需时间如表所示,现只有一块比赛场地,各场比赛的出场顺序等可能.‎ 比赛项目 男单 女单 混双 平均比赛时间 ‎25分钟 ‎20分钟 ‎35分钟 ‎(Ⅰ)求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率;‎ ‎(Ⅱ)求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行;‎ ‎(Ⅲ)若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少,应该怎样安排比赛顺序(写出结论即可).‎ ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求出三场比赛的种数,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,根据概率公式计算即可,‎ ‎(Ⅱ)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛,分别求出按不同顺序比赛时,第三场比赛等待的时间,再根据平均数的定义即可求出,‎ ‎(Ⅲ)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少.‎ ‎【解答】解:(I)三场比赛共有种方式,其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种,所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为.    (Ⅱ)令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛.‎ 按ABC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t1=20+25=45(分钟).‎ 按ACB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t2=20+35=55(分钟).‎ 按BAC顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t3=20+25=45(分钟).‎ 按BCA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t4=35+25=60(分钟).‎ 按CAB顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t5=35+20=55(分钟).‎ 按CBA顺序进行比赛,第三场比赛等待的时间是:t6=35+25=60(分钟).‎ 且上述六个事件是等可能事件,每个事件发生概率为,所以平均等待时间为,‎ ‎(Ⅲ)按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛,可使等待的总时间最少 ‎ ‎ ‎18.设函数f(x)=aex﹣x﹣1,a∈R.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)求证:当x∈(0,+∞)时,ln>.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(Ⅰ)a=1时得出f(x),进而得到f′(x)=ex﹣1,这样便可判断导数符号,根据符号即可得出f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)可以由f(x)>0恒成立得到恒成立,这样设,求导,根据导数符号便可判断g(x)在(0,+∞)上单调递减,这便可得到g(x)<1,从而便可得出a的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)容易得到等价于ex﹣xex﹣1>0,可设h(x)=ex﹣xex﹣1,求导数,并根据上面的f(x)>0可判断出导数h′(x)>0,从而得到h(x)>h(0)=0,这样即可得出要证明的结论.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,则f(x)=ex﹣x﹣1,f'(x)=ex﹣1;‎ 令f'(x)=0,得x=0;‎ ‎∴当x<0时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)上单调递减;‎ 当x≥0时,f'(x)≥0,h(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ 即a=1时,f(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调赠区间为[0,+∞);‎ ‎(Ⅱ)∵ex>0;‎ ‎∴f(x)>0恒成立,等价于恒成立;‎ 设,x∈(0,+∞),;‎ 当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0;‎ ‎∴g(x)在(0,+∞)上单调递减;‎ ‎∴x∈(0,+∞)时,g(x)<g(0)=1;‎ ‎∴a≥1;‎ ‎∴a的取值范围为[1,+∞);‎ ‎(Ⅲ)证明:当x∈(0,+∞)时,等价于ex﹣xex﹣1>0;‎ 设h(x)=ex﹣xex﹣1,x∈(0,+∞),;‎ 由(Ⅱ)知,x∈(0,+∞)时,ex﹣x﹣1>0恒成立;‎ ‎∴;‎ ‎∴h′(x)>0;‎ ‎∴h(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ ‎∴x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0;‎ 因此当x∈(0,+∞)时,.‎ ‎ ‎ ‎19.已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点F,O为坐标原点,直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点,直线OA与OB的斜率之积为﹣p.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若M为线段AB的中点,射线OM交抛物线C于点D,求证:.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(I)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直x轴)的方程可设为.与抛物线方程联立可得:,由直线OA与OB的斜率之积为﹣p,即.可得:x1x2=4. 利用根与系数的关系即可得出.‎ ‎(II)利用中点坐标公式、斜率计算公式可得:直线OD的方程为,代入抛物线C:y2=8x的方程,解出即可得出.‎ ‎【解答】(I)解:∵直线AB过点F且与抛物线C交于A,B两点,,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB(不垂直x轴)的方程可设为.‎ ‎∴,.‎ ‎∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p,‎ ‎∴.‎ ‎∴,得 x1x2=4.‎ 由,化为,‎ 其中△=(k2p+2p)2﹣k2p2k2>0‎ ‎∴x1+x2=,x1x2=.‎ ‎∴p=4,抛物线C:y2=8x.‎ ‎(Ⅱ)证明:设M(x0,y0),P(x3,y3),∵M为线段AB的中点,‎ ‎∴,.‎ ‎∴直线OD的斜率为.‎ 直线OD的方程为代入抛物线C:y2=8x的方程,‎ 得.‎ ‎∴.‎ ‎∵k2>0,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎20.数列{an}中,给定正整数m(m>1),.定义:数列{an}满足ai+1≤ai(i=1,2,…,m﹣1),称数列{an}的前m项单调不增.‎ ‎(Ⅰ)若数列{an}通项公式为:,求V(5).‎ ‎(Ⅱ)若数列{an}满足:,求证V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增.‎ ‎(Ⅲ)给定正整数m(m>1),若数列{an}满足:an≥0,(n=1,2,…,m),且数列{an}的前m项和m2,求V(m)的最大值与最小值.(写出答案即可)‎ ‎【考点】数列的应用.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由数列{an}通项公式分别气的前5项,代入即可求得V(5),‎ ‎(Ⅱ)充分性:由,数列{an}的前m项单调不增,即am≤…≤a2≤a1,去掉绝对值求得V(m)=a﹣b,再证明必要性,采用反证法,假设数列{an}的前m项不是单调不增,则存在i(1≤i≤m﹣1)使得ai+1>ai,求得=|a﹣b+ai+1﹣ai|+(ai+1﹣ai)>a﹣b,与已知矛盾,即可证明V(m)=a﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增.‎ ‎(Ⅲ)由当丨ai+1﹣ai丨=0时,即数列{an}为常数列,V(m)=0,当m=2时的最大值:此时a1+a2=4,|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4,当m>2时的最大值:此时a1+a2+a3+…+a4=m2.‎ ‎【解答】解(Ⅰ),‎ a1=﹣1,a2=1,a3=﹣1,a4=1,a5=﹣1,‎ ‎ V(5)=丨a2﹣a1丨+丨a3﹣a2丨+丨a4﹣a3丨+丨a5﹣a4丨=2+2+2+2=8,‎ ‎ V(5)=8.…‎ ‎(Ⅱ)充分性:若数列{an}的前m项单调不增,即am≤…≤a2≤a1,‎ 此时有: =(a1﹣a2)+(a2﹣a3)+(a3﹣a4)+…+(am﹣1﹣am)=a1﹣am=a﹣b.‎ 必要性:反证法,若数列{an}的前m项不是单调不增,则存在i(1≤i≤m﹣1)使得ai+1>ai,那么:‎ ‎=丨ai+1﹣ai丨+丨ai+1﹣ai丨+丨ai+1﹣ai丨≥丨ai﹣a1丨+(ai+1﹣ai)+丨am﹣ai+1丨,‎ ‎=丨am﹣ai+ai﹣ai+1丨+(ai+1﹣ai),‎ ‎=丨a﹣b+ai+′﹣ai丨+(ai+1﹣ai),‎ 由于ai+1>ai,a>b,‎ ‎∴|a﹣b+ai+1﹣ai|+(ai+1﹣ai)>a﹣b.‎ 与已知矛盾.…‎ ‎(III)最小值为0.此时{an}为常数列.…‎ 最大值为,‎ 当m=2时的最大值:此时a1+a2=4,(a1,a2≥0),…11分 ‎|a1﹣a2|≤|4﹣0|=4.‎ 当m>2时的最大值:此时a1+a2+a3+…+a4=m2.‎ 由|x﹣y|≤|x|+|y|易证,{an}的值的只有是大小交替出现时,才能让V(m)取最大值.‎ 不妨设:ai+1≤ai,i为奇数,ai+1≥ai,i为偶数.当m为奇数时有:‎ ‎,‎ ‎=a1﹣a2+a3﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a4+…+am﹣am﹣1,‎ ‎=a1﹣am+2ai﹣4a2i≤2ai=2m2,‎ 当m为偶数时同理可证.…‎ ‎ ‎ ‎2016年9月20日