上海市杨浦区高考数学二模试卷含答案 15页

‎ 2017年杨浦区高考数学二模试卷含答案 2017.4 ‎ 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．‎ ‎2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．‎ 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1. 行列式中, 元素的代数余子式的值为_________.‎ ‎2. 设实数, 若函数的最小正周期为, 则_________.‎ ‎3. 已知圆锥的底面半径和高均为1, 则该圆锥的侧面积为_________.‎ ‎4. 设向量, 向量. 若与的夹角为钝角, 则实数的取值范围 ‎ 为 _________.‎ ‎5. 集合, 集合. 若, 则实数 _______.‎ ‎6. 设是方程的两根, 则 _________.‎ ‎7. 设是定义在上的奇函数, 当时, . 则不等式的解为________.‎ ‎8. 若变量满足约束条件 则的最小值为_________.‎ ‎9. 小明和小红各自掷一颗均匀的正方体骰子, 两人相互独立地进行. 则小明掷出的点 数不大于或小红掷出的点数不小于的概率为_________.‎ ‎10. 设是椭圆上的动点, 点的坐标为, 若满足的点有且仅有两个, 则实数的取值范围为_________.‎ ‎11. 已知, , 当取到最小值时, _________.‎ ‎12. 设函数. 当在实数范围内变化时, 在圆盘内, 且不在任一的图像上的点的全体组成的图形的面积为_________.‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. ‎ ‎13. 设且. “是纯虚数”是“”的 ( )‎ ‎(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 ‎(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件 ‎14．设等差数列的公差为, . 若的前项之和大于其 前项之和, 则 ( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎15．如图, 、是球直径的两个端点. 圆是经过和点的大圆, 圆和圆分别是所在平面与垂直的大圆和小圆. 圆和交于点、, 圆和 交于点、.设、、分别表示圆上劣弧的弧长、圆上半圆弧的弧长、圆上半圆弧的弧长. 则的大小关系为 ( )‎ ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎ ‎ ‎16．对于定义在上的函数, 若存在正常数, 使得对一切均成立, 则称是“控制增长函数”。在以下四个函数中：‎ ‎①② ③ ④ ‎ 是“控制增长函数”的有 ( )‎ ‎ (A) ②③ (B) ③④ (C) ②③④ (D) ①②④‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .‎ ‎17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.‎ 如图, 正方体中, . 、分别是棱与的中点.‎ ‎(1) 求异面直线和所成的角的大小;‎ ‎(2) 求以四点为四个顶点的四面体的体积. ‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 已知函数.‎ ‎(1) 判断函数的奇偶性, 并证明;‎ ‎(2) 若不等式有解，求的取值范围.‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图所示: 扇形是一块半径为千米, 圆心角为的风景区, 点在弧上, 现欲在风景区中规划三条商业街道. 要求街道与垂直, 街道与 垂直,线段表示第三条街道. ‎ ‎(1) 如果位于弧的中点,求三条街道的总长度;‎ ‎(2) 由于环境的原因, 三条街道, , 每年能产生的经济效益分别为每千米万元, 万元及万元,问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?(精确到万元).‎ ‎20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ 设数列满足, 其中是两个确定的实数, .‎ ‎(1) 若, 求的前项之和;‎ ‎(2) 证明: 不是等比数列;‎ ‎(3) 若, 数列中除去开始的两项之外, 是否还有相等的两项? 并证明你的结论.‎ ‎21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 设双曲线的方程为.过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于 两点, 直线的方程为, 在直线上的射影分别为 ‎(1) 当垂直于轴, 时, 求四边形的面积;‎ ‎(2) 当, 的斜率为正实数, 在第一象限, 在第四象限时, 试比较和的大小, 并说明理由;‎ ‎(3) 是否存在实数, 使得对满足题意的任意直线, 直线和直线的交点总在轴上, 若存在, 求出所有的的值和此时直线与交点的位置; 若不存在, 说明理由.‎ 数学评分参考 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 ‎1. 2. 3. 4. ‎ ‎5. 6. 7. 8. ‎ ‎9. 10. 11. 12. ‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. ‎ ‎13、(A) 14、(C) 15、(D) 16、(C)‎ 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .‎ ‎17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.‎ ‎(1) 以为原点, 方向为轴正方向, 方向为轴正方向, 方向为轴正方向建立空间直角坐标系. （2分）‎ 得, , , .‎ 故, . （4分）‎ 设与所成的角的大小为.‎ 则. （6分）‎ 故与所成的角的大小为. （8分）‎ ‎(2) 该四面体是以为底面, 为顶点的三棱锥. （10分）‎ 到平面的距离.‎ 的面积. （12分）‎ 因此四面体的体积. （14分）‎ ‎18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ ‎(1) 奇函数 （2分）‎ ‎ 证明：定义域 （4分）‎ ‎（6分）‎ 所以为奇函数 ‎(2) 令： 则 原函数为 （8分）‎ 值域为 （10分）‎ 因为不等式有解 所以有解 （12分）‎ 即：‎ ‎ （14分）‎ ‎19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 (1) 由题意, , 因此, 同理 （2分）‎ ‎, 故 （4分）‎ ‎ 因此三条步道的总长度为千米 （6分）‎ (1) 设. 则, （8分）‎ 均在以为直径的圆上 由正弦定理 得 （10分）‎ 效益 ‎ （12分）‎ 当时 的最大值为万元 （14分）‎ ‎20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.‎ ‎(1) , 故前项之和 ‎. （2分）‎ ‎ （4分）‎ ‎(2) , , .‎ 若是等比数列, 则 （6分）‎ 即 , 即.‎ 因, 故, 且. （8分）‎ 此时, , , , 不满足.‎ 因此不是等比数列. （10分）‎ ‎(3) 即, 即, 且.‎ 此时, . （12分）‎ 设.‎ ‎, ‎ 当且仅当时等号成立, 故.‎ 即除外, 的各项依次递增. （14分）‎ 因此中除去和之外, 没有其它的两项相等. （16分）‎ ‎21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ ‎(1) 右焦点的坐标为. 故. （1分）‎ ‎ 联立 解得. 故, （3分）‎ 又, 故四边形的面积为. （4分）‎ ‎(2) 设的方程为, 这里. 将的方程与双曲线方程联立, 得到 ‎, 即. （6分）‎ 由知, 此时, ‎ ‎ （8分）‎ 由于, 故, 即, 故.‎ 因此. （10分）‎ ‎(3) 设直线, 与联立得 ‎. (有两交点表示)‎ 设, , 则, .‎ 的绝对值不小于, 故, 且. 又因直线斜率不为零, 故.‎ 直线的方程为.‎ 直线的方程为. （12分）‎ 若这两条直线相交在轴上, 则当时, 两方程的应相同, 即 ‎. ‎ 故,‎ ‎ 即. （14分）‎ 现, , ‎ 代入上式, 得对一切都成立. ‎ 即, . （16分）‎ 此时交点的横坐标为 ‎. （18分）‎ 综上, 存在, , 此时两直线的交点为.‎