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- 2021-05-13 发布
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13.2 数列的极限
●知识梳理
1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0),那么就说数列{an}以a为极限.
注:a不一定是{an}中的项.
2.几个常用的极限:①C=C(C为常数);②=0;③qn=0(|q|<1).
3.数列极限的四则运算法则:设数列{an}、{bn},
当an=a, bn=b时, (an±bn)=a±b;
(an·bn)=a·b; =(b≠0).
特别提示
(1)an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则;
(2)可推广到有限多个.
●点击双基
1.下列极限正确的个数是
①=0(α>0) ②qn=0
③=-1 ④C=C(C为常数)
A.2 B.3
C.4 D.都不正确
解析:①③④正确.
答案:B
2. [n(1-)(1-)(1-)…(1-)]等于
A.0 B.1 C.2 D.3
解析: [n(1-)(1-)(1-)…(1-)]
=[n××××…×]
==2.
答案:C
3.下列四个命题中正确的是
A.若an2=A2,则an=A
B.若an>0,an=A,则A>0
C.若an=A,则an2=A2
D.若(an-b)=0,则an=bn
解析:排除法,取an=(-1)n,排除A;
取an=,排除B;取an=bn=n,排除D.
答案:C
4.(2005年春季上海,2) =__________.
解析:原式===0.
答案:0
5.(2005年春季北京,9) =____________.
解析:原式==.
答案:
思考讨论
求数列极限时,如是不定型(,,∞-∞等),应先变形,再求极限,一般应如何变形?
●典例剖析
【例1】 求下列极限:
(1);(2) (-n);
(3)(++…+).
剖析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(2)因与n都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.
解:(1)==.
(2) (-n)= ==.
(3)原式===(1+)=1.
评述:对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在,∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误: ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.
【例2】 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足lgan=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整数,c是正数.
(1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn;
(2)求的值.
解:(1)由已知得an=c·an-1,
∴{an}是以a1=3,公比为c的等比数列,则an=3·cn-1.
∴Sn=
(2) =.
①当c=2时,原式=-;
②当c>2时,原式==-;
③当0<c<2时,原式==.
评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.
【例3】 已知直线l:x-ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又l与M交于点A、B,l与交于点C、D,求.
剖析:要求的值,必须先求它与n的关系.
解:设圆心M(-1,-1)到直线l的距离为d,则d2=.
又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=.
设点C(x1,y1), D(x2,y2),
由nx2-(2n+1)x+n=0,
∴x1+x2=, x1·x2=1.
∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=,
∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=(4n+1)(n2+1).
∴===2.
评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求,这就要求掌握求弦长的方法.
【例4】 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0<|c|<1,当 (b1+b2+…+bn)≤3,求c的取值范围.
解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.
∴===c.又a1·a2=a2=c.
∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.
∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
∴b1,b3,b5,…,b2n-1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为2c,公比为c的等比数列,
∴ (b1+b2+b3+…+bn)= (b1+b3+b5+…)+ (b2+b4+…)=+≤3.
解得c≤或c>1.∵0<|c|<1,∴0<c≤或-1<c<0.
故c的取值范围是(-1,0)∪(0,].
评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.
●闯关训练
夯实基础
1.已知a、b、c是实常数,且=2, =3,则的值是
A.2 B.3 C. D.6
解析:由=2,得a=2b.
由=3,得b=3c,∴c=b.
∴=6.
∴== =6.
答案:D
2.(2003年北京)若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 (a1+a2+…+an)等于
A. B. C. D.
解析:an=
即an=
∴a1+a2+…+an=(2-1+2-3+2-5+…)+(3-2+3-4+3-6+…).
∴(a1+a2+…+an)=+=
答案:C
3.(2004年春季上海)在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则=__________________.
解析:由题意得-= (n≥2).
∴{}是公差为的等差数列,=.
∴=+(n-1)·=n.
∴an=3n2.
∴=
==3.
答案:3
4.(2004年 上海,4)设等比数列{an}(n∈N)的公比q=-,且(a1+a3+a5+…+a2n-1)=,则a1=_________________.
解析:∵q=-,∴ (a1+a3+a5+…+a2n-1)==.∴a1=2.
答案:2
5.(2004年湖南,理8)数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则(a1+a2+…+an
)等于
A. B. C. D.
解析:2(a1+a2+…+an)=a1+[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)]+an=+[++…+]+an.
∴原式=[++an]=(++an).
∵an+an+1=,∴an+an+1=0.
∴an=0.
答案:C
6.已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*).
(1)求{bn}的通项公式;
(2)求(+++…+)的值.
解:(1)n=1时,由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得a1=1.
n=2时,a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.
要证bn=2n2,只需证an=2n2-n.
①当n=1时,a1=2×12-1=1成立.
②假设当n=k时,ak=2k2-k成立.
那么当n=k+1时,由(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),得a k+1=(ak-1)
=(2k2-k-1)=(2k+1)(k-1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2-(k+1).
∴当n=k+1时,an=2n2-n正确,从而bn=2n2.
(2)(++…+)=(++…+)
=[++…+]
=[1-+-+…+-]
=[1+--]=.
培养能力
7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且
=,求极限 (++…+)的值.
解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.
∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),
∴2d2-3d1=2.
又===,即d2=2d1,
∴d1=2,d2=4.
∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2.
∴==(-).
∴原式=(1-)=.
8.已知数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和,求.
解:Sn=+,
当p>1时,p>q>0,得0<<1,上式分子、分母同除以pn-1,得
∴=p.
当p<1时,0<q<p<1, ==1.
探究创新
9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an.
解:由an=,得
2an+an-1=2an-1+an-2,∴{2an+an-1}是常数列.
∵2a2+a1=2,∴2an+an-1=2.
∴an-=-(an-1-).
∴{an-}是公比为-,首项为-的等比数列.
∴an-=-×(-)n-1.
∴an=-×(-)n-1.
∴an=.
●思悟小结
1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点:
(1)各数列的极限必须存在;
(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算.
2.熟练掌握如下几个常用极限:
(1) C=C(C为常数);
(2) ()p=0(p>0);
(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);
(4) qn=0(|q|<1).
●教师下载中心
教学点睛
1.数列极限的几种类型:∞-∞,,0-0,等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限,另外还有先求和,约分后再求极限,对含参数的题目一定要控制好难度,不要太难了.
2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.
拓展题例
【例题】 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有(-qn)=,求首项a1的取值范围.
解: (-qn)=,
∴qn一定存在.∴0<|q|<1或q=1.
当q=1时,-1=,∴a1=3.
当0<|q|<1时,由(-qn)=得=,∴2a1-1=q.
∴0<|2a1-1|<1.∴0<a1<1且a1≠.
综上,得0<a1<1且a1≠或a1=3.