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  • 2021-05-13 发布

高考第一轮复习数学132数列的极限

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‎13.2 数列的极限 ‎●知识梳理 ‎1.数列极限的定义:一般地,如果当项数n无限增大时,无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an-a|无限地接近于0),那么就说数列{an}以a为极限.‎ 注:a不一定是{an}中的项.‎ ‎2.几个常用的极限:①C=C(C为常数);②=0;③qn=0(|q|<1).‎ ‎3.数列极限的四则运算法则:设数列{an}、{bn},‎ 当an=a, bn=b时, (an±bn)=a±b;‎ (an·bn)=a·b; =(b≠0).‎ 特别提示 ‎(1)an、bn的极限都存在时才能用四则运算法则;‎ ‎(2)可推广到有限多个.‎ ‎●点击双基 ‎1.下列极限正确的个数是 ‎①=0(α>0) ②qn=0‎ ‎③=-1 ④C=C(C为常数)‎ A.2 B.3‎ C.4 D.都不正确 解析:①③④正确.‎ 答案:B ‎2. [n(1-)(1-)(1-)…(1-)]等于 A.0 B‎.1 ‎ C.2 D.3‎ 解析: [n(1-)(1-)(1-)…(1-)]‎ ‎=[n××××…×]‎ ‎==2.‎ 答案:C ‎3.下列四个命题中正确的是 A.若an2=A2,则an=A B.若an>0,an=A,则A>0‎ C.若an=A,则an2=A2‎ D.若(an-b)=0,则an=bn 解析:排除法,取an=(-1)n,排除A;‎ 取an=,排除B;取an=bn=n,排除D.‎ 答案:C ‎4.(2005年春季上海,2) =__________.‎ 解析:原式===0.‎ 答案:0‎ ‎5.(2005年春季北京,9) =____________.‎ 解析:原式==.‎ 答案: 思考讨论 求数列极限时,如是不定型(,,∞-∞等),应先变形,再求极限,一般应如何变形?‎ ‎●典例剖析 ‎【例1】 求下列极限:‎ ‎(1);(2) (-n);‎ ‎(3)(++…+).‎ 剖析:(1)因为分子分母都无极限,故不能直接运用商的极限运算法则,可通过变形分子分母同除以n2后再求极限;(2)因与n都没有极限,可先分子有理化再求极限;(3)因为极限的运算法则只适用于有限个数列,需先求和再求极限.‎ 解:(1)==.‎ ‎(2) (-n)= ==.‎ ‎(3)原式===(1+)=1.‎ 评述:对于(1)要避免下面两种错误:①原式===1,②∵(2n 2+n+7), (5n2+7)不存在,∴原式无极限.对于(2)要避免出现下面两种错误: ①(-n)= -n=∞-∞=0;②原式=-n=∞-∞不存在.对于(3)要避免出现原式=++…+=0+0+…+0=0这样的错误.‎ ‎【例2】 已知数列{an}是由正数构成的数列,a1=3,且满足lgan=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整数,c是正数.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及前n和Sn;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1)由已知得an=c·an-1,‎ ‎∴{an}是以a1=3,公比为c的等比数列,则an=3·cn-1.‎ ‎∴Sn= ‎(2) =.‎ ‎①当c=2时,原式=-;‎ ‎②当c>2时,原式==-;‎ ‎③当0<c<2时,原式==.‎ 评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎【例3】 已知直线l:x-ny=0(n∈N *),圆M:(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线:y=(x-1)2,又l与M交于点A、B,l与交于点C、D,求.‎ 剖析:要求的值,必须先求它与n的关系.‎ 解:设圆心M(-1,-1)到直线l的距离为d,则d2=.‎ 又r=1,∴|AB|2=4(1-d2)=.‎ 设点C(x1,y1), D(x2,y2),‎ 由nx2-(2n+1)x+n=0,‎ ‎∴x1+x2=, x1·x2=1.‎ ‎∵(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=,(y1-y2)2=(-)2=,‎ ‎∴|CD|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2‎ ‎=(4n+1)(n2+1).‎ ‎∴===2.‎ 评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限,需先求,这就要求掌握求弦长的方法.‎ ‎【例4】 若数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2-bnx+cn=0的两根,其中0<|c|<1,当 (b1+b2+…+bn)≤3,求c的取值范围.‎ 解:首先,由题意对任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.‎ ‎∴===c.又a1·a2=a2=c.‎ ‎∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.‎ ‎∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=‎2c,‎ ‎∴b1,b3,b5,…,b2n-1,…是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首项为‎2c,公比为c的等比数列,‎ ‎∴ (b1+b2+b3+…+bn)= (b1+b3+b5+…)+ (b2+b4+…)=+≤3.‎ 解得c≤或c>1.∵0<|c|<1,∴0<c≤或-1<c<0.‎ 故c的取值范围是(-1,0)∪(0,].‎ 评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c的不等式,即将{bn}的各项和表示为关于c的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.已知a、b、c是实常数,且=2, =3,则的值是 A.2 B‎.3 C. D.6‎ 解析:由=2,得a=2b.‎ 由=3,得b=‎3c,∴c=b.‎ ‎∴=6.‎ ‎∴== =6.‎ 答案:D ‎2.(2003年北京)若数列{an}的通项公式是an=,n=1,2,…,则 (a1+a2+…+an)等于 A. B. C. D. 解析:an= 即an= ‎∴a1+a2+…+an=(2-1+2-3+2-5+…)+(3-2+3-4+3-6+…).‎ ‎∴(a1+a2+…+an)=+= 答案:C ‎3.(2004年春季上海)在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则=__________________.‎ 解析:由题意得-= (n≥2).‎ ‎∴{}是公差为的等差数列,=.‎ ‎∴=+(n-1)·=n.‎ ‎∴an=3n2.‎ ‎∴= ‎==3.‎ 答案:3‎ ‎4.(2004年 上海,4)设等比数列{an}(n∈N)的公比q=-,且(a1+a3+a5+…+a2n-1)=,则a1=_________________.‎ 解析:∵q=-,∴ (a1+a3+a5+…+a2n-1)==.∴a1=2.‎ 答案:2‎ ‎5.(2004年湖南,理8)数列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,则(a1+a2+…+an ‎)等于 A. B. C. D. 解析:2(a1+a2+…+an)=a1+[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(an-1+an)]+an=+[++…+]+an.‎ ‎∴原式=[++an]=(++an).‎ ‎∵an+an+1=,∴an+an+1=0.‎ ‎∴an=0.‎ 答案:C ‎6.已知数列{an}满足(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*).‎ ‎(1)求{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求(+++…+)的值.‎ 解:(1)n=1时,由(n-1)an+1=(n+1)(an-1),得a1=1.‎ n=2时,a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.‎ 要证bn=2n2,只需证an=2n2-n.‎ ‎①当n=1时,a1=2×12-1=1成立.‎ ‎②假设当n=k时,ak=2k2-k成立.‎ 那么当n=k+1时,由(k-1)ak+1=(k+1)(ak-1),得a k+1=(ak-1)‎ ‎=(2k2-k-1)=(2k+1)(k-1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2-(k+1).‎ ‎∴当n=k+1时,an=2n2-n正确,从而bn=2n2.‎ ‎(2)(++…+)=(++…+)‎ ‎=[++…+]‎ ‎=[1-+-+…+-]‎ ‎=[1+--]=.‎ 培养能力 ‎7.已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求极限 (++…+)的值.‎ 解:{an}、{bn}的公差分别为d1、d2.‎ ‎∵2b2=a2+a3,即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2d1),‎ ‎∴2d2-3d1=2.‎ 又===,即d2=2d1,‎ ‎∴d1=2,d2=4.‎ ‎∴an=a1+(n-1)d1=2n+1,bn=b1+(n-1)d2=4n-2.‎ ‎∴==(-).‎ ‎∴原式=(1-)=.‎ ‎8.已知数列{an}、{bn}都是由正数组成的等比数列,公比分别为p、q,其中p>q且p≠1,q≠1,设cn=an+bn,Sn为数列{cn}的前n项和,求.‎ 解:Sn=+,‎ 当p>1时,p>q>0,得0<<1,上式分子、分母同除以pn-1,得 ‎∴=p.‎ 当p<1时,0<q<p<1, ==1.‎ 探究创新 ‎9.已知数列{an}满足a1=0,a2=1,an=,求an.‎ 解:由an=,得 ‎2an+an-1=2an-1+an-2,∴{2an+an-1}是常数列.‎ ‎∵2a2+a1=2,∴2an+an-1=2.‎ ‎∴an-=-(an-1-).‎ ‎∴{an-}是公比为-,首项为-的等比数列.‎ ‎∴an-=-×(-)n-1.‎ ‎∴an=-×(-)n-1.‎ ‎∴an=.‎ ‎●思悟小结 ‎1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点:‎ ‎(1)各数列的极限必须存在;‎ ‎(2)四则运算只限于有限个数列极限的运算.‎ ‎2.熟练掌握如下几个常用极限:‎ ‎(1) C=C(C为常数);‎ ‎(2) ()p=0(p>0);‎ ‎(3) =(k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0);‎ ‎(4) qn=0(|q|<1).‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.数列极限的几种类型:∞-∞,,0-0,等形式,必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限,另外还有先求和,约分后再求极限,对含参数的题目一定要控制好难度,不要太难了.‎ ‎2.重视在日常学习过程中化归思想、分类讨论思想和极限思想的运用.‎ 拓展题例 ‎【例题】 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有(-qn)=,求首项a1的取值范围.‎ 解: (-qn)=,‎ ‎∴qn一定存在.∴0<|q|<1或q=1.‎ 当q=1时,-1=,∴a1=3.‎ 当0<|q|<1时,由(-qn)=得=,∴2a1-1=q.‎ ‎∴0<|2a1-1|<1.∴0<a1<1且a1≠.‎ 综上,得0<a1<1且a1≠或a1=3.‎