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  • 2021-05-13 发布

北京市高考试题立体几何汇编

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2011-2017 北京市高考试题立体几何汇编 1、(2011 文 5)某四棱锥的三视图如右图所示,该四棱锥的表面积是( ). A.32 B.16+16 C.48 D.16+32 2、(2011 理 7)某四面体的三视图如右图所示,该四面体四 个面的面积中最大的是( ) A. 8 B. C.10 D. 3 、(2012 理 7 ,文 7) 某三棱锥的三视图如右图所 示,该三棱锥的表面积是( ). A. B. C. D. 4、(2013,文 8)如右图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值 有(  ). A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 5 、 (2013 , 文 10) 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 下 图 所 示 , 该 四 棱 锥 的 体 积 为 __________. 2 2 6 2 8 2 28 6 5+ 30 6 5+ 56 12 5+ 60 12 5+ 俯视图 侧(左)视图正(主)视图 432 4 正(主)视图 11 俯视图 侧(左)视图 2 1 6、(2013,理 14)如右图,在棱长为 2 的正方体 中, 为 的中点,点 在线段 上,点 到直线 的距离的最小值为 . 7、(2014,理 7)在空间直角坐标系 中,已知 , , , ,若 , , 分别表示三棱 锥 在 , , 坐标平面上的正投影图形 的面积,则 (A) (B) 且 (C) 且 (D) 且 8、(2014,文 11)某三棱锥的三视图如右图所示,则该 三棱锥的最长棱的棱长为 . 9、(2015 理 5)某三棱锥的三视图如下图所示,则该三 棱锥的表面积是 A. B. C. D.5 10、(2015 文 7)某四棱锥的三视图如右图所示,该四 棱锥最长棱的棱长为 (A)1 (B) (B) (D)2 11、(2016 理 6)某三棱锥的三视图如右图所示, 1 1 1 1ABCD A B C D− E BC P 1D E P 1CC Oxyz (2,0,0)A (2,2,0)B (0,2,0)C 2(1,1, )D 1S 2S 3S D ABC− xOy yOz zOx 1 2 3S SS = = 1 2SS = 1 3SS ≠ 1 3SS = 2 3S S≠ 2 3S S= 1 3SS ≠ 2 5+ 4 5+ 2 2 5+ E PD C BA C1 B1 A1 D1 俯视图 侧(左)视图正(主)视图 1 1 1 2 2 则该三棱锥的体积为(  ) A. B. C. D.1 12、(2016 文 11)某四棱柱的三视图 如右图所示,则该四棱柱的体积为 ________. 13、(2017 理 7)如右图,某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为() (A)3 (B)2 (C)2 (D)2 14、(2017 文 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱 锥的体积为() (A)60 (B)30 (C)20 (D)10 15、(2017 理 16)如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD,点 M 在线段 PB 上,PD//平面 MAC,PA=PD= ,AB=4. (I)求证:M 为 PB 的中点; (II)求二面角 B-PD-A 的大小; (III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值. 2 3 2 6 1 1 1 2 正(主)视图 左(侧)视图 俯视图 16、(2017 文 18)如图,在三棱锥 P–ABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC, PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上 一点. (Ⅰ)求证:PA⊥BD; (Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 PAC; (Ⅲ)当 PA∥平面 BDE 时,求三棱锥 E–BCD 的体 积. 17、(2016 理 17)如右图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥ PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= . (Ⅰ)求证:PD⊥平面 PAB; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM∥平面 PCD?若 存在,求 的值,若不存在,说明理由. 18 、(2016 文 18 )如图,在四棱锥 中, 平面 , . (Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求证:平面 平面 ; (Ⅲ)设点 为 的中点,在棱 上是否存在 点 ,使得 平面 ,说明理由. 19、(2015 文 18)如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面 EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC⊥ ABCDP- ⊥PC ABCD ACDC⊥ ⊥DC PAC ⊥ABP PAC E AB PB F ⊥PA CEF BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 (1) 求证:EB//平面 MOC. (2) 求证:平面 MOC⊥平面 EAB. (3) 求三棱锥 E-ABC 的体积。 20 、(2015 理 17 )如图,在四棱锥 中, 为 等 边 三 角 形 , 平 面 平 面 , , , , , 为 的中点. (Ⅰ) 求证: ; (Ⅱ) 求二面角 的余弦值; (Ⅲ) 若 平面 ,求 的值. 21 、(2014 文 17) 如图,在三棱柱 中, 侧棱垂直于底面, , , 、 分别为 、 的中点. (1)求证:平面 平面 ; (2)求证: 平面 ; (3)求三棱锥 的体积. A EFCB− AEF△ AEF ⊥ EFCB EF BC∥ 4BC = 2EF a= 60EBC FCB∠ = ∠ = ° O EF AO BE⊥ F AE B− − BE ⊥ AOC a 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 1 2AA AC= = E F 1 1AC BC ABE ⊥ 1 1B BCC 1 //C F ABE E ABC− C1 B1 A1 F E C B A O F E C B A 22、(2014 理 17)如图,正方形 的边长为 , 、 分别为 、 的中 点,在五棱锥 中, 为棱 的中点,平面 与棱 、 分别交于点 、 . (Ⅰ)求证: ∥ ; (Ⅱ)若 平面 ,且 ,求直线 与平面 所成角的大小, 并求线段 的长. 23 、(2013 理 17) 如图,在三棱柱 中, 是 边 长 为 4 的 正 方 形 . 平 面 平 面 , , . (Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求证二面角 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 上存在点 ,使得 ,并求 的值. 24、(2013 文 17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥ AD,CD=2AB,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 25、(2012,文 16)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为 线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2。 AMDE 2 B C AM MD P ABCDE− F PE ABF PD PC G H AB FG PA⊥ ABCDE PA AE= BC ABF PH 1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C ABC ⊥ 1 1AAC C 3AB = 5BC = 1AA ⊥ ABC 1 1 1A BC B− − 1BC D 1AD A B⊥ 1 BD BC 图1 图2 A1 D E B ED C B C A F F C1 B1 A1 A B C E F G H C D B M A P (I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 26、(2012 理 16)如图 ,在 中, , , , 、 分 别 为 、 上 的 点 , 且 // , , 将 沿 折 起 到 的位置,使 ,如图 . (Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)若 是 的中点, 求 与平面 所成角的大小; (Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使平面 与平面 垂直?说明理由. 27、(2011 理 16)如图,在四棱锥 中, 平面 ,底面 是菱形, 。 (I)求证: 平面 (Ⅱ)若 ,求 与 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 与平面 垂直时,求 的长; 28、(2011 文 17)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是 棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 BCP; (Ⅱ)求证:四边形 DEFG 为矩 形; (Ⅲ)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相 等?说明理由. 1 Rt ABC∆ 90C∠ = ° 3BC = 6AC = D E AC AB DE BC 2DE = ADE∆ DE 1A DE∆ 1AC CD⊥ 2 1AC ⊥ BCDE M 1A D CM 1A BE BC P 1A DP 1A BE P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 2, 60AB BAD= ∠ = ° BD ⊥ PAC PA AB= PB AC PBC PDC PA A B C D P 图1 图2 A D E C B A1 M D E C B 答案: 1、B 2、C 3、B 4、B 5、3 6、 7、D 8、 9、C 10、C 11、A 12、 13、B 14、D 15、(I)设 交点为 ,连接 . 因为 平面 ,平面 平面 ,所以 . 因为 是正方形,所以 为 的中点,所以 为 的中点. (II)取 的中点 ,连接 , . 因为 ,所以 . ,AC BD E ME PD∥ MAC MAC  PDB ME= PD ME∥ ABCD E BD M PB AD O OP OE PA PD= OP AD⊥ 2 5 5 2 2 3 2 又因为平面 平面 ,且 平面 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 . 因为 是正方形,所以 . 如图建立空间直角坐标系 ,则 , , , , . 由题知二面角 为锐角,所以它的大小为 . ( III ) 由 题 意 知 , , . 设 直 线 与 平 面 所 成 角 为 , 则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 16、解:(I)因为 , ,所以 平面 , 又因为 平面 ,所以 . (II)因为 , 为 中点,所以 , PAD ⊥ ABCD OP ⊂ PAD OP ⊥ ABCD OE ⊂ ABCD OP OE⊥ ABCD OE AD⊥ O xyz− (0,0, 2)P (2,0,0)D ( 2,4,0)B − (4, 4,0)BD = − (2,0, 2)PD = − B PD A− − 3 π 2( 1,2, )2M − (2,4,0)C 2(3,2, )2MC = − MC BDP α | | 2 6sin | cos , | 9| || | MCMC MC α ⋅= = =  < > nn n MC BDP 2 6 9 PA AB⊥ PA BC⊥ PA ⊥ ABC BD ⊂ ABC PA BD⊥ AB BC= D AC BD AC⊥ 由(I)知, ,所以 平面 . 所以平面 平面 . (III)因为 平面 ,平面 平面 , 所以 . 因为 为 的中点,所以 , . 由(I)知, 平面 ,所以 平面 . 所以三棱锥 的体积 . 17、(Ⅰ)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 且 AB⊥AD,AB⊂平面 ABCD, ∴AB⊥平面 PAD, ∵PD⊂平面 PAD, ∴AB⊥PD, 又 PD⊥PA,且 PA∩AB=A, ∴PD⊥平面 PAB; (Ⅱ)解:取 AD 中点为 O,连接 CO,PO, ∵CD=AC= , ∴CO⊥AD, 又∵PA=PD, ∴PO⊥AD. 以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图: 则 P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C (2,0,0), 则 , , PA BD⊥ BD ⊥ PAC BDE ⊥ PAC PA∥ BDE PAC  BDE DE= PA DE∥ D AC 1 12DE PA= = 2BD DC= = PA ⊥ ABC DE ⊥ PAC E BCD− 1 1 6 3V BD DC DE= ⋅ ⋅ = 设 为平面 PCD 的法向量, 则由 ,得 ,则 . 设 PB 与 平 面 PCD 的 夹 角 为 θ , 则 = ; (Ⅲ)解:假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD,设 ,M(0,y1,z1), 由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1), ,B(1,1,0), , 则有 ,可得 M(0,1﹣λ,λ), ∴ , ∵BM∥平面 PCD, 为平面 PCD 的法向量, ∴ ,即 ,解得 . 综上,存在点 M,即当 时,M 点即为所求. 18、证明:(Ⅰ)因为 平面 ,所以 , 又因为 , 所以, 平面 . (Ⅱ)因为 , ,所以 , 又因为 平面 ,所以 , 所以 平面 . 由 平面 , 所以平面 平面 . (Ⅲ)棱 上存在点 ,使得 平面 ,理由如下: ⊥PC ABCD DCPC⊥ ACDC⊥ ⊥DC PAC AB//DC ACDC⊥ AC⊥AB ⊥PC ABCD PCAB⊥ ⊥AB PAC ⊂AB PAB ⊥PAB PAC PB F ⊥PA CEF 取 的中点 ,连结 . 因为点 为 的中点,所以 . 又因为 不在平面 内,所以 平面 . 19、解:(I)因为 O,M 分别为 AB,VA的中点,       所以OM//VB. 又因为VB 平面 MOC, 所以 VB//平面 MOC. (II)因为AC=BC,O为 AB 的中点, 所以 OC AB. 又因为平面 平面 ,且 平面 ,       所以 平面 .       所以平面 平面 .    (III)在等腰直角三角形 中, ,       所以 , .       所以等边三角形 的面积 .       又因为 平面 ,       所以三棱锥 的体积等于 .       又因为三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等,       所以三棱锥 的体积为 . 20、解:(I)因为△AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点, 所以 AO⊥EF. 又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO 平面 AEF, 所以 AO⊥平面 EFCB. 所以 AO⊥BE. (Ⅱ)取 BC 中点 G,连接 OG. 由题设知 EFCB 是等腰梯形, 所以 OG⊥EF. 由(I)知 AO⊥平面 EFCB 又 OG 平面 EFCB, PB F CFCE,EF, E AB EF//PA PA CEF //PA CEF ⊄ ⊥ VAB ⊥ ABC OC ⊂ ABC OC ⊥ VAB MOC ⊥ VAB ACB 2AC BC= = 2AB = 1OC = VAB 3VABS∆ = OC ⊥ VAB C VAB− 1 3 3 3VABOC S∆⋅ = V ABC− C VAB− V ABC− 3 3 ⊂ ⊂ 所以 OA⊥OG. 如图建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 E(a,0,0),A(0,0, ), B(2, (2-a),0), =(-a,0, ), =(a-2, (a-2),0). 设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z) 则: 即 令 z=1,则 x= ,y=-1.于是 n=( ,-1,1) 平面 AEF 是法向量为 p=(0,1,0) 所以 cos(n,p)= = . 由题知二维角 F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为 (Ⅲ)因为 BE⊥平面 AOC,所以 BE⊥OC,即 . 因为 =(a-2 , (a-2),0), =(-2, (2-a),0), 所以 =-2(a-2)-3 . 由 及 00),则 , 设平面 PBC 的法向量 ,则 , 所以 令 则 所以 . 同理,平面 PDC 的法向量 , 因为平面 PCB⊥平面 PDC, 所以 =0,即 ,解得 , 所以 PA= . 28、解:(Ⅰ)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点, 所以 DE//PC。又因为 DE 平面 BCP,所以 DE//平面 BCP。 (Ⅱ)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点, 所以 DE//PC//FG,DG//AB//EF。所以四边形 DEFG 为平行四边形, 又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG,所以四边形 DEFG 为矩形。 (Ⅲ)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点 由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG. 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN。 与(Ⅱ)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线点为 EG 的中点 Q, 且 QM=QN= EG, 所以 Q 为满足条件的点. 3 ),3,1( tBP −−= ),,( zyxm = 0,0 =⋅=⋅ mBPmBC    −+−− =+− 03 ,03 tzyx yx ,3=y .6,3 tzx == )6,3,3( tm = )6,3,3( tn −= nm ⋅ 0366 2 =+− t 6t = 6 ⊄ 2 1 2 1