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- 2021-05-13 发布
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2011-2017 北京市高考试题立体几何汇编
1、(2011 文 5)某四棱锥的三视图如右图所示,该四棱锥的表面积是( ).
A.32 B.16+16
C.48 D.16+32
2、(2011 理 7)某四面体的三视图如右图所示,该四面体四
个面的面积中最大的是( )
A. 8 B. C.10 D.
3 、(2012 理 7 ,文 7) 某三棱锥的三视图如右图所
示,该三棱锥的表面积是( ).
A. B.
C. D.
4、(2013,文 8)如右图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P
为对角线 BD1 的三等分点,P 到各顶点的距离的不同取值
有( ).
A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
5 、 (2013 , 文 10) 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 下 图 所 示 , 该 四 棱 锥 的 体 积 为
__________.
2
2
6 2 8 2
28 6 5+ 30 6 5+
56 12 5+ 60 12 5+
俯视图
侧(左)视图正(主)视图
432
4
正(主)视图
11
俯视图
侧(左)视图
2
1
6、(2013,理 14)如右图,在棱长为 2 的正方体
中, 为 的中点,点 在线段 上,点 到直线
的距离的最小值为 .
7、(2014,理 7)在空间直角坐标系 中,已知 ,
, , ,若 , , 分别表示三棱
锥 在 , , 坐标平面上的正投影图形
的面积,则
(A) (B) 且
(C) 且 (D) 且
8、(2014,文 11)某三棱锥的三视图如右图所示,则该
三棱锥的最长棱的棱长为 .
9、(2015 理 5)某三棱锥的三视图如下图所示,则该三
棱锥的表面积是
A. B.
C. D.5
10、(2015 文 7)某四棱锥的三视图如右图所示,该四
棱锥最长棱的棱长为
(A)1 (B) (B) (D)2
11、(2016 理 6)某三棱锥的三视图如右图所示,
1 1 1 1ABCD A B C D−
E BC P 1D E P 1CC
Oxyz (2,0,0)A
(2,2,0)B (0,2,0)C 2(1,1, )D 1S 2S 3S
D ABC− xOy yOz zOx
1 2 3S SS = = 1 2SS = 1 3SS ≠
1 3SS = 2 3S S≠ 2 3S S= 1 3SS ≠
2 5+ 4 5+
2 2 5+
E
PD C
BA
C1
B1
A1
D1
俯视图
侧(左)视图正(主)视图
1
1
1
2
2
则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.1
12、(2016 文 11)某四棱柱的三视图
如右图所示,则该四棱柱的体积为
________.
13、(2017 理 7)如右图,某四棱锥的三视图如图所示,
则该四棱锥的最长棱的长度为()
(A)3 (B)2
(C)2 (D)2
14、(2017 文 6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱
锥的体积为()
(A)60 (B)30
(C)20 (D)10
15、(2017 理 16)如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面
ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD,点 M 在线段 PB
上,PD//平面 MAC,PA=PD= ,AB=4.
(I)求证:M 为 PB 的中点;
(II)求二面角 B-PD-A 的大小;
(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值.
2 3
2
6
1
1
1
2
正(主)视图 左(侧)视图
俯视图
16、(2017 文 18)如图,在三棱锥 P–ABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,
PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点,E 为线段 PC 上
一点.
(Ⅰ)求证:PA⊥BD;
(Ⅱ)求证:平面 BDE⊥平面 PAC;
(Ⅲ)当 PA∥平面 BDE 时,求三棱锥 E–BCD 的体
积.
17、(2016 理 17)如右图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥
PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD= .
(Ⅰ)求证:PD⊥平面 PAB;
(Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BM∥平面 PCD?若
存在,求 的值,若不存在,说明理由.
18 、(2016 文 18 )如图,在四棱锥 中,
平面 , .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证:平面 平面 ;
(Ⅲ)设点 为 的中点,在棱 上是否存在
点 ,使得 平面 ,说明理由.
19、(2015 文 18)如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面
EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC⊥
ABCDP-
⊥PC ABCD ACDC⊥
⊥DC PAC
⊥ABP PAC
E AB PB
F ⊥PA CEF
BC,且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。
(1) 求证:EB//平面 MOC.
(2) 求证:平面 MOC⊥平面 EAB.
(3) 求三棱锥 E-ABC 的体积。
20 、(2015 理 17 )如图,在四棱锥 中,
为 等 边 三 角 形 , 平 面 平 面 ,
, , , ,
为 的中点.
(Ⅰ) 求证: ;
(Ⅱ) 求二面角 的余弦值;
(Ⅲ) 若 平面 ,求 的值.
21 、(2014 文 17) 如图,在三棱柱 中,
侧棱垂直于底面, , , 、
分别为 、 的中点.
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求证: 平面 ;
(3)求三棱锥 的体积.
A EFCB−
AEF△ AEF ⊥ EFCB
EF BC∥ 4BC = 2EF a= 60EBC FCB∠ = ∠ = °
O EF
AO BE⊥
F AE B− −
BE ⊥ AOC a
1 1 1ABC A B C−
AB BC⊥ 1 2AA AC= = E
F 1 1AC BC
ABE ⊥ 1 1B BCC
1 //C F ABE
E ABC−
C1
B1
A1
F
E
C
B
A
O
F
E
C
B
A
22、(2014 理 17)如图,正方形 的边长为 , 、 分别为 、 的中
点,在五棱锥
中, 为棱 的中点,平面 与棱 、 分别交于点 、 .
(Ⅰ)求证: ∥ ;
(Ⅱ)若 平面 ,且 ,求直线 与平面 所成角的大小,
并求线段 的长.
23 、(2013 理 17) 如图,在三棱柱 中, 是
边 长 为 4 的 正 方 形 . 平 面 平 面 , ,
.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证二面角 的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段 上存在点 ,使得 ,并求
的值.
24、(2013 文 17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥
AD,CD=2AB,平面 PAD⊥平面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD
和 PC 的中点.求证:
(1)PA⊥底面 ABCD;
(2)BE∥平面 PAD;
(3)平面 BEF⊥平面 PCD.
25、(2012,文 16)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠
C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为
线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△
A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2。
AMDE 2 B C AM MD
P ABCDE−
F PE ABF PD PC G H
AB FG
PA⊥ ABCDE PA AE= BC ABF
PH
1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C
ABC ⊥ 1 1AAC C 3AB =
5BC =
1AA ⊥ ABC
1 1 1A BC B− −
1BC D 1AD A B⊥
1
BD
BC
图1 图2
A1
D
E
B
ED
C B C
A
F F
C1
B1
A1
A B
C
E
F G
H
C
D
B
M
A
P
(I)求证:DE∥平面 A1CB;
(II)求证:A1F⊥BE;
(III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。
26、(2012 理 16)如图 ,在 中, , , , 、
分 别 为 、 上 的 点 , 且 // , , 将 沿 折 起 到
的位置,使 ,如图 .
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)若 是 的中点,
求 与平面 所成角的大小;
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使平面
与平面 垂直?说明理由.
27、(2011 理 16)如图,在四棱锥 中,
平面 ,底面
是菱形, 。
(I)求证: 平面
(Ⅱ)若 ,求 与 所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面 与平面 垂直时,求 的长;
28、(2011 文 17)如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是
棱 AP,AC,BC,PB 的中点.
(Ⅰ)求证:DE∥平面 BCP; (Ⅱ)求证:四边形 DEFG 为矩
形;
(Ⅲ)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相
等?说明理由.
1 Rt ABC∆ 90C∠ = ° 3BC = 6AC = D E
AC AB DE BC 2DE = ADE∆ DE
1A DE∆ 1AC CD⊥ 2
1AC ⊥ BCDE
M 1A D
CM 1A BE
BC P
1A DP 1A BE
P ABCD−
PA ⊥ ABCD ABCD
2, 60AB BAD= ∠ = °
BD ⊥ PAC
PA AB= PB AC
PBC PDC PA
A
B
C
D
P
图1 图2
A
D E
C B
A1
M
D E
C B
答案: 1、B 2、C 3、B 4、B 5、3 6、 7、D
8、 9、C 10、C 11、A 12、 13、B 14、D
15、(I)设 交点为 ,连接 .
因为 平面 ,平面 平面 ,所以 .
因为 是正方形,所以 为 的中点,所以 为 的中点.
(II)取 的中点 ,连接 , .
因为 ,所以 .
,AC BD E ME
PD∥ MAC MAC PDB ME= PD ME∥
ABCD E BD M PB
AD O OP OE
PA PD= OP AD⊥
2 5
5
2 2 3
2
又因为平面 平面 ,且 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
因为 是正方形,所以 .
如图建立空间直角坐标系 ,则 , , ,
, .
由题知二面角 为锐角,所以它的大小为 .
( III ) 由 题 意 知 , ,
.
设 直 线 与 平 面 所 成 角 为 , 则
.
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
16、解:(I)因为 , ,所以 平面
,
又因为 平面 ,所以 .
(II)因为 , 为 中点,所以 ,
PAD ⊥ ABCD OP ⊂ PAD OP ⊥ ABCD
OE ⊂ ABCD OP OE⊥
ABCD OE AD⊥
O xyz− (0,0, 2)P (2,0,0)D ( 2,4,0)B −
(4, 4,0)BD = − (2,0, 2)PD = −
B PD A− −
3
π
2( 1,2, )2M − (2,4,0)C
2(3,2, )2MC = −
MC BDP α
| | 2 6sin | cos , | 9| || |
MCMC
MC
α ⋅= = =
< > nn
n
MC BDP 2 6
9
PA AB⊥ PA BC⊥ PA ⊥
ABC
BD ⊂ ABC PA BD⊥
AB BC= D AC BD AC⊥
由(I)知, ,所以 平面 .
所以平面 平面 .
(III)因为 平面 ,平面 平面 ,
所以 .
因为 为 的中点,所以 , .
由(I)知, 平面 ,所以 平面 .
所以三棱锥 的体积 .
17、(Ⅰ)证明:∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
且 AB⊥AD,AB⊂平面 ABCD,
∴AB⊥平面 PAD,
∵PD⊂平面 PAD,
∴AB⊥PD,
又 PD⊥PA,且 PA∩AB=A,
∴PD⊥平面 PAB;
(Ⅱ)解:取 AD 中点为 O,连接 CO,PO,
∵CD=AC= ,
∴CO⊥AD,
又∵PA=PD,
∴PO⊥AD.
以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系如图:
则 P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C
(2,0,0),
则 ,
,
PA BD⊥ BD ⊥ PAC
BDE ⊥ PAC
PA∥ BDE PAC BDE DE=
PA DE∥
D AC 1 12DE PA= = 2BD DC= =
PA ⊥ ABC DE ⊥ PAC
E BCD− 1 1
6 3V BD DC DE= ⋅ ⋅ =
设 为平面 PCD 的法向量,
则由 ,得 ,则 .
设 PB 与 平 面 PCD 的 夹 角 为 θ , 则 =
;
(Ⅲ)解:假设存在 M 点使得 BM∥平面 PCD,设 ,M(0,y1,z1),
由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1), ,B(1,1,0),
,
则有 ,可得 M(0,1﹣λ,λ),
∴ ,
∵BM∥平面 PCD, 为平面 PCD 的法向量,
∴ ,即 ,解得 .
综上,存在点 M,即当 时,M 点即为所求.
18、证明:(Ⅰ)因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,
所以, 平面 .
(Ⅱ)因为 , ,所以 ,
又因为 平面 ,所以 ,
所以 平面 .
由 平面 , 所以平面 平面 .
(Ⅲ)棱 上存在点 ,使得 平面 ,理由如下:
⊥PC ABCD DCPC⊥
ACDC⊥
⊥DC PAC
AB//DC ACDC⊥ AC⊥AB
⊥PC ABCD PCAB⊥
⊥AB PAC
⊂AB PAB ⊥PAB PAC
PB F ⊥PA CEF
取 的中点 ,连结 .
因为点 为 的中点,所以 .
又因为 不在平面 内,所以 平面 .
19、解:(I)因为 O,M 分别为 AB,VA的中点,
所以OM//VB.
又因为VB 平面 MOC,
所以 VB//平面 MOC.
(II)因为AC=BC,O为 AB 的中点,
所以 OC AB.
又因为平面 平面 ,且 平面 ,
所以 平面 .
所以平面 平面 .
(III)在等腰直角三角形 中, ,
所以 , .
所以等边三角形 的面积 .
又因为 平面 ,
所以三棱锥 的体积等于 .
又因为三棱锥 的体积与三棱锥 的体积相等,
所以三棱锥 的体积为 .
20、解:(I)因为△AEF 是等边三角形,O 为 EF 的中点,
所以 AO⊥EF.
又因为平面 AEF⊥平面 EFCB,AO 平面 AEF,
所以 AO⊥平面 EFCB.
所以 AO⊥BE.
(Ⅱ)取 BC 中点 G,连接 OG.
由题设知 EFCB 是等腰梯形,
所以 OG⊥EF.
由(I)知 AO⊥平面 EFCB
又 OG 平面 EFCB,
PB F CFCE,EF,
E AB EF//PA
PA CEF //PA CEF
⊄
⊥
VAB ⊥ ABC OC ⊂ ABC
OC ⊥ VAB
MOC ⊥ VAB
ACB 2AC BC= =
2AB = 1OC =
VAB 3VABS∆ =
OC ⊥ VAB
C VAB− 1 3
3 3VABOC S∆⋅ =
V ABC− C VAB−
V ABC− 3
3
⊂
⊂
所以 OA⊥OG.
如图建立空间直角坐标系 O-xyz,
则 E(a,0,0),A(0,0, ),
B(2, (2-a),0), =(-a,0, ),
=(a-2, (a-2),0).
设平面 ABE 的法向量为 n=(x,y,z)
则: 即
令 z=1,则 x= ,y=-1.于是 n=( ,-1,1)
平面 AEF 是法向量为 p=(0,1,0)
所以 cos(n,p)= = .
由题知二维角 F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为
(Ⅲ)因为 BE⊥平面 AOC,所以 BE⊥OC,即 .
因为 =(a-2 , (a-2),0), =(-2, (2-a),0),
所以 =-2(a-2)-3 .
由 及 00),则 ,
设平面 PBC 的法向量 ,则 ,
所以
令 则
所以 .
同理,平面 PDC 的法向量 ,
因为平面 PCB⊥平面 PDC,
所以 =0,即 ,解得 ,
所以 PA= .
28、解:(Ⅰ)因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,
所以 DE//PC。又因为 DE 平面 BCP,所以 DE//平面 BCP。
(Ⅱ)因为 D,E,F,G 分别为 AP,AC,BC,PB 的中点,
所以 DE//PC//FG,DG//AB//EF。所以四边形 DEFG 为平行四边形,
又因为 PC⊥AB,所以 DE⊥DG,所以四边形 DEFG 为矩形。
(Ⅲ)存在点 Q 满足条件,理由如下:
连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点
由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG.
分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN。
与(Ⅱ)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线点为 EG 的中点 Q,
且 QM=QN= EG, 所以 Q 为满足条件的点.
3 ),3,1( tBP −−=
),,( zyxm = 0,0 =⋅=⋅ mBPmBC
−+−−
=+−
03
,03
tzyx
yx
,3=y .6,3 tzx ==
)6,3,3( tm =
)6,3,3( tn −=
nm ⋅ 0366 2
=+−
t 6t =
6
⊄
2
1
2
1