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- 2021-05-13 发布
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点到直线的距离公式及其应用
一、知识要点
1. 点到直线的距离;点到直线的距离;
2. 点到直线的距离;
3. 点到直线的距离;
4. 利用点到直线的距离公式,可求得两平行线与间的距离.
推导方法如下:由于不同时为零,不妨设,令,得直线与轴的交点,点到直线的距离即为两平行线间的距离;当时,公式也成立.
二、应用指南
要牢记上述公式的特点及应用条件,重点掌握公式及其应用;还要会利用所得到的方程求点的坐标或求直线方程中的参数、求轨迹方程;有些问题根据图形的几何性质,抓住点到直线的距离这一突破口,就能找到解题捷径.平行线间的距离可转化为点到直线的距离,也可利用平行线间的距离公式求解.
三、解题指导
1. 求距离
例1 已知,求的面积.
分析:欲求的面积,可先求出直线的方程,再求点到直线的距离.
解:由两点式,可求出直线的方程为:,点到直线的距离等于中边上的高,,又,.
2. 求点的坐标
例2 求直线上到直线的距离为的点的坐标.
解:设为直线上到的距离为的点,
则,,所以点的坐标为.
由点到直线的距离公式,得,或.
所求点的坐标为或.
1. 求方程
利用点到直线的距离可确定直线方程中的参数,从而求得直线方程;利用点到直线的距离列方程可求动点的转迹方程.
例3 已知正方形的中心为直线和的交点,正方形一边所在的直线为,求其他三边所在直线的方程.
解:由方程组的解,
可得正方形的中心为.
设正方形相邻两边的方程为和.
因为中心到四边距离相等,故有.
(舍去).
其他三边所在直线的方程分别为,,.
例4 点到定点的距离与到直线的距离之比为,求点的轨迹方程.
解:由题意,得.
化简,得所求的轨迹方程为.
2. 求最值(创新应用型)
例5 已知,求的最小值.
解:的最小值是点到直线的距离,
所求最小值为.
四、感悟与体验
点到直线的距离公式是解析几何常用的基本公式之一.解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题.随着对解析几何的深入学习,我们对点到直线的距离公式及其应用会有更深更广的认识.
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