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- 2021-05-13 发布
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2013年高考数学一轮复习精品教学案11.5 离散型随机变量的期望与方差、正态分布(新课标人教版,教师版)
【考纲解读】
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
2.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.概率是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,一般以实际应用题的形式考查,又经常与其它知识结合,在考查概率等基础知识的同时,考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持以实际应用题的形式考查概率,或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.
【要点梳理】
1.离散型随机变量均值、方差:
(1)定义:若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称为随机变量X的均值或数学期望.
称为随机变量X的方差.
(2)性质: (1)E(C)=C(C为常数)
(2)E(aX+b)=aE(X)+b(a、b为常数)
(3)E(X1+X2)=EX1+EX2
(4)如果X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)E(X2)
(5)D(X)=E(X2)-(E(X))2
(6)D(aX+b)=a2·D(X)
2.正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数φμ,σ(x)=e-,
x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R,即x∈(-∞,+∞).
②解析式中含有两个常数:π和e,这是两个无理数.
③解析式中含有两个参数:μ和σ,其中μ可取任意实数,σ>0这是正态分布的两个特征数.
④解析式前面有一个系数为,后面是一个以e为底数的指数函数的形式,幂指数为-.
【例题精析】
考点一 离散型随机变量的期望与方差
例1.(2011年高考浙江卷理科15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙、丙两公司面试的概率为,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若,则随机变量的数学期望
【名师点睛】本小题主要考查离散型随机变量的期望的求解,熟练基本概念是解决本类问题的关键.
【变式训练】
1.(2011年高考辽宁卷理科19)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.
(I)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望;
(II)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?
附:样本数据x1,x2,…,xa的样本方差,其中为样本平均数.
【解析】(I)X可能的取值为0,1,2,3,4,且
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.
考点二 正态分布
例2.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),已知P(ξ<0)=0.3,则P(ξ<2)=________.
2.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)设随机变量服从正态分布 ,则函数不存在零点的慨率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数不存在零点,则
因为,所以
【易错专区】
问题:综合应用
例.(2012年高考广东卷理科17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
(1)求图中x的值;
(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.
所以随机变量的分布列为
0
1
2
P
所以的数学期望为
.
【名师点睛】本小题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.
【课时作业】
1. (2010年全国高考宁夏卷6)某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( )
(A)100 (B)200 (C)300 (D)400
【答案】B
【解析】根据题意显然有,所以,故.
2.(2011年高考重庆卷理科17)某市公租房房屋位于A.B.C三个地区,设每位申请人只申请其中一个片区的房屋,且申请其中任一个片区的房屋是等可能的,求该市的任4位申请人中:
(Ⅰ)若有2人申请A片区房屋的概率;
(Ⅱ)申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。
3.(2009年高考北京卷理科第17题)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.
(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.
∴即的分布列是
0
2
4
6
8
∴的期望是.
4.(2012年高考湖北卷理科20)根据以往的经验,某工程施工期间的将数量X(单位:mm)对工期的影响如下表:
降水量X
X<300
300≤X<700
700≤X<900
X≥900
工期延误天数Y
0
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:
(I)工期延误天数Y的均值与方差;
(Ⅱ)在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率。
【解析】(Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:
,
.
.
【考题回放】
1. (2010年高考数学湖北卷理科14)某射手射击所得环数的分布列如下:
已知的期望,则y的值为 .
【答案】0.4
【解析】由表格可知:
联合解得.
2.(2012年高考浙江卷理科19) 已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)求X的数学期望E(X).
【解析】(Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6.
3.(2012年高考山东卷理科19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分的分布列及数学期望.
0
1
2
3
4
5
所以.
4. (山东省济南市2012年2月高三定时练习理科)将编号为1,2,3,4的四张同样材质的卡片,随机放入编码分别为1,2,3,4的四个小盒中,每盒仅放一张卡片,若第号卡片恰好落入第号小盒中,则称其为一个匹对,用表示匹对的个数.
(1)求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率;
(2)求匹对数的分布列和数学期望.
∴的分布列为:
0
1
2
4
……………………………10分
∴ …………………12分