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- 2021-05-13 发布
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2012年浙江省高考数学(理科)试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至5页。满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个项是符合题目要求的。
1. 设集合,集合,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,则,故选B。
2. 已知是虚数单位,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】。
3. 设,则“”是“直线:与直线:平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线:与直线:平行”的充要条件是,解得,或,所以是充分不必要条件。
4. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是
【答案】A
【解析】,故选A。
5. 设,是两个非零向量
A.若,则
B.若,则
C.若,则存在实数,使得
D.若存在实数,使得,则
【答案】C
【解析】,则,所以不垂直,A不正确,同理B也不正确;,则,所以共线,故存在实数,使得,C正确;若,则,此时,所以D不正确。
6. 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有
A.60种 B.63种 C.65种 D.66种
【答案】D
【解析】和为偶数,则4个数都是偶数,都是奇数或者两个奇数两个偶数,则有种取法。
7. 设是公差为()的无穷等差数列的前项和,则下列命题错误的是
A.若,则数列有最大项
B.若数列有最大项,则
C.若数列是递增数列,则对任意,均有
D.若对任意,均有,则数列是递增数列
【答案】C
【解析】当时,则存在,有,故C错误。
8. 如图,,分别是双曲线:的左、右两焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点.若,则的离心率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,则点坐标。直线方程为,可得,两点坐标分别为,则,中点坐标为。依题意可得,,则,即,整理可得,,从而有。
9. 设,
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【答案】A
【解析】记,则,当时,当时。,则有。,此时无法确定大小关系,故选A。
10.已知矩形,,.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,在翻折过程中,
A.存在某个位置,使得直线与直线垂直
B.存在某个位置,使得直线与直线垂直
C.存在某个位置,使得直线与直线垂直
D.对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直
【答案】B
【解析】故点作,若存在某个位置,使得,则面,从而有,计算可得,则A不正确;当翻折到时,因为,所以面,从而可得;若,因为,所以面,从而可得,而,所以这样的位置不存在,故C不正确;同理,D也不正确,故选B。
非选择题部分(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
11.已知某三棱锥的三视图(单位:)如图所示,则该三棱锥的体积等于 .
【答案】1
【解析】由三视图可知,该三棱锥的底面面积为,高为2,则
。
12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 .
【答案】
【解析】第一次运行:;第二次运行:;第三次运行:;第四次运行:;第五次运行:,故输出值为。
13.设公比为的等比数列的前项和为.若,,则 .
【答案】
【解析】依题意可得,两式相减可得,即,解得(舍)或或。因为,所以。
14.若将函数表示为
,其中,,,…,为实数,则 .
【答案】10
【解析】,则。
15.在中,是的中点,,,则 .
【答案】-16
【解析】依题意可得,。由余弦定理可得,,因为,所以,即,则有,而,则,所以。
16.定义:曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离.已知曲线:到直线:的距离等于曲线:到直线:的距离,则实数 .
【答案】
【解析】曲线:到直线:的距离为圆心到直线的距离减去半径,即。依题意可得,,且知曲线:到直线:的距离等于曲线上切线斜率为1的切线与的距离。令,可得,所以切线斜率为1的切线方程为,即,所以,解得或(舍)。
17.设,若时均有,则 .
【答案】
【解析】根据图象分析,函数和都过定点,要使得时均有,则当时,保持同号,所以与的零点相同,即存在,使得,解得,(舍)或。
三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)在中,内角,,的对边分别为,,.已知,.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分
解:(1)因为,得
又
所以
(2)由,得
于是,
由及正弦定理,得
设的面积为,则.
19.(本题满分14分)已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从箱中任取(无放回,且每球取道的机会均等)3个球,记随机变量为取出此3球所得分数之和.
(1)求的分布列;
(2)求的数学期望.
本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
解:(1)由题意得取3,4,5,6,且
,,
,
所以的分布列为
3
4
5
6
(2)由(1)知,.
20.(本题满分15分)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,且平面,,,分别为,的中点.
(1)证明:平面;
(2)过点作,垂足为点,求二面角的平面角的余弦值.
本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
(1)证:因为,分别为,的中点,所以是的中位线,
所以
又因为平面,所以平面
(2)解:方法一:连接交于,以为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图所示。
在菱形中,,得
又因为平面,所以
在直角中,,
得
由此知个点坐标如下,
设为平面的法向量,由知,取,得
设为平面的法向量,由知
,取,得
于是,
所以二面角的平面角的余弦值为
方法二:
在菱形中,,得
又因为平面,
所以
所以
所以
而,分别为,的中点,
所以,且
取线段中点,连接,则
所以是二面角的平面角
由,故
在中,,得
在直角中,,得
在中,,得
在等腰中,,得
所以二面角的平面角的余弦值为
21.(本题满分15分)如图,椭圆:的离心率为,其左焦点到点
的距离为,不过原点的直线与相交于,两点,且线段被直线平分.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积取最大值时直线的方程.
本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分
解:(10设椭圆左焦点为,则由题意得
,得
所以椭圆方程为
(2)设,线段的中点为
当直线与轴垂直时,直线的方程为,与不过原点的条件不符,舍去。故可设直线的方程为
由消去,整理得 ①
则,
所以线段的中点
因为在直线上,所以,得(舍)或
此时方程①为,则
所以
设点到直线距离为,则
设的面积为,则
其中
令,
所以当且仅当,取到最大值
故当且仅当,取到最大值
综上,所求直线方程为:
22.(本题满分14分)已知,,函数.
(1)证明:当时,
① 函数的最大值为;
② ;
(2)若对恒成立,求的取值范围.
本题主要考查利用导数研究函数的性质、线性规划等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。
(1)证:①
当时,有,此时在上单调递增
当时,
此时在上单调递减,在上单调递增
所以当时,
② 由于,故当时,
当时,
设,,则
于是
0
1
-
0
+
1
单调减
极小值
单调增
1
所以,
所以当时,,故
(2)解:由①知,当时,,所以
若,则由②知,
所以对任意恒成立的充要条件是
,即或 ①
在直角坐标系中,①表示的平面区域为如图所示阴影部分,其中不包括线段
作一组平行直线,得
所以的取值范围是