高考数学全国卷一 13页

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  • 2021-05-13 发布

高考数学全国卷一

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星期天(时间50分钟)‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标I文科卷)‎ 一. 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知集合,则( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ (2) 若,则 A. ‎ B. C. D. ‎ (3) 设,则 A. B. C. D. 2‎ ‎(4)已知双曲线的离心率为2,则 A. 2 B. C. D. 1‎ (5) 设函数的定义域为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是 A. 是偶函数 B. 是奇函数 ‎ ‎ C. 是奇函数 D. 是奇函数 (6) 设分别为的三边的中点,则 A. ‎ B. C. D. ‎ (7) 在函数①,② ,③,④中,最小正周期为的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( )‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎9.执行右面的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的( )‎ A. B. C. D.‎ 10. 已知抛物线C:的焦点为,是C上一点,,则( )‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ (11) 设,满足约束条件且的最小值为7,则 ‎ (A)-5 (B)3 (C)-5或3 (D)5或-3‎ (12) 已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值 范围是 (A) ‎ (B) (C) (D)‎ 第II 卷 二、 填空题:本大题共4小题,每小题5分 ‎(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.‎ (14) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时,‎ ‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过城市;‎ ‎ 乙说:我没去过城市;‎ ‎ 丙说:我们三人去过同一城市;‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ ‎(15)设函数则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎(16)如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角,点的仰角以及;从点测得.已知山高,则山高________.‎ 星期一(7分钟)‎ 已知是递增的等差数列,,是方程的根。‎ ‎(I)求的通项公式;‎ ‎(II)求数列的前项和.‎ 星期二(8分钟)‎ 如图,三棱柱中,侧面为菱形,的中点为,且平面.‎ (1) 证明:‎ (2) 若,求三棱柱的高.‎ 星期三(10分钟)‎ ‎ 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:‎ 质量指标值分组 ‎[75,85)‎ ‎[85,95)‎ ‎[95,105)‎ ‎[105,115)‎ ‎[115,125)‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:‎ ‎(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);‎ ‎(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?‎ 星期四(15~20分钟)‎ 已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.‎ (1) 求的轨迹方程;‎ (2) 当时,求的方程及的面积 星期五(15~20分钟)‎ 设函数,曲线处的切线斜率为0‎ (1) 求b;‎ (2) 若存在使得,求a的取值范围。‎ 星期六(三选一(7~10分钟))‎ (22) ‎(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲 ‎ 如图,四边形是的内接四边形,的延长线与的延长线交于点,且.‎ ‎(I)证明:;‎ ‎(II)设不是的直径,的中点为,zxxk且,www.shulihua.net证明:为等边三角形.‎ (23) ‎(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线,直线(为参数)‎ (1) 写出曲线的参数方程,直线的普通方程;‎ (2) 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线,交于点,www.shulihua.net求的最大值与最小值.‎ (24) ‎(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲 若且 ‎(I)求的最小值;‎ ‎(II)是否存在,使得?并说明理由.‎ 文科数学试题答案 一、选择题 ‎(1)B (2)A (3)B (4)D (5)A (6)C ‎ ‎(7)C (8)B (9)D (10)C (11)B (12)A 二、填空题 ‎(13) (14)A (15) (16)150‎ 三、解答题 ‎(17)解:‎ ‎(I)方程的两根为2,3,由题意得 设数列的公差为d,则故从而 所以的通项公式为 ……6分 ‎(II)设的前n项和为由(I)知则 两式相减得 ‎ ‎ 所以 ……12分 (17) 解:‎ ‎(I)‎ ‎(II)质量指标值的样本平均数为 ‎80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08‎ ‎ =100.‎ 质量指标值的样本方差为 ‎ =104.‎ 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.‎ ‎ ……10分 ‎(III)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 ‎ 0.38+0.22+0.08=0.68.‎ 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. ……12分 (17) 解:‎ (I) 连接,则O为与的交点.因为侧面为菱形,所以 又平面,所以,故平面ABO.‎ 由于平面ABO,故 ……6分 (II) 作,垂足为D,连接AD.作,垂足为H. 由于,,故平面AOD,所以.又,所以平面ABC.‎ ‎ 因为,所以为等边三角形,又BC=1,‎ ‎ 可得.由于 ,所以 ‎ 由,且,得 又O为的中点,所以点到平面 ABC的距离为故三棱柱的距离为 .‎ (17) 解:‎ ‎(I)圆C的方程可化为,所以圆心为,半径为4,‎ 设,则,,‎ 由题设知,故,即.‎ 由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是. ……6分 ‎(II)由(1)可知M的轨迹是以点为圆心,为半径的圆.‎ 由于,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而.‎ 因为ON的斜率为3,所以的斜率为,故的方程为.‎ 又,O到的距离为,,所以的面积为.‎ ‎ ……12分 (18) 解:‎ ‎(I),‎ 由题设知,解得. ……4分 ‎(II)的定义域为,由(1)知,,‎ ‎(ⅰ)若,则,故当时,,在单调递增,‎ 所以,存在,使得的充要条件为,即,‎ 解得.‎ ‎(ii)若,则,故当时,;‎ 当时,,在单调递减,在单调递增.‎ 所以,存在,使得的充要条件为,‎ 而,所以不合题意.‎ ‎(iii)若,则.‎ 综上,a的取值范围是.‎ ‎ ……12分 ‎(22)解:‎ ‎(I)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以, 由已知得,故 ……5分 ‎(II)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知,故O在直线MN上.‎ 又AD不是的直径,M为AD的中点,故,即 所以,故 又,故由(I)知,,所以为等边三角形.‎ ‎ ……10分 ‎(23)解:‎ (I) 曲线C的参数方程为(为参数)‎ 直线的普通方程为 ……5分 (II) 曲线C上任意一点到的距离为 则,其中为锐角,且 当时,取得最大值,最大值为 当时,取得最小值,最小值为 ……10分 ‎(24)解:‎ ‎(I)由,得,且当时等号成立.‎ 故,且当时等号成立.‎ 所以的最小值为. ……5分 ‎(II)由(I)知,‎ 由于,从而不存在,使得. ……10分