高考数学全国卷一 13页

星期天（时间50分钟）‎ ‎2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I文科卷）‎ 一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎（1）已知集合，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ （2） 若，则 A. ‎ B. C. D. ‎ （3） 设，则 A. B. C. D. 2‎ ‎（4）已知双曲线的离心率为2，则 A. 2 B. C. D. 1‎ （5） 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是 A. 是偶函数 B. 是奇函数 ‎ ‎ C. 是奇函数 D. 是奇函数 （6） 设分别为的三边的中点，则 A. ‎ B. C. D. ‎ （7） 在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎9.执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )‎ A. B. C. D.‎ 10. 已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ （11） 设，满足约束条件且的最小值为7，则 ‎ （A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3‎ （12） 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值 范围是 （A） ‎ （B） （C） （D）‎ 第II 卷 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ （14） 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说：我没去过城市；‎ ‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ ‎（15）设函数则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎（16）如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.‎ 星期一（7分钟）‎ 已知是递增的等差数列，，是方程的根。‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ 星期二（8分钟）‎ 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.‎ （1） 证明：‎ （2） 若,求三棱柱的高.‎ 星期三（10分钟）‎ ‎ 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85)‎ ‎[85，95)‎ ‎[95，105)‎ ‎[105，115)‎ ‎[115，125)‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：‎ ‎（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？‎ 星期四（15~20分钟）‎ 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.‎ （1） 求的轨迹方程；‎ （2） 当时，求的方程及的面积 星期五（15~20分钟）‎ 设函数，曲线处的切线斜率为0‎ （1） 求b;‎ （2） 若存在使得，求a的取值范围。‎ 星期六（三选一（7~10分钟））‎ （22） ‎（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 ‎ 如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）设不是的直径，的中点为，zxxk且，www.shulihua.net证明：为等边三角形.‎ （23） ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线，直线（为参数）‎ （1） 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ （2） 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，www.shulihua.net求的最大值与最小值.‎ （24） ‎（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若且 ‎（I）求的最小值；‎ ‎（II）是否存在，使得？并说明理由.‎ 文科数学试题答案 一、选择题 ‎（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C ‎ ‎（7）C （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A 二、填空题 ‎（13） （14）A （15） （16）150‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ ‎（I）方程的两根为2,3，由题意得 设数列的公差为d，则故从而 所以的通项公式为 ……6分 ‎（II）设的前n项和为由（I）知则 两式相减得 ‎ ‎ 所以 ……12分 （17） 解：‎ ‎（I）‎ ‎（II）质量指标值的样本平均数为 ‎80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08‎ ‎ =100.‎ 质量指标值的样本方差为 ‎ =104.‎ 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.‎ ‎ ……10分 ‎（III）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 ‎ 0.38+0.22+0.08=0.68.‎ 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. ……12分 （17） 解：‎ （I） 连接，则O为与的交点.因为侧面为菱形，所以 又平面，所以，故平面ABO.‎ 由于平面ABO，故 ……6分 （II） 作，垂足为D，连接AD.作，垂足为H. 由于，，故平面AOD，所以.又，所以平面ABC.‎ ‎ 因为，所以为等边三角形，又BC=1，‎ ‎ 可得.由于 ，所以 ‎ 由，且，得 又O为的中点，所以点到平面 ABC的距离为故三棱柱的距离为 .‎ （17） 解：‎ ‎（I）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，‎ 设，则，，‎ 由题设知，故，即.‎ 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是. ……6分 ‎（II）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.‎ 由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.‎ 因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.‎ 又，O到的距离为，，所以的面积为.‎ ‎ ……12分 （18） 解：‎ ‎（I），‎ 由题设知，解得. ……4分 ‎（II）的定义域为，由（1）知，，‎ ‎（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为，即，‎ 解得.‎ ‎（ii）若，则，故当时，；‎ 当时，，在单调递减，在单调递增.‎ 所以，存在，使得的充要条件为，‎ 而，所以不合题意.‎ ‎（iii）若，则.‎ 综上，a的取值范围是.‎ ‎ ……12分 ‎（22）解：‎ ‎（I）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以， 由已知得，故 ……5分 ‎（II）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知，故O在直线MN上.‎ 又AD不是的直径，M为AD的中点，故，即 所以，故 又，故由（I）知，，所以为等边三角形.‎ ‎ ……10分 ‎（23）解：‎ （I） 曲线C的参数方程为（为参数）‎ 直线的普通方程为 ……5分 （II） 曲线C上任意一点到的距离为 则，其中为锐角，且 当时，取得最大值，最大值为 当时，取得最小值，最小值为 ……10分 ‎（24）解：‎ ‎（I）由，得，且当时等号成立.‎ 故，且当时等号成立.‎ 所以的最小值为. ……5分 ‎（II）由（I）知，‎ 由于，从而不存在，使得. ……10分