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  • 2021-05-13 发布

专题平面向量的概念及其线性运算高考数学文热点题型和提分秘籍

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‎【高频考点解读】‎ ‎1.了解向量的实际背景 ‎2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义 ‎3.理解向量的几何表示 ‎4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义 ‎5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义 ‎6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 平面向量的有关概念 例1、给出下列命题:‎ ‎①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b。‎ 其中真命题的序号是__________。‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同。②正确.∵=,∴| ‎【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论 ‎(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性。‎ ‎(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量。‎ ‎(3)是与a同向的单位向量,-是与a反向的单位向量。‎ ‎【举一反三】‎ 设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0。上述命题中,假命题的个数是(  )‎ A.0   B.‎1 ‎  C.2   D.3‎ ‎【答案】D 热点题型二 平面向量的线性运算 例2、【2017天津】在中,,,.若,,且,则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎【变式探究】 (1)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=__________。‎ ‎(2)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有(  )‎ A.=2 B.=2 C.=2 D.=2 ‎【答案】(1)2 (2)D ‎【解析】(1)∵+==2,∴λ=2。‎ ‎(2)∵++==-,‎ ‎∴=-2=2。‎ ‎【提分秘籍】向量线性运算的方法技巧 向量线性运算,要转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质,把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。‎ ‎ 【举一反三】‎ 在△ABC中,已知D是AB边上一点,=+λ,则实数λ=(  )‎ A.- B.- C. D. ‎【答案】D ‎ ‎【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC 例3.【2017江苏,16】 已知向量 ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.‎ ‎【解析】‎ ‎【变式探究】设两个非零向量a与b不共线,‎ ‎(1)若=a+b,=‎2a+8b,=3(a-b)。‎ 求证:A、B、D三点共线。‎ ‎(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线。‎ ‎【解析】(1)证明:∵=a+b,=‎2a+8b,=3(a-b),‎ ‎∴=+=‎2a+8b+3(a-b)=‎2a+8b+‎3a-3b=5(a+b)=5。∴、共线,又∵它们有公共点B,‎ ‎∴A、B、D三点共线。‎ ‎(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,‎ 使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb。‎ ‎∴(k-λ)a=(λk-1)b。‎ ‎∵a、b是不共线的两个非零向量,‎ ‎∴k-λ=λk-1=0,‎ ‎∴k2-1=0,∴k=±1。‎ ‎【提分秘籍】‎ ‎ 1.共线向量定理及其应用 ‎(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值。‎ ‎(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛。‎ ‎2.证明三点共线的方法 若=λ,则A,B,C三点共线。‎ ‎【举一反三】‎ 已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为__________。‎ ‎【答案】1‎ ‎【高考风向标】‎ ‎1.【2017课标3】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=‎ ‎+,则+的最大值为 A.3 B.2 C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示,建立平面直角坐标系 点在圆上,所以圆心到直线的距离,即 ,解得,所以的最大值是3,即的最大值是3,故选A。‎ ‎【考点】 平面向量的坐标运算;平面向量基本定理 ‎2.【2017北京】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若,使,即两向量反向,夹角是,那么T,若,那么两向量的夹角为 ,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.‎ ‎【考点】1.向量;2.充分必要条件.‎ ‎3.【2017课标II,理12】已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【考点】 平面向量的坐标运算;函数的最值 ‎4.【2017课标1】已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用如下图形,可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,‎ 所以.‎ ‎【考点】平面向量的运算.‎ ‎5.【2017天津】在中,,,.若,,且,则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ,则 ‎.‎ ‎【考点】向量的数量积 ‎6.【2017山东】已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.‎ ‎7.【2017浙江,15】已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是_______.‎ ‎【答案】4,‎ ‎【解析】设向量的夹角为,由余弦定理有: ,‎ ‎,则:‎ ‎,‎ 令,则,‎ 据此可得: ,‎ 即的最小值是4,最大值是.‎ ‎【考点】平面向量模长运算 ‎8.【2017浙江,10】如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记,,,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为, , ,所以,故选C。‎ ‎【考点】 平面向量数量积运算 ‎9.【2017江苏,12】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .‎ A C B O ‎(第12题)‎ ‎【答案】3 ‎ ‎,‎ 所以.‎ ‎【考点】向量表示 ‎10.【2017江苏,16】 已知向量 ‎(1)若a∥b,求x的值;‎ ‎(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.‎ ‎【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】向量共线,数量积 ‎1.【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则( )‎ ‎(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量,由得,解得,故选D.‎ ‎2.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,, ,则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考新课标1,理7】设为所在平面内一点,则( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知=,故选A.‎ ‎1.(2014·辽宁卷)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0,命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是(  )‎ A.p∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.‎ ‎2.(2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与 的夹角为________.‎ ‎【答案】90° ‎ ‎【解析】由题易知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径,故在△ABC中,BC对应的角A为直角,即AC与AB的夹角为90°.‎ ‎3.(2014·四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=(  )‎ A.-2 B.-1‎ C.1 D.2‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】c=ma+b=(m+4,‎2m+2),由题意知=,即=,即‎5m+8=,解得m=2.‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎ 1.下列说法正确的是 (  )‎ A.若a与b都是单位向量,则a=b B.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同 C.若a+b=0,则|a|=|b|‎ D.若a-b=0,则a与b是相反向量 ‎2.已知点D是△ABC的边AB的中点,则向量等于 (  )‎ A.-+ B.--‎ C.- D.+‎ ‎【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以=+=+=-+.‎ ‎3.已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点,若=(1+λ)-λ,其中λ∈R,则点P一定在 (  )‎ A.AB边所在的直线上 B.BC边所在的直线上 C.BD边所在的直线上 D.四边形ABCD的内部 ‎【解析】选C.因为=(1+λ)-λ,所以-=λ(-),所以=‎ λ,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.‎ ‎4.已知向量a与b共线反向,则下列结论正确的是 (  )[‎ A.|a+b|=|a|+|b|‎ B.|a+b|=|a|-|b|‎ C.|a-b|=|a|+|b|‎ D.|a-b|=|a|-|b|‎ ‎【解析】选C.因为向量a与b共线反向,所以|a+b|<|a|+|b|,|a+b|≥0,而|a|-|b|的符号不确定,所以A,B不正确.同理,D不正确,C显然正确.‎ ‎5.已知下列结论 ‎①已知a是非零向量,λ∈R,则a与λ‎2a方向相同 ‎②已知a是非零向量,λ∈R,则|λa|=λ|a|‎ ‎③若λ∈R,则λa与a共线 ‎④若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb 其中正确的个数为 (  )‎ A.0 B.1 C.2 D.4‎ ‎6.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n ‎(m,n∈R),则的值为 (  )‎ A.-2 B.- C.2 D.‎ ‎【解析】选A.如图.设=a,=b,‎ ‎7.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.如图,由5=+3得 ‎2=2+3-3,‎ 即2(-)=3(-),‎ 即2=3,故=,‎ 故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5,‎ 故S△ABM∶S△ABC=3∶5.‎ ‎8.在△ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为 (  )‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎9.O是△ABC所在平面外一点且满足=+‎ λ,λ为实数,则动点P的轨迹必经过△ABC的 (  )‎ A.重心  B.内心  C.外心  D.垂心 ‎【解析】选B.如图,设==,已知均为单位向量,‎ 故▱AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,‎ 由=+λ 得=λ,又与有公共点A,‎ 故A,D,P三点共线,‎ 所以P点在∠BAC的平分线上,故动点P的轨迹经过△ABC的内心.‎ ‎10.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为三角形ABC的 (  )‎ A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心)‎ C.重心 D.AB边的中点 近C点的一个三等分点.‎ ‎11.已知点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:‎ ‎①=a-b; ②=a+b;‎ ‎③=-a+b; ④++=0.‎ 其中正确命题的序号为    .‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】=a,=b,=+‎ ‎=-a-b,故①错;‎ ‎=+=a+b,故②正确;‎ ‎12.在▱ABCD中,=a,=b,3=,M为BC的中点,则=     .(用a,b表示) ‎ ‎【答案】-a-b ‎13.在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则=    .‎ ‎【答案】b+c ‎【解析】如图,因为在△ABC中,=c,=b,且点D满足=2,‎ 所以+=2(+),=+=b+c.‎ ‎14.在△ABC中,已知D是AB边上一点,=+λ,则实数λ=     .‎ ‎【答案】‎ ‎15.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果‎3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,‎ 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,‎ 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,‎ 因为a,b不共线,‎ 所以有 解之得t=.‎ 故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.‎ ‎16.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,求实数m的值.‎ ‎17.已知△ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.‎ ‎【解析】依题意,由=+λa+λb,‎ 得-=λ(a+b),‎ 即=λ(+).‎ 如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,‎ 点.‎