- 1.08 MB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
【高频考点解读】
1.了解向量的实际背景
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义
3.理解向量的几何表示
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义
【热点题型】
热点题型一 平面向量的有关概念
例1、给出下列命题:
①若|a|=|b|,则a=b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a=b,b=c,则a=c;④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b。
其中真命题的序号是__________。
【答案】②③
【解析】①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同。②正确.∵=,∴|
【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性。
(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量。
(3)是与a同向的单位向量,-是与a反向的单位向量。
【举一反三】
设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0。上述命题中,假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
热点题型二 平面向量的线性运算
例2、【2017天津】在中,,,.若,,且,则的值为___________.
【答案】
【解析】 ,则
.
【变式探究】 (1)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=__________。
(2)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( )
A.=2 B.=2
C.=2 D.=2
【答案】(1)2 (2)D
【解析】(1)∵+==2,∴λ=2。
(2)∵++==-,
∴=-2=2。
【提分秘籍】向量线性运算的方法技巧
向量线性运算,要转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质,把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。
【举一反三】
在△ABC中,已知D是AB边上一点,=+λ,则实数λ=( )
A.- B.-
C. D.
【答案】D
【解析】如图,D是AB边上一点,过点D作DE∥BC,交AC于点E,过点D作DF∥AC,交BC
例3.【2017江苏,16】 已知向量
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.
【解析】
【变式探究】设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)。
求证:A、B、D三点共线。
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线。
【解析】(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5。∴、共线,又∵它们有公共点B,
∴A、B、D三点共线。
(2)∵ka+b与a+kb共线,∴存在实数λ,
使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb。
∴(k-λ)a=(λk-1)b。
∵a、b是不共线的两个非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,
∴k2-1=0,∴k=±1。
【提分秘籍】
1.共线向量定理及其应用
(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值。
(2)若a,b不共线,则λa+μb=0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛。
2.证明三点共线的方法
若=λ,则A,B,C三点共线。
【举一反三】
已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d同向,则实数λ的值为__________。
【答案】1
【高考风向标】
1.【2017课标3】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=
+,则+的最大值为
A.3 B.2 C. D.2
【答案】A
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系
点在圆上,所以圆心到直线的距离,即 ,解得,所以的最大值是3,即的最大值是3,故选A。
【考点】 平面向量的坐标运算;平面向量基本定理
2.【2017北京】设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若,使,即两向量反向,夹角是,那么T,若,那么两向量的夹角为 ,并不一定反向,即不一定存在负数,使得,所以是充分不必要条件,故选A.
【考点】1.向量;2.充分必要条件.
3.【2017课标II,理12】已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】 平面向量的坐标运算;函数的最值
4.【2017课标1】已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .
【答案】
【解析】利用如下图形,可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度,
所以.
【考点】平面向量的运算.
5.【2017天津】在中,,,.若,,且,则的值为___________.
【答案】
【解析】 ,则
.
【考点】向量的数量积
6.【2017山东】已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是.
【答案】
【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.
7.【2017浙江,15】已知向量a,b满足则的最小值是________,最大值是_______.
【答案】4,
【解析】设向量的夹角为,由余弦定理有: ,
,则:
,
令,则,
据此可得: ,
即的最小值是4,最大值是.
【考点】平面向量模长运算
8.【2017浙江,10】如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记,,,则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为, , ,所以,故选C。
【考点】 平面向量数量积运算
9.【2017江苏,12】如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .
A
C
B
O
(第12题)
【答案】3
,
所以.
【考点】向量表示
10.【2017江苏,16】 已知向量
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】(1)(2)时,取得最大值,为3; 时,取得最小值,为.
【解析】
【考点】向量共线,数量积
1.【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则( )
(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8
【答案】D
【解析】向量,由得,解得,故选D.
2.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,, ,则 的值是 ▲ .
【答案】
【2015高考新课标1,理7】设为所在平面内一点,则( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】由题知=,故选A.
1.(2014·辽宁卷)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0,命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈p)∧(綈q) D.p∨(綈q)
【答案】A
【解析】由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
2.(2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与
的夹角为________.
【答案】90°
【解析】由题易知点O为BC的中点,即BC为圆O的直径,故在△ABC中,BC对应的角A为直角,即AC与AB的夹角为90°.
3.(2014·四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
【答案】2
【解析】c=ma+b=(m+4,2m+2),由题意知=,即=,即5m+8=,解得m=2.
【高考冲刺】
1.下列说法正确的是 ( )
A.若a与b都是单位向量,则a=b
B.若a=b,则|a|=|b|且a与b的方向相同
C.若a+b=0,则|a|=|b|
D.若a-b=0,则a与b是相反向量
2.已知点D是△ABC的边AB的中点,则向量等于 ( )
A.-+ B.--
C.- D.+
【解析】选A.因为点D是AB的中点,所以=+=+=-+.
3.已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点,若=(1+λ)-λ,其中λ∈R,则点P一定在 ( )
A.AB边所在的直线上
B.BC边所在的直线上
C.BD边所在的直线上
D.四边形ABCD的内部
【解析】选C.因为=(1+λ)-λ,所以-=λ(-),所以=
λ,所以B,D,P三点共线,因此点P一定在BD边所在的直线上.
4.已知向量a与b共线反向,则下列结论正确的是 ( )[
A.|a+b|=|a|+|b|
B.|a+b|=|a|-|b|
C.|a-b|=|a|+|b|
D.|a-b|=|a|-|b|
【解析】选C.因为向量a与b共线反向,所以|a+b|<|a|+|b|,|a+b|≥0,而|a|-|b|的符号不确定,所以A,B不正确.同理,D不正确,C显然正确.
5.已知下列结论
①已知a是非零向量,λ∈R,则a与λ2a方向相同
②已知a是非零向量,λ∈R,则|λa|=λ|a|
③若λ∈R,则λa与a共线
④若a与b共线,则存在λ∈R,使a=λb
其中正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
6.在平行四边形ABCD中,点E是AD的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n
(m,n∈R),则的值为 ( )
A.-2 B.- C.2 D.
【解析】选A.如图.设=a,=b,
7.已知D为△ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3,则△ABM与△ABC的面积比为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.如图,由5=+3得
2=2+3-3,
即2(-)=3(-),
即2=3,故=,
故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5,
故S△ABM∶S△ABC=3∶5.
8.在△ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为 ( )
A. B. C.1 D.3
9.O是△ABC所在平面外一点且满足=+
λ,λ为实数,则动点P的轨迹必经过△ABC的 ( )
A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心
【解析】选B.如图,设==,已知均为单位向量,
故▱AEDF为菱形,所以AD平分∠BAC,
由=+λ
得=λ,又与有公共点A,
故A,D,P三点共线,
所以P点在∠BAC的平分线上,故动点P的轨迹经过△ABC的内心.
10.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足=,则点P一定为三角形ABC的 ( )
A.AB边中线的中点
B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心
D.AB边的中点
近C点的一个三等分点.
11.已知点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:
①=a-b; ②=a+b;
③=-a+b; ④++=0.
其中正确命题的序号为 .
【答案】②③④
【解析】=a,=b,=+
=-a-b,故①错;
=+=a+b,故②正确;
12.在▱ABCD中,=a,=b,3=,M为BC的中点,则= .(用a,b表示)
【答案】-a-b
13.在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则= .
【答案】b+c
【解析】如图,因为在△ABC中,=c,=b,且点D满足=2,
所以+=2(+),=+=b+c.
14.在△ABC中,已知D是AB边上一点,=+λ,则实数λ= .
【答案】
15.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.
【解析】由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,
即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,
整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b,
因为a,b不共线,
所以有
解之得t=.
故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.
16.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,若=m+,求实数m的值.
17.已知△ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,若动点P的轨迹与边BC的交点为M,试判断M点的位置.
【解析】依题意,由=+λa+λb,
得-=λ(a+b),
即=λ(+).
如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,
点.