黄冈中学高考数学易错题精选二集合与简易逻辑极限与复数 11页

‎--集合与简易逻辑、极限与复数 ‎1．已知集合，则的非空真子集的个数是（ ）‎ A．30个 B．32个 C．62个 D．64个 ‎2．不等式的解集为，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则下列关系式中成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．已知和是两个不相等的正整数，且，则=（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎5．设为复数集的非空子集．若对任意，都有，‎ 则称为封闭集．下列命题：‎ ‎①集合为封闭集；‎ ‎②若为封闭集，则一定有；　③封闭集一定是无限集；‎ ‎④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．‎ 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)‎ ‎6．已知集合至多有一个元素，则的取值范围 ；‎ 若至少有一个元素，则的取值范围 ．‎ ‎7．对任意两个集合，定义：，，设，，则＝　　　．‎ ‎8．已知数列的前项和，其中是与无关的常数，且，若存在，则 ．‎ ‎9． = ．‎ ‎10．如果是虚数，则中是虚数的有 ‎ 个，是实数的有 个，相等的有 组．‎ ‎11．设，，‎ ‎(1)，求的值；‎ ‎(2)，且，求的值；‎ ‎(3)，求的值．‎ ‎12．已知集合．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若,求实数的取值范围．‎ ‎13．设为全集，集合，,若,求实数的取值范围．‎ ‎14．设集合，．‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）当时，问是否存在正整数和，使得，若存在，求出、的值；若不存在,说明理由．‎ ‎15．已知不等式的解集中的最大解为3，求实数的值．‎ ‎16．设时，不等式成立，求正数的取值范围．‎ ‎17．设方程有两个不相等的正根；方程 无实根，求使或为真，且为假的实数的取值范围．‎ ‎18．试判断是关于的方程在区间上有解的什么条件？并给出判断理由．‎ ‎19．已知不等式①；②；③．‎ ‎（1）若同时满足①、②的也满足③，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若满足③的至少满足①、②中的一个，求实数的取值范围．‎ ‎20．已知数列的各项都是正数，且满足：，，证明：，．‎ ‎21．试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当 且a、b、c互不相等时，均有：．‎ ‎22．已知函数，数列满足递推关系式：，且．‎ ‎（1）求、、的值；‎ ‎（2）用数学归纳法证明：当时，；‎ ‎（3）证明：当时，有．‎ ‎23．已知数列为等差数列，公差，由中的部分项组成的数列，…，为等比数列，其中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求．‎ ‎24．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为．‎ ‎（1）求数列的首项和公比；‎ ‎（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前10项之和；‎ ‎（3）设为数列的第项，，求，并求正整数，使得 存在且不等于零．‎ ‎25．当时，函数的极限是否存在？若存在，求出其极限．‎ ‎26．设是虚数，是实数，且．‎ ‎（1）求的值及的实部的取值范围；‎ ‎（2）设，求证：为纯虚数；‎ ‎（3）求的最小值．‎ 集合与简易逻辑、极限与复数易错题（参考答案）‎ ‎1．C 解：因为，又且，所以 ‎，故，所以它的非空真子集有个．‎ 故选C．‎ ‎2．B 解：当时，不等式的解集为，不符合题意，所以，由不等式得：或，即或，则有或，又，所以，即有，故选B．‎ ‎3．A 解：当时，，对一切实数，不等式恒成立；当时，要使不等式恒成立，则且，即，所以，故选．‎ ‎4．C解：特殊值法 ‎ 由题意取，则，可见选C．‎ ‎5．①②‎ 解：∵集合为复数集，而复数集一定为封闭集，∴①是真命题．‎ ‎②由封闭集定义知②为真命题．‎ ‎③是假命题．如符合定义，但是为有限集．‎ ‎④是假命题．如，为整数和虚数构成集合，满足，但不是封闭集，‎ 如都在中，但，所以正确的是①②．‎ ‎6．，‎ 解：当中仅有一个元素时，，或；‎ 当中有个元素时，；‎ 当中有两个元素时，；所以，． ‎ ‎7．‎ 解：依题意有，，所以，，‎ 故．‎ ‎8．1 解：因为，‎ 所以，‎ 得，则，故，所以．‎ ‎9． ‎ 解：=．‎ ‎10．4，5，3．解：四个为虚数；五个为实数；三组相等．‎ ‎11．解：(1)因为，所以，又由对应系数相等可得和同时成立，即；‎ ‎(2)由于， ，且，，故只可能.此时，即或，由(1)可知，当时，，此时，与已知矛盾，所以舍去，故；‎ ‎(3)由于，，且，此时只可能，即，也即，或，由(2)可知不合题意，故．‎ ‎12．解：（1）当时，，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）因为，‎ 当时，,满足条件；‎ 当时，，由，，得：‎ ‎ 解得.综上，实数的取值范围为．‎ ‎13．解：因为，所以．又，所以．所以方程或者无实根，或者只有负实数根．所以，或，即或，得．故实数的取值范围为．‎ ‎14．解：（1），则，由方程组解得：‎ ‎，即．‎ ‎（2），则中的方程为.因为都是非空集合，由已知必有且，此即方程组和方程组均无解，消去整理得和，所以，‎ ‎，将其看做关于的二元一次不等式，从而，，所以且成立.又，所以,此时，且，由此得，由,得，即所求，．‎ ‎15．解：将代入，得，即．‎ 当时，原不等式可化为，解得，即，所以满足要求．‎ ‎16．解：因为，所以由得，由，得：‎ 或，故，解得，‎ 又，所以，又，无解．‎ 综上，正数的取值范围是．‎ ‎17．解：令，则由，且，‎ 且 ，求得，∴，‎ ‎，‎ 由或为真，且为假知，、一真一假．‎ ‎①当真假时，，即；‎ ‎②当假真时，即．‎ ‎∴的取值范围是或．‎ 答案：‎ ‎18．解：令，则方程在区间上有解的充要条件是：‎ 或，由于第一个不等式的解集是，而第二个不等式的解集是，所以关于的方程在区间上有解的充要条件是，因为集合，故而可得结论：是关于的方程在区间上有解的充分不必要条件．‎ ‎19．解：由题意知，解①得；解②得或．‎ ‎（1）设同时满足①、②的集合，满足③的集合为，因为，所以：‎ ‎，所以为所求．‎ ‎（2），所以，即方程的两根在 内，所以：，所以为所求．‎ ‎20．证明：用数学归纳法证明 ‎①当时，，，‎ 所以，命题正确 ‎②假设当时，有，则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 而，所以．‎ 又，所以当时，命题正确 由①②知，对一切，有．‎ ‎21．证明：（1）设a、b、c为等比数列，，‎ 所以．‎ ‎（2）设a、b、c为等差数列，则，猜想．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，由，‎ 所以．‎ ‎②假设时成立，即，‎ 则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22．解：（1）由及计算得：，，．‎ ‎（2）证明：（Ⅰ），‎ 即当时，结论成立．‎ ‎（Ⅱ）假设结论对成立，即．‎ 因为，函数在上递增，‎ 则，所以，‎ 即当时结论也成立．‎ 由（Ⅰ）（Ⅱ）知，不等式对一切都成立．‎ ‎（3）因为当时，，所以．‎ 又由，即，‎ 即，得，且．‎ 所以．‎ ‎23．解：（1）由题意知，即．‎ 因为，所以，数列的公比，‎ 所以．① 又．②‎ 由①②得．因为，所以．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 所以．‎ ‎24．解：（1）由题设可得，解得 所以数列的首项为3，公比为．‎ ‎（2）由（1）知，，所以，是首项为，公差的等差数列，它的前10项之和为，即数列的前10项之和为155．‎ ‎（3）因为为数列的第项，是首项为，公差为的等差数列，‎ 所以，‎ 所以．‎ 令．‎ 因为，‎ 所以 ，‎ 故．‎ ‎ 所以 因为，且存在，所以当时，；‎ 当时，，由题设，不等于0．‎ 因此不合题意，舍去，故满足题设的正整数的值为2．‎ ‎25．解：（1）当时；‎ ‎（2）当时；‎ ‎（3）当时．‎ 所以．‎ ‎26．解：（1）设，‎ 则，因为是实数，所以．‎ 由，得，即，因为，所以，所以．‎ 由已知，即，解得．‎ ‎（2）证明： ．‎ 所以是纯虚数．‎ ‎（3），‎ 因为，所以，所以，所以的最小值为1．‎