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- 2021-05-13 发布
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2015 年高考数学试题分类汇编及答案解析（22 个专题）
目录
专题一 集合.........................................................................................................................................................................1
专题二 函数.........................................................................................................................................................................6
专题三 三角函数...............................................................................................................................................................22
专题四 解三角形...............................................................................................................................................................34
专题五 平面向量...............................................................................................................................................................43
专题六 数列.......................................................................................................................................................................51
专题七 不等式...................................................................................................................................................................73
专题八 复数.......................................................................................................................................................................85
专题九 导数及其应用.......................................................................................................................................................90
专题十 算法初步.............................................................................................................................................................119
专题十一 常用逻辑用语.................................................................................................................................................128
专题十二 推理与证明.....................................................................................................................................................130
专题十三 概率统计.........................................................................................................................................................134
专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何............................................................................................................ 160
专题十五 点、线、面的位置关系.................................................................................................................................198
专题十六 平面几何初步.................................................................................................................................................199
专题十七 圆锥曲线与方程.............................................................................................................................................205
专题十八 计数原理.......................................................................................................................................................233
专题十九 几何证明选讲...............................................................................................................................................236
专题二十 不等式选讲...................................................................................................................................................242
专题二十一 矩阵与变换.................................................................................................................................................246
专题二十二 坐标系与参数方程.....................................................................................................................................248
专题一 集合
1.（15 年北京文科）若集合 5 2x x ， 3 3x x ，则 （ ）
A． 3 2x x B． 5 2x x
C． 3 3x x D． 5 3x x
【答案】A
考点：集合的交集运算.
2.(15 年广东理科) 若集合 { | ( 4)( 1) 0}M x x x= + + = ， { | ( 4)( 1) 0}N x x x= - - = ，则 M N =
A． B． 1, 4 C． 0 D． 1,4
【答案】 A ．
【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算，属于容易题．
3.(15 年广东文科) 若集合 1,1 ， 2,1,0 ，则 （ ）
A． 0, 1 B． 0 C． 1 D． 1,1
【答案】C
【解析】
试题分析： 1 ，故选 C．
考点：集合的交集运算．
4. （ 15 年 广 东 文 科 ） 若 集 合
, , , 0 4,0 4,0 4 , , ,p q r s p s q s r s p q r s 且 ，
F , , , 0 4,0 4 , , ,t u v w t u v w t u v w 且 ，用 card 表示集合 中的
元素个数，则
card card F （ ）
A ． 50 B ． 100 C ． 150
D． 200
【答案】D
考点：推理与证明．
5. （ 15 年 安 徽 文 科 ） 设 全 集 1 2 3 4 5 6U ，，，，， ， 1 2A ， ， 2 3 4B ，， ， 则
UA C B ( )
（A） 1 2 5 6，，， （B） 1 （C） 2 （D） 1 2 3 4，，，
【答案】B
【解析】
试题分析：∵ 6,5,1BCU ∴ UA C B 1 ∴选 B
考点：集合的运算.[学优高考网 gkstk]
6.（15 年福建文科）若集合 2 2M x x ， 0,1,2N ，则 M N 等于（ ）
A． 0 B． 1 C． 0,1,2 D 0,1
【答案】D
考点：集合的运算．
7.(15 年新课标 1 文科)
8.(15 年新课标 2 理科) 已知集合 A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则 A∩B=
（ ）
（A）｛--1,0｝ （B）｛0,1｝ （C）｛-1,0,1｝ （D）｛,0,，1，2｝
【答案】A
【解析】由已知得 2 1B x x ，故 1,0A B ，故选 A
9.(15 年新课标 2 文科) 已知集合 | 1 2A x x , | 0 3B x x ,则 A B （ ）
A． 1,3 B． 1,0 C． 0,2 D． 2,3
【答案】A
考点：集合运算.
10.(15 年陕西理科) 设集合 2{ | }M x x x ， { | lg 0}N x x ，则 M N （ ）
A．[0,1] B．(0,1] C．[0,1) D．( ,1]
【答案】A
【解析】
试题分析： 2 0,1x x x ， lg 0 0 1x x x x ，所以 0,1 ，
故选 A．
考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．
11.(15 陕西文科) 集合 2{ | }M x x x ， { | lg 0}N x x ，则 M N （ ）
A．[0,1] B． (0,1] C．[0,1) D． ( ,1]
【答案】 A
考点：集合间的运算.
12.(15 年 天 津理 科 ) 已 知 全集 1,2,3,4,5,6,7,8U ， 集 合 2,3,5,6A ， 集 合
1,3,4,6,7B ，则集合 UA B ð
（A） 2,5 （B） 3,6 （C） 2,5,6 （D） 2,3,5,6,8
【答案】A
【解析】
试题分析： {2,5,8}U B ð ,所以 {2,5}UA B ð ，故选 A.
考点：集合运算.
13.(15 年天津理科) 已知全集 {1,2,3,4,5,6}U = ,集合 {2,3,5}A = ,集合 {1,3,4,6}B = ,则集
合 A U B =（ ）ð （ ）
(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}
【答案】B
【解析】
试题分析： {2,3,5}A = , {2,5}U B =ð ,则 { }A 2,5U B =（ ）ð ,故选 B.
考点：集合运算
14.(15 年浙江理科)
15.(15 年山东理科) 已知集合 A= 2{ | 4 3 0}, { | 2 4}x x x B x x ，则 A B
(A)(1,3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)
解析： 2{ | 4 3 0} { |1 3}, (2,3)A x x x x x A B ,答案选(C)
16.(15 年江苏) 已知集合 3,2,1A ， 5,4,2B ，则集合 BA 中元素的个数为_______.
【答案】5
【解析】
试题分析： {1 2 3} {2 4 5} {1 2 3 4 5}5A B ，， ，， ，，，，，个元素
考点：集合运算
专题二 函数
1.（15 年北京理科）如图，函数 f x 的图象为折线 ACB ，则不等式 2log 1f x x ≥ 的解
集是
A． | 1 0x x ≤ B． | 1 1x x ≤ ≤
C． | 1 1x x ≤ D． | 1 2x x ≤
【答案】C
【解析】
考点：1.函数图象；2.解不等式.
2.（15 年北京理科）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、
乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油
D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】
【解析】
试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗 1 升汽油，
最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，
甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，
甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km,行驶 80km，消耗 8 升汽油，C 错误，D 中某城市
机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车
比用乙车更省油,选 D.
考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.
3.（15 年北京理科）设函数
2 1
4 2 1.
x a xf x
x a x a x
‚ ‚
‚ ≥
①若 1a ，则 f x 的最小值为 ；
②若 f x 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2)
1 12 a 或 2a .
考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.
4.（15 年北京文科）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． 2 siny x x B． 2 cosy x x C． lny x D． 2 xy
【答案】B
【解析】
试题分析：根据偶函数的定义 ( ) ( )f x f x ，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项
定义域为 (0, ) 不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选 B.
考点：函数的奇偶性.
5.(15 年北京文科) 32 ，
1
23 ， 2log 5 三个数中最大数的是 ．
【答案】 2log 5
【解析】
试题分析： 3 12 18
，
1
23 3 1 ， 2 2log 5 log 4 2 3 ，所以 2log 5 最大.
考点：比较大小.
6.（15 年广东理科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． xexy B．
xxy 1 C． x
xy 2
12 D． 21 xy
【答案】 A ．
【解析】令 xf x x e ，则 1 1f e ， 11 1f e 即 1 1f f ，
1 1f f ，所以 xy x e 既不是奇函数也不是偶函数，而 BCD 依次是奇函数、偶函
数、偶函数，故选 A ．
【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．
7.（15 年广东理科）设 1a ，函数 aexxf x )1()( 2 。
(1) 求 )(xf 的单调区间 ；
(2) 证明： )(xf 在 , 上仅有一个零点；
(3) 若曲线 ( )y f x= 在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 ( , )M m n 处的切线与直线 OP 平
行（O 是坐标原点）,证明： 123
eam ．
【答案】（1） , ；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）依题 22 2' 1 ' 1 ' 1 0x x xf x x e x e x e ，
∴ f x 在 , 上是单调增函数；
【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识，属于中高档题．
8.（15 年广东文科）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A ． 2 siny x x B ． 2 cosy x x C ． 12 2
x
xy
D． sin 2y x x
【答案】A
【解析】
试题分析：函数 2 sinf x x x 的定义域为 R ，关于原点对称，因为 1 1 sin1f ，
1 sin1f x ，所以函数 2 sinf x x x 既不是奇函数，也不是偶函数；函数
2 cosf x x x 的定义域为 R ，关于原点对称，因为
2 2cos cosf x x x x x f x ，所以函数 2 cosf x x x 是偶函数；
函数 12 2
x
xf x 的定义域为 R ，关于原点对称，因为
1 12 22 2
x x
x xf x f x
，所以函数 12 2
x
xf x 是偶函数；函数
sin 2f x x x 的定义域为 R ，关于原点对称，因为
sin 2 sin 2f x x x x x f x ，所以函数 sin 2f x x x 是奇函数．故
选 A．
考点：函数的奇偶性．
4.9.（15 年安徽文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
（A）y=lnx （B） 2 1y x （C）y=sinx （D）y=cosx
【答案】D
考点：1.函数的奇偶性；2.零点.
10.10.（15 年安徽文科）函数 3 2f x ax bx cx d 的图像如图所示，则下列结论成立
的是( )
（A）a>0，b<0，c>0，d>0
（B）a>0，b<0，c<0，d>0
（C）a<0，b<0，c<0，d>0
（D）a>0，b>0，c>0，d<0
【答案】A
考点：函数图象与性质.[学优高考网]
11.（15 年安徽文科） 1)2
1(2lg22
5lg 。
【答案】-1
【解析】
试题分析：原式＝ 12122lg5lg2lg22lg5lg
考点：1.指数幂运算；2.对数运算.
12．（15 年安徽文科）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 ay 2 与函数 1|| axy 的图
像只有一个交点，则 a 的值为 。
【答案】 1
2
【解析】
试题分析：在同一直角坐株系内，作出 12 axyay 与 的大致图像，如下图：由题
意，可知
2
112 aa
考点：函数与方程.
13.（15 年福建理科）下列函数为奇函数的是( )
A． y x B． siny x C． cosy x D． x xy e e
【答案】D
考点：函数的奇偶性．
14.（15 年福建理科）若函数 6, 2,
3 log , 2,a
x xf x x x
（ 0a 且 1a ）的值域是
4, ，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 (1,2]
考点：分段函数求值域．
15.（15 年福建文科）下列函数为奇函数的是( )
A． y x B． xy e C． cosy x D． x xy e e
【答案】D
【解析】
试题分析：函数 y x 和 xy e 是非奇非偶函数； cosy x 是偶函数； x xy e e 是奇
函数，故选 D．
考点：函数的奇偶性．
16.（15 年福建文科）若函数 ( ) 2 ( )x af x a R 满足 (1 ) (1 )f x f x ，且 ( )f x 在
[ , )m 单调递增，则实数 m 的最小值等于_______．
【答案】1
【解析】
试题分析：由 (1 ) (1 )f x f x 得函数 ( )f x 关于 1x 对称，故 1a ，则 1( ) 2 xf x ，
由复合函数单调性得 ( )f x 在[1, ) 递增，故 1m ，所以实数 m 的最小值等于1．
考点：函数的图象与性质．
17.（15 年新课标 1 理科）若函数 f(x)=xln（x+ 2a x ）为偶函数，则 a=
【答案】1
【解析】由题知 2ln( )y x a x 是奇函数，所以 2 2ln( ) ln( )x a x x a x
= 2 2ln( ) ln 0a x x a ，解得a =1.
18. （ 15 年 新 课 标 2 理 科 ） 设 函 数
2
1
1 log (2 ), 1,
( )
2 , 1,x
x x
f x
x
, 2( 2) (log 12)f f ( )
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
【答案】C
【 解 析 】 由 已 知 得 2( 2) 1 log 4 3f ， 又 2log 12 1 ， 所 以
2 2log 12 1 log 6
2(log 12) 2 2 6f ，故
2( 2) (log 12) 9f f ．
19.（15 年新课标 2 理科）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P
沿着边 BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP=x．将动点 P 到 A、B 两点距离之和表示为 x 的函
数 f（x），则 f（x）的图像大致为
【答案】B
的运动过程可以看出，轨迹关于直线
2x 对称，且 ( ) ( )4 2f f ，且轨迹非线型，故选
B．
20.（15 年新课标 2 文科）如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD
与 DA 运动,记 BOP x ,将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f x ,则的图像
大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
考点：函数图像
21.（15 年新课标 2 文科）设函数 2
1( ) ln(1 | |) 1f x x x
,则使得 ( ) (2 1)f x f x 成立
的 x 的取值范围是（ ）
A． 1 ,13
B． 1, 1,3
C． 1 1,3 3
D． 1 1, ,3 3
【答案】A
【解析】
试题分析：由 2
1( ) ln(1 | |) 1f x x x
可知 f x 是偶函数,且在 0, 是增函数,所以
12 1 2 1 2 1 13f x f x f x f x x x x .故选 A.
考点：函数性质
22.（15 年新课标 2 文科）已知函数 3 2f x ax x 的图像过点（-1,4）,则 a= ．
【答案】-2
【解析】
试题分析：由 3 2f x ax x 可得 1 2 4 2f a a .
考点：函数解析式
23.（15 年陕西文科）设 1 , 0( )
2 , 0x
x xf x
x
，则 ( ( 2))f f （ ）
A． 1 B． 1
4
C． 1
2
D． 3
2
【答案】C
考点：1.分段函数；2.函数求值.
24.（15 年陕西文科）设 ( ) sinf x x x ，则 ( )f x （ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】 B
【解析】
试题分析：
( ) sin ( ) ( ) sin( ) sin ( sin ) ( )f x x x f x x x x x x x f x
又 ( )f x 的定义域为 R 是关于原点对称，所以 ( )f x 是奇函数；
( ) 1 cos 0 ( )f x x f x 是增函数.
故答案选 B
考点：函数的性质.
25. （ 15 年 陕 西 文 科 ） 设 ( ) ln ,0f x x a b ， 若 ( )p f ab ， ( )2
a bq f ，
1 ( ( ) ( ))2r f a f b ，则下列关系式中正确的是（ ）
A． q r p B． q r p C． p r q D． p r q
【答案】C
【解析】
试题分析： 1( ) ln ln2p f ab ab ab ； ( ) ln2 2
a b a bq f ；
1 1( ( ) ( )) ln2 2r f a f b ab
因为
2
a b ab ，由 ( ) lnf x x 是个递增函数， ( ) ( )2
a bf f ab
所以 q p r ，故答案选C
考点：函数单调性的应用.
26.（15 年天津理科）已知定义在 R 上的函数 2 1x mf x （ m 为实数）为偶函数，
记 0.5 2(log 3), log 5 , 2a f b f c f m ，则 , ,a b c 的大小关系为
（A） a b c （B） a c b （C） c a b （D） c b a
【答案】C
【解析】
试题分析：因为函数 2 1x mf x 为偶函数，所以 0m ，即 2 1xf x ，所以
2
2
1log log 33
0.5 2
1(log 3) log 2 1 2 1 3 1 2,3a f f
2log 5 0
2log 5 2 1 4, 2 (0) 2 1 0b f c f m f
所以 c a b ，故选 C.
考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
27.（15 年天津理科）已知函数 2
2 , 2,
2 , 2,
x x
f x
x x
函数 2g x b f x ，
其中b R ，若函数 y f x g x 恰有 4 个零点，则b 的取值范围是
（A） 7 ,4
（B） 7, 4
（C） 70, 4
（D） 7 ,24
【答案】D
【解析】
试题分析：由 2
2 , 2,
2 , 2,
x x
f x
x x
得 2
2 2 , 0
(2 )
, 0
x x
f x
x x
，
所以
2
2
2 , 0
( ) (2 ) 4 2 , 0 2
2 2 ( 2) , 2
x x x
y f x f x x x x
x x x
，
即
2
2
2, 0
( ) (2 ) 2, 0 2
5 8, 2
x x x
y f x f x x
x x x
( ) ( ) ( ) (2 )y f x g x f x f x b ,所以 y f x g x 恰有 4 个零点等价于方程
( ) (2 ) 0f x f x b 有 4 个不同的解，即函数 y b 与函数 ( ) (2 )y f x f x 的图
象的 4 个公共点，由图象可知 7 24 b .
考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.
28. （ 15 年 天 津 理 科 ） 曲 线 2y x 与 直 线 y x 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积
为 .
【答案】 1
6
【解析】
试题分析：两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ，所以它们所围成的封闭图形的面积
1
1 2 2 3
0
0
1 1 1
2 3 6S x x dx x x .
考点：定积分几何意义.
29.（15 年天津文科）已知定义在 R 上的函数 | |( ) 2 1( )x mf x m-= - 为实数 为偶函数,记
0.5(log 3),a f= 2b (log 5),c (2 )f f m= = ,则 , ,a b c ,的大小关系为（ ）
(A) b ca < < (B) bc a< < (C) ba c< < (D) bc a< <
【答案】B
【解析】
试题分析：由 f x 为偶函数得 0m ,所以 2, 4, 0a b c ,故选 B.
考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.
30.（15 年天津文科）已知函数 2
2 | |, 2( ) ( 2) , 2
x xf x x x
ì - £ï= í - >ïî
,函数 ( ) 3 (2 )g x f x= - - ,则函数
y ( ) ( )f x g x= - 的零点的个数为
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5
【答案】A
考点：函数与方程.
31.（15 年湖南理科）设函数 ( ) ln(1 ) ln(1 )f x x x ，则 ( )f x 是（ ）
A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 B. 奇函数，且在 (0,1) 上是减函数
C. 偶函数，且在 (0,1) 上是增函数 D. 偶函数，且在 (0,1) 上是减函数
【答案】A.
【解析】
试 题 分 析 ： 显 然 ， )(xf 定 义 域 为 )1,1( ， 关 于 原 点 对 称 ， 又 ∵
)()1ln()1ln()( xfxxxf ，∴ )(xf
32.（15 年湖南理科）已知
3
2
,( )
,
x x af x
x x a
，若存在实数b ，使函数 ( ) ( )g x f x b 有两
个零点，则 a 的取值范围
是 .
【答案】 ),1()0,( .
【解析】
试题分析：分析题意可知，问题等价于方程 )(3 axbx 与方程 )(2 axbx 的根的个数
和为 2 ，
若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组
ab
ab
ab3
1
有解，从而 1a ；
若方程 )(3 axbx 无解，方程 )(2 axbx 有 2 个根：则可知关于 b 的不等式组
ab
ab3
1
有解，从而
0a ；，综上，实数 a 的取值范围是 ),1()0,( .
考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.
33.（15 年山东理科）要得到函数 sin(4 )3y x 的图象，只需将函数 sin 4y x 的图像
(A)向左平移
12
个单位 (B) 向右平移
12
个单位
(C)向左平移
3
个单位 (D) 向右平移
3
个单位
解析： sin 4( )12y x ，只需将函数 sin 4y x 的图像向右平移
12
个单位答案选(B)
34.（15 年山东理科）设函数 3 1, 1,( ) 2 , 1.x
x xf x x
则满足 ( )( ( )) 2 f af f a 的取值范围是
(A) 2[ ,1]3 (B) [0,1] (C) 2[ , )3
(D) [1, )
解析：由 ( )( ( )) 2f af f a 可知 ( ) 1f a ，则 1
2 1a
a
或 1
3 1 1
a
a
，解得 2
3a ，答案选(C)
35.（15 年山东理科）已知函数 ( ) xf x a b ( 0, 1)a a 的定义域
和值域都是[ 1,0] ，则 a b .
解析：当 1a 时
1
0
1
0
a b
a b
，无解；
当 0 1a 时
1
0
0
1
a b
a b
，解得 12, 2b a ，
则 1 322 2a b .
36.（15 年江苏）已知函数 |ln|)( xxf ，
1,2|4|
10,0)( 2 xx
xxg ，则方程 1|)()(| xgxf
实根的个数为
【答案】4
考点：函数与方程
专题三 三角函数
1.（15 北京理科）已知函数 2( ) 2 sin cos 2 sin2 2 2
x x xf x ．
(Ⅰ) 求 ( )f x 的最小正周期；
(Ⅱ) 求 ( )f x 在区间[ π 0] ， 上的最小值．
【答案】（1） 2 ，（2）
21 2
【解析】
试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为
( ) sin( )f x A x m 形式，再利用周期公式
2T
求出周期，第二步由
于 0,x 则可求出
3
4 4 4x ，借助正弦函数图象 找出在这个范
围内当 4 2x ，即
3
4x 时， ( )f x 取得最小值为：
21 2 .
试题解析：(Ⅰ)
2 1 1 cos( ) 2 sin cos 2 sin 2 sin 22 2 2 2 2
x x x xf x x
2 2 2sin cos2 2 2x x 2sin( )4 2x
(1) ( )f x 的最小正周期为
2 21T ；
(2)
30, 4 4 4x x ，当
3,4 2 4x x 时，
( )f x 取得最小值为：
21 2
考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.
2.（15 北京文科）已知函数 2sin 2 3sin 2
xf x x ．
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求 f x 在区间 20, 3
上的最小值．
【答案】（1） 2 ；（2） 3 .
考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.
3.（15 年广东文科）已知 tan 2 ．
1 求 tan 4
的值；
2 求 2
sin 2
sin sin cos cos2 1
的值．
【答案】（1） 3 ；（2）1．
考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同
角三角函数的基本关系.
4.（15 年安徽文科）已知函数 2( ) (sin cos ) cos2f x x x x
（1）求 ( )f x 最小正周期；
（2）求 ( )f x 在区间[0, ]2
上的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2）最大值为1 2 ，最小值为 0
考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值.
5.（15 年福建理科）已知函数 f( )x 的图像是由函数 ( ) cosg x x= 的图像经如下变换得到：先
将 ( )g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平
移
2
p 个单位长度.
(Ⅰ)求函数 f( )x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
(Ⅱ)已知关于 x 的方程 f( ) g( )x x m+ = 在[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b ．
（1)求实数 m 的取值范围；
（2)证明：
22cos ) 1.5
ma b- = -(
【答案】(Ⅰ) f( ) 2sinx x= ， (k Z).2x k pp= + Î ；(Ⅱ)（1）( 5, 5)- ；（2）详见解析．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ( ) ( )g x kg x 或 ( ) ( )g x g x k ；横向伸缩或平移：
( ) ( )g x g x （纵坐标不变，横坐标变为原来的 1
倍）， ( ) ( )g x g x a ( 0a 时，向
左平移 a 个单位； 0a 时，向右平移 a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得 f( ) 2sinx x= ，则
f( ) g( ) 2sin cosx x x x+ = + ，利用辅助角公式变形为 f( ) g( )x x+ 5 sin( )x j= + （其中
1 2sin ,cos
5 5
j j= = ），方程 f( ) g( )x x m+ = 在[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b ，等价
于直线 y m 和函数 5 sin( )y x j= + 有两个不同交点，数形结合求实数 m 的取值范围；
（2)结合图像可得 + =2( )2
pa b j- 和 3+ =2( )2
pa b j- ，进而利用诱导公式结合已知条件求
解．
试题解析：解法一：(1)将 ( ) cosg x x= 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标
不变）得到 y 2cos x= 的图像，再将 y 2cos x= 的图像向右平移
2
p 个单位长度后得到
y 2cos( )2x p= - 的图像，故 f( ) 2sinx x= ，从而函数 f( ) 2sinx x= 图像的对称轴方程为
(k Z).2x k pp= + Î
(2)1) 2 1f( ) g( ) 2sin cos 5( sin cos )
5 5
x x x x x x+ = + = +
5 sin( )x j= + （其中 1 2sin ,cos
5 5
j j= = ）
依题意，sin( )=
5
mx j+ 在区间[0,2 )p 内有两个不同的解 ,a b 当且仅当| | 1
5
m < ，故 m 的
取值范围是 ( 5, 5)- .
2)因为 ,a b 是方程 5 sin( )=mx j+ 在区间[0,2 )p 内有两个不同的解，
所以sin( )=
5
ma j+ ，sin( )=
5
mb j+ .
当1 m< 5£ 时， + =2( ), 2( );2
pa b j a b p b j- - = - +
当 5 ，所以 3c = .
故 ABC 的面积为 1 3 3bcsinA2 2
= .
考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.
13.（15 年陕西文科） ABC 的内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，向量 ( , 3 )m a b 与
(cos ,sin )n A B 平行.
(I)求 A ；
(II)若 7, 2a b 求 ABC 的面积.
【答案】(I)
3A ；(II) 3 3
2
.
试题解析：(I)因为 //m n
，所以 sin 3 cos 0a B b A
由正弦定理，得sin sin 3sin cos 0A B B A ，
又sin 0B ，从而 tan 3A ，
由于 0 A
所以
3A
(II)解法一：由余弦定理，得
2 2 2 2 cosa b c bc A ，而 7, 2a b ，
3A ，
得 27 4 2c c ，即 2 2 3 0c c
因为 0c ，所以 3c ，
故 ABC 面积为 1 3 3sin2 2bc A .
解法二：由正弦定理，得 7 2
sinsin 3
B
从而 21sin 7B
又由 a b 知 A B ，所以 2 7cos 7B
故sin sin( ) sin( )3C A B B
3 21sin cos cos sin3 3 14B B ，
所以 ABC 面积为 1 3 3sin2 2ab C .
考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.
14.（15 年天津理科）在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，已知 ABC 的
面积为3 15 ， 12,cos ,4b c A 则 a 的值为 .
【答案】8
【解析】
试题分析：因为 0 A ，所以 2 15sin 1 cos 4A A ，
又 1 15sin 3 15, 242 8ABCS bc A bc bc ，解方程组 2
24
b c
bc
得 6, 4b c ，
由余弦定理得
2 2 2 2 2 12 cos 6 4 2 6 4 644a b c bc A
，所以 8a .
考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.
15．（15 年天津文科）△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为
3 15 , 12,cos ,4b c A
（I）求 a 和 sinC 的值；
（II）求 cos 2 6A
的值.
【答案】（I）a=8, 15sin 8C ；（II） 15 7 3
16
.
【解析】
考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2 三角变换.
专题五 平面向量
1.（15 北京理科）在 ABC△ 中，点 M ，N 满足 2AM MC ，BN NC ．若 MN xAB y AC ，
则 x ； y ．
【答案】
1 1,2 6
【解析】
试题分析：特殊化，不妨设 , 4, 3AC AB AB AC ，利用坐标法，以 A 为原点，
AB 为 x 轴，AC 为y 轴，建立直角坐标系，
3(0,0), (0,2), (0,3), (4,0), (2, )2A M C B N ，
1(2, ), (4,0),2MN AB
(0,3)AC
，则
1(2, ) (4,0) (0,3)2 x y ，
1 1 14 2,3 , ,2 2 6x y x y .
考点：平面向量
2.（15 北京文科）设 a ， b 是非零向量，“ a b a b ”是“ //a b ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析： | | | | cos ,a b a b a b
，由已知得 cos , 1a b
，即 , 0a b
， //a b .
而当 //a b 时， ,a b
还可能是 ，此时 | || |a b a b
，故“ a b a b ”是“ //a b ”
的充分而不必要条件.
考点：充分必要条件、向量共线.
3.（15 年广东理科）在平面直角坐标系 xoy 中，已知向量 2 2,2 2m
， sin ,cosn x x ，
0, 2x
。
（1）若 m n ，求 tan x 的值 （2）若 m
与 n
的夹角为
3
，求 x 的值。
【答案】（1）1；（2） 5
12x ．
【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角
等问题，属于中档题．
4.（15 年广东文科）在平面直角坐标系 x y 中，已知四边形 CD 是平行四边形，
1, 2 ， D 2,1 ，则 D C （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
试题分析：因为四边形 CD 是平行四边形，所以
C D 1, 2 2,1 3, 1 ，所以 D C 2 3 1 1 5 ，故选 D．
考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
5.（15 年安徽文科） ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 ba 、 满足 aAB 2
，
baAC
2 ，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）
①a为单位向量；②b 为单位向量；③ ba ；④
BCb // ；⑤
BCba )4(
。
【答案】①④⑤
【解析】
试题分析：∵等边三角形 ABC 的边长为 2, aAB 2 ∴ AB ＝2 a ＝2 1 a ,故①正确；
∵ BCaBCABAC 2 ∴ 2 bbBC ， 故 ② 错 误 ， ④ 正 确 ； 由 于
babBCaAB 与 ,2 夹 角 为 120 ， 故 ③ 错 误 ； 又 ∵
04)2
1(2144)4()4(
2
bbabbaBCba
∴ BCba )4( ，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤.
考点：1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质.
6.（15 年福建理科）已知 1, ,AB AC AB AC tt
，若 P 点是 ABC 所在平面内一
点，且 4AB ACAP
AB AC
，则 PB PC 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
7.（15 年福建文科）设 (1,2)a ， (1,1)b ， c a kb ．若b c ，则实数 k 的值等于
（ ）
A． 3
2
B． 5
3
C． 5
3 D． 3
2
【答案】A
考点：平面向量数量积．
8.（15 年新课标 1 理科）已知 M（x0，y0）是双曲线 C： 2 2 12
x y 上的一点，F1、
F2 是 C 上的两个焦点，若 1MF
2MF
＜0，则 y0 的取值范围是
（A）（-
3
3
，
3
3
） （B）（-
3
6
，
3
6
）
（C）（ 2 2
3
， 2 2
3
） （D）（ 2 3
3
， 2 3
3
）
【答案】A
9.（15 年新课标 1 理科）设 D 为 ABC 所在平面内一点 =3 ，则
（A） = + (B) =
（C） = + (D) =
【答案】A
【解析】由题知 1 1 ( )3 3AD AC CD AC BC AC AC AB
= 1 4
3 3AB AC ，
故选 A.
10.(15 年新课标 1 文科)
11.（15 年新课标 2 理科）设向量 a
， b
不平行，向量 a b 与 2a b 平行，则实数
_________．
【答案】 1
2
【解析】因为向量 a b 与 2a b 平行，所以 2a b k a b （ ），则
1 2 ,
k
k
，
所以 1
2
．
12.（15 年新课标 2 文科）已知 1, 1 a , 1,2 b ,则 (2 ) a b a （ ）
A． 1 B． 0 C．1 D． 2
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得 2 2a , 3, a b 所以 22 2 4 3 1 a b a a a b .故选
C.
考点：向量数量积.
13.（15 年陕西理科）对任意向量 ,a b
，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A．| | | || |a b a b
B．| | || | | ||a b a b
C． 2 2( ) | |a b a b
D． 2 2
( )( )a b a b a b
【答案】B
考点：1、向量的模；2、向量的数量积．
14.（15 年陕西文科）对任意向量 ,a b
，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A ． | | | || |a b a b
B ． | | || | | ||a b a b
C ． 2 2( ) | |a b a b
D． 2 2
( )( )a b a b a b
【答案】 B
考点：1.向量的模；2.数量积.
15.（15 年天津理科）在等腰梯形 ABCD 中,已知 / / , 2, 1, 60AB DC AB BC ABC ,
动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且, 1, ,9BE BC DF DC
则 AE AF
的
最小值为 .
【答案】 29
18
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 1 ,9DF DC 1
2DC AB ，
1 1 9 1 9
9 9 18CF DF DC DC DC DC AB
，
AE AB BE AB BC
，
1 9 1 9
18 18AF AB BC CF AB BC AB AB BC
，
2 21 9 1 9 1 9118 18 18AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC
1 9 19 94 2 1 cos12018 18
2 1 17 2 1 17 2929 2 18 9 2 18 18
当且仅当 2 1
9 2
即 2
3
时 AE AF 的最小值为 29
18 .
考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.
16.（15 年天津文科）在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC , 2, 1, 60 ,AB BC ABC 点
E和点F分别在线段BC和CD上,且 2 1, ,3 6BE BC DF DC 则 AE AF 的值为 ．
【答案】 29
18
【解析】
试 题 分 析 ： 在 等 腰 梯 形 ABCD 中 , 由 AB DC , 2, 1, 60 ,AB BC ABC 得
1
2AD BC
, 1AB AD
, 1
2DC AB
,所以 AE AF AB BE AD DF
22 1 2 1 1 1 1 1 2913 12 3 12 18 3 3 18 18AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB
考点：平面向量的数量积.
17.（15 年山东理科）已知菱形 ABCD 的边长为 a ， 60ABC ，则 BD CD
(A) 23
2 a (B) 23
4 a (C) 23
4 a (D) 23
2 a
解析：由菱形 ABCD 的边长为 a ， 60ABC 可知 180 60 120BAD ，
2 2 23( ) ( ) cos120 2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ，答案选(D)
18.（15 年江苏）已知向量 a= )1,2( ，b= )2,1( , 若 ma+nb= )8,9( ( Rnm , ), nm 的值
为______.
【答案】 3
【解析】[来源:学科网 ZXXK]
试题分析：由题意得： 2 9, 2 8 2, 5, 3.m n m n m n m n
考点：向量相等
19.（15 年江苏）设向量 )12,,2,1,0)(6cos6sin,6(cos kkkkak
，则
11
1
0
( )k k
k
a a
的
值为
【答案】 9 3
【解析】
试题分析： 20
11 1
( 1) ( 1) ( 1)(cos ,sin cos ) (cos ,sin cos )6 6 6 6 6 6k k
k k k k k ka a
2 ( 1) 3 3 2 1 (2 1)cos sin cos cos sin cos6 6 6 6 4 6 2 6
k k k k k
因此
11
1
0
3 3 12 9 34k k
k
a a
专题六 数列
1.（15 北京理科）设 na 是等差数列. 下列结论中正确的是
A．若 1 2 0a a ，则 2 3 0a a B．若 1 3 0a a ，则 1 2 0a a
C．若 1 20 a a ，则 2 1 3a a a D．若 1 0a ，则 2 1 2 3 0a a a a
【答案】C
考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法
2. （ 15 北 京 理 科 ） 已 知 数 列 na 满 足 ： *
1a N ， 1 36a ≤ ， 且
1
2 18
2 36 18
n n
n
n n
a aa a a
， ≤ ，
， 1 2n ， ，… ．
记集合 *|nM a n N ．
（Ⅰ）若 1 6a ，写出集合 M 的所有元素；
（Ⅱ）若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，证明： M 的所有元素都是 3 的倍数；
（Ⅲ）求集合 M 的元素个数的最大值．
【答案】（1） {6,12,24}M ，（2）证明见解析，（3）8
【解析】
① 试 题 分 析 ：（ Ⅰ ） 由 1 6a ， 可 知 2 3 412, 24, 12,a a a 则
{6,12,24}M ；（Ⅱ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ka 是 3
的倍数，用数学归纳法证明对任意 n k ， na 是 3 的倍数，当 1k 时，则 M 中的
所有元素都是 3 的倍数，如果 1k 时，因为 12k ka a 或 12 36ka ，所以 12 ka
是 3 的倍数，于是 1ka 是 3 的倍数，类似可得， 2 1,......ka a 都是 3 的倍数，从而对
任意 1n ， na 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.第二步集合 M 存在一
个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ka 是 3 的倍数，由已知 1
2 18
2 36 18
n n
n
n n
a aa a a
， ≤ ，
， ，用
数学归纳法证明对任意 n k ， na 是 3 的倍数；第三步由于 M 中的元素都不超过 36，
M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶数，
由 na 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，由定义可知， 1na 和2 na 除
以 9 的余数一样，分 na 中有 3 的倍数和 na 中没有 3 的倍数两种情况，研究集合 M 中的
元素个数，最后得出结论集合 M 的元素个数的最大值为 8.
试 题 解 析 ： （ Ⅰ ） 由 已 知 1
2 18
2 36 18
n n
n
n n
a aa a a
， ≤ ，
， 可 知 ：
1 2 3 46, 12, 24, 12,a a a a
{6,12,24}M
（Ⅱ）因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数，所以不妨设 ka 是 3 的倍数，由已知
1
2 18
2 36 18
n n
n
n n
a aa a a
， ≤ ，
， ，可用用数学归纳法证明对任意 n k ， na 是 3 的倍数，当
1k 时，则 M 中的所有元素都是 3 的倍数，如果 1k 时，因为 12k ka a 或
12 36ka ，所以 12 ka 是 3 的倍数，于是 1ka 是 3 的倍数，类似可得， 2 1,......ka a
都是 3 的倍数，从而对任意 1n ， na 是 3 的倍数，因此 M 的所有元素都是 3 的倍数.
（Ⅲ）由于 M 中的元素都不超过 36，由 1 36a ，易得 2 36a ，类似可得 36na ，
其次 M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是 4 的倍数，因为第二个数必定为偶
数，由 na 的定义可知，第三个数及后面的数必定是 4 的倍数，另外，M 中的数除以 9
的余数,由定义可知， 1na 和2 na 除以 9 的余数一样，
考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.
3.（15 北京文科）已知等差数列 na 满足 1 2 10a a ， 4 3 2a a ．
（Ⅰ）求 na 的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列 nb 满足 2 3b a ， 3 7b a ，问： 6b 与数列 na 的第几项相等？
【答案】（1） 4 2( 1) 2 2na n n ；（2） 6b 与数列 na 的第 63 项相等.
【解析】
试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题
解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将 1 2 3 4, , ,a a a a
转化成 1a 和 d，解方程得到 1a 和 d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利
用第一问的结论得到 2b 和 3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将 2b 和 3b 转化为 1b 和 q，
解出 1b 和 q 的值，得到 6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出 n 的值，即
项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d.
因为 4 3 2a a ，所以 2d .
又因为 1 2 10a a ，所以 12 10a d ，故 1 4a .
所以 4 2( 1) 2 2na n n ( 1,2, )n .
（Ⅱ）设等比数列 nb 的公比为 q .
因为 2 3 8b a ， 3 7 16b a ，
所以 2q ， 1 4b .
所以 6 1
6 4 2 128b .
由128 2 2n ，得 63n .
所以 6b 与数列 na 的第 63 项相等.
考点：等差数列、等比数列的通项公式.
4.（15 年广东理科）在等差数列 na 中，若 2576543 aaaaa ，则 82 aa =
【答案】10．
【 解 析 】 因 为 na 是 等 差 数 列 ， 所 以 3 7 4 6 2 8 52a a a a a a a ，
3 4 5 6 7 55 25a a a a a a 即 5 5a ， 2 8 52 10a a a ，故应填入10．
【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．
5.（15 年广东理科）数列 na 满足 121 2
242
nn
nnaaa , *Nn .
(1) 求 3a 的值；
(2) 求数列 na 前 n 项和 nT ；
(3) 令 1 1b a ， 1 1 1 11 22 3
n
n n
Tb a nn n
，证明：数列 nb 的前 n 项
和 nS
满足 nSn ln22
【答案】（1） 1
4
；（2）
112 2
n
；（3）见解析．
（3）依题由 1 2 1 1 11 2
n
n n
a a ab an n
知 1 1b a ， 1
2 2
112 2
ab a
，
【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前 n 项和、不等式放缩等知识，
属于中高档题．
6.（15 年广东文科）若三个正数 a ，b ， c 成等比数列，其中 5 2 6a ， 5 2 6c ，
则b ．
【答案】1
【解析】
试题分析：因为三个正数 a ，b ， c 成等比数列，所以 2 5 2 6 5 2 6 1b ac ，
因为 0b ，所以 1b ，所以答案应填：1．
考点：等比中项．
7.(15 年广东文科) 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， n ．已知 1 1a ， 2
3
2a ， 3
5
4a ，
且当 2n 时， 2 1 14 5 8n n n nS S S S ．
1 求 4a 的值；
2 证明： 1
1
2n na a
为等比数列；
3 求数列 na 的通项公式．
【答案】（1） 7
8
；（2）证明见解析；（3）
112 1 2
n
na n
．
考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.
8.（15 年安徽理科）设 *n N ， nx 是曲线 2 3 1ny x 在点 (1 2)， 处的切线与 x 轴交点的
横坐标，
（1）求数列{ }nx 的通项公式；
（2）记 2 2 2
1 2 2 1n nT x x x ，证明 1
4nT n
.
9.（15 年安徽文科）已知数列 }{ na 中， 11 a ，
2
1
1 nn aa （ 2n ），则数列 }{ na 的前
9 项和等于 。
【答案】27
考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前 n 项和.
10.（15 年安徽文科）已知数列 na 是递增的等比数列，且 1 4 2 39, 8.a a a a
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）设 nS 为数列 na 的前 n 项和， 1
1
n
n
n n
ab S S
，求数列 nb 的前 n 项和 nT 。
【答案】（1） 12n
na （2）
1
1
2 2
2 1
n
n
＝
12
22
12
11 1
1
1
n
n
n .[学优高考网]
考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和.
11.（15 年福建理科）若 ,a b 是函数 2 0, 0f x x px q p q 的两个不同的零点，
且 , , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q
的值等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】
试题分析：由韦达定理得 a b p ，a b q ，则 0, 0a b ，当 , , 2a b 适当排序后成等
比数列时， 2 必为等比中项，故 4a b q ， 4b a
．当适当排序后成等差数列时， 2 必
不是等差中项，当 a 是等差中项时， 42 2a a
，解得 1a ， 4b ；当 4
a
是等差中项时，
8 2aa
，解得 4a ， 1b ，综上所述， 5a b p ，所以 p q 9 ，选 D．
考点：等差中项和等比中项．
12.（15 年福建文科）若 ,a b 是函数 2 0, 0f x x px q p q 的两个不同的零点，
且 , , 2a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q
的值等于________．
【答案】9
考点：等差中项和等比中项．
13.（15 年福建文科）等差数列 na 中， 2 4a ， 4 7 15a a ．
（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 22 na
nb n ，求 1 2 3 10b b b b 的值．
【答案】（Ⅰ） 2na n ；（Ⅱ） 2101．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得 1,a d ，进而求 na 的通项公式；（Ⅱ）求数列前 n 项
和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 2n
nb n ，
故可采取分组求和法求其前 10 项和．
试题解析：（I）设等差数列 na 的公差为 d ．
由已知得
1
1 1
4
3 6 15
a d
a d a d
，
解得 1 3
1
a
d
．
所以 1 1 2na a n d n ．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
14.（15 年新课标 2 理科）等比数列｛an｝满足 a1=3， 1 3 5a a a =21，则 3 5 7a a a ( )
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
【答案】B
15.（15 年新课标 2 理科）设 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1 1a ， 1 1n n na S S ，则
nS ________．
【答案】 1
n
【解析】由已知得 1 1 1n n n n na S S S S ，两边同时除以 1n nS S ，得
1
1 1 1
n nS S
，
故数列 1
nS
是以 1 为首项， 1 为公差 的等差数列，则 1 1 ( 1)
nS n n ，所以
1
nS n
．
16.（15 年新课标 2 文科）设 nS 是等差数列{ }na 的前 n 项和,若 1 3 5 3a a a ,则 5S （ ）
A．5 B． 7 C．9 D．11
【答案】A
【解析】
试题解析： 1 3 5 3 33 3 1a a a a a ,
1 5
5 3
5 5 52
a aS a
.故选 A.
考点：等差数列
17.（15 年新课标 2 文科）已知等比数列{ }na 满足 1
1
4a , 3 5 44 1a a a ,则 2a （ ）
A.2 B.1 1C. 2
1D.8
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得 2
3 5 4 4 44 1 2a a a a a ,所以
3 4
1
8 2aq qa
,故
2 1
1
2a a q ,选 C.
考点：等比数列.
18.（15 年陕西理科）中位数 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首
项为 ．
【答案】5
【解析】
试题分析：设数列的首项为 1a ，则 1 2015 2 1010 2020a ，所以 1 5a ，故该数列的
首项为5，所以答案应填： 5．
考点：等差中项．
19.（15 年陕西文科）中位数为 1010 的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的
首项为________
【答案】5
考点：等差数列的性质.
20.（15 年陕西文科）设 2( ) 1, , 2.n
nf x x x x n N n
(I)求 (2)nf ；
(II)证明： ( )nf x 在 20, 3
内有且仅有一个零点（记为 na ），且 1 1 20 2 3 3
n
na
.
【答案】(I) (2) ( 1)2 1n
nf n ；(II)证明略，详见解析.
【解析】
试题分析：(I)由题设 1( ) 1 2 n
nf x x nx ，所以 1(2) 1 2 2 2n
nf n ，此式
等价于数列 1{ 2 }nn 的前 n 项和，由错位相减法求得 (2) ( 1)2 1n
nf n ；
(II)因为 (0) 1 0f ，
22 2 2( ) 1 2 1 2 03 3 3
n
nf
，所以 ( )nf x 在 2(0, )3
内
至少存在一个零点，又 1( ) 1 2 0n
nf x x nx ，所以 ( )nf x 在 2(0, )3
内单调递增，因
此 ， ( )nf x 在 2(0, )3
内 有 且 只 有 一 个 零 点 na ， 由 于 1( ) 11
n
n
xf x x
， 所 以
10 ( ) 11
n
n
n n
n
af a a
，由此可得 11 1 1
2 2 2
n
n na a
故 1 2
2 3na ，继而得
1
11 1 1 2 1 20 2 2 2 3 3 3
n n
n
n na a
.
试题解析：(I)由题设 1( ) 1 2 n
nf x x nx ，
所以 1(2) 1 2 2 2n
nf n ①
由 22 (2) 1 2 2 2 2n
nf n ②
① ②得 2 1(2) 1 2 2 2 2n n
nf n
21 2 2 (1 )2 11 2
n nn n
，
所以 (2) ( 1)2 1n
nf n
(II)因为 (0) 1 0f
2
2 213 32 2 2( ) 1 1 2 1 2 023 3 31 3
n
n
nf
，
所以 ( )nf x 在 2(0, )3
内至少存在一个零点，
又 1( ) 1 2 0n
nf x x nx
所以 ( )nf x 在 2(0, )3
内单调递增，
因此， ( )nf x 在 2(0, )3
内有且只有一个零点 na ，
由于 1( ) 11
n
n
xf x x
，
所以 10 ( ) 11
n
n
n n
n
af a a
由此可得 11 1 1
2 2 2
n
n na a
故 1 2
2 3na
所以
1
11 1 1 2 1 20 2 2 2 3 3 3
n n
n
n na a
考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.
21. （ 15 年 天 津 理 科 ） 已 知 数 列 { }na 满 足
*
2 1 2(q ) n N , 1, 2n na qa a a 为实数，且q 1 ， ，且
2 3 3 4 4 5, ,a a a a a a+ + + 成等差数列.
(I)求 q 的值和{ }na 的通项公式；
(II)设 *2 2
2 1
log ,n
n
n
ab n Na
，求数列 n｛b ｝的前 n 项和.
【答案】(I)
1
2
2
2 ,
2 , .
n
n n
na
n
为奇数,
为偶数
; (II) 1
24 2n n
nS
.
【解析】
试题分析：(I)由( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 5 3 4a a a a a a a a+ - + = + - + 得 4 2 5 3a a a a 先求出 q ，
分 n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列 nb 的通项公式，用错位相减法求和即可.
试题解析：(I) 由已知，有( ) ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 5 3 4a a a a a a a a+ - + = + - + ，即 4 2 5 3a a a a ，
所以 2 3( 1) ( 1)a q a q ，又因为 1q ，故 3 2 2a a ，由 3 1a a q ，得 2q ，
当 2 1( *)n k n N 时，
1
1 2
2 1 2 2
n
k
n ka a
，
当 2 ( *)n k n N 时， 2
2 2 2
n
k
n ka a ，
所以{ }na 的通项公式为
1
2
2
2 ,
2 , .
n
n n
na
n
为奇数,
为偶数
考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前 n 项和公式.3.错位相减法.
22.（15 年天津文科）已知 { }na 是各项均为正数的等比数列, { }nb 是等差数列,且
1 1 2 3 31, 2a b b b a= = + = , 5 23 7a b- = .
（I）求{ }na 和{ }nb 的通项公式；
（II）设 *,n n nc a b n N= Î ,求数列{ }nc 的前 n 项和.
【答案】（I） 12 ,n
na n N , 2 1,nb n n N ；（II） 2 3 2 3n
nS n
【解析】
试题分析：（I）列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项；（II）用
错位相减法求和.
试题解 析：（I ）设 { }na 的公比 为 q, { }nb 的公差 为 d, 由题意 0q , 由已知 ,有
2
4
2 3 2,
3 10,
q d
q d
消去 d 得 4 22 8 0,q q 解得 2, 2q d ,所以{ }na 的通项公式为
12 ,n
na n N , { }nb 的通项公式为 2 1,nb n n N .
（II）由（I）有 12 1 2n
nc n ,设{ }nc 的前 n 项和为 nS ,则
0 1 2 11 2 3 2 5 2 2 1 2 ,n
nS n
1 2 32 1 2 3 2 5 2 2 1 2 ,n
nS n
两式相减得 2 31 2 2 2 2 1 2 2 3 2 3,n n n
nS n n
所以 2 3 2 3n
nS n .
考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.
23.（15 年天津文科）已知函数 4( ) 4 , ,f x x x x R= - Î
（I）求 ( )f x 的单调性；
（II）设曲线 ( )y f x= 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 ( )y g x= ,求证：
对于任意的正实数 x ,都有 ( ) ( )f x g x£ ;
（III）若方程 ( )= ( )f x a a为实数 有两个正实数根 1 2x x， ，且 1 2x x< ,求证：
1
3
2 1- 43
ax x < - + .
【答案】（I） f x 的单调递增区间是 ,1 ,单调递减区间是 1, ；（II）见试题解析；
（III）见试题解析.
【解析】
试题解析：（I）由 4( ) 4f x x x= - ,可得 3( ) 4 4f x x¢ = - ,当 0f x ,即 1x 时,函数
f x 单调递增；当 0f x ,即 1x 时,函数 f x 单调递减.所以函数 f x 的单
调递增区间是 ,1 ,单调递减区间是 1, .
（II）设 0,0P x ,则
1
3
0 4x , 0 12,f x 曲线 y f x 在点 P 处的切线方程为
0 0y f x x x , 即 0 0g x f x x x , 令 F x f x g x 即
0F x f x f x x x 则 0F x f x f x .
由于 3( ) 4 4f x x= - 在 , 单调递减,故 F x 在 , 单调递减,又因为
0 0F x ,所以当 0,x x 时, 0F x ,所以当 0,x x 时, 0F x ,所以
F x 在 0, x 单 调 递 增 , 在 0,x 单 调 递 减 , 所 以 对 任 意 的 实 数
x, 0 0F x F x ,对于任意的正实数 x ,都有 ( ) ( )f x g x£ .
考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.
24.(15 年浙江理科)
25.（15 年湖南理科）设 nS 为等比数列 na 的前 n 项和，若 1 1a ，且 1 2 33 ,2 ,S S S 成等差
数列，则 na .
【答案】 32 n- .
考点：等差数列的通项公式及其前 n 项和.
26.（15 年山东理科）设数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，已知 2 3 3.n
nS
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{ }nb 满足 3logn n na b a ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT .
解：（Ⅰ）由 2 3 3n
nS 可得 1 1
1 (3 3) 32a S ，
1 1
1
1 1(3 3) (3 3) 3 ( 2)2 2
n n n
n n na S S n
而 1 1
1 3 3a ，则 1
3, 1,
3 , 1.n n
na n
（Ⅱ）由 3logn n na b a 及 1
3, 1,
3 , 1.n n
na n
可得 3
1
1 , 1,log 3
1, 1.3
n
n
n
n
nab na n
2 3 1
1 1 2 3 1
3 3 3 3 3n n
nT
.
2 2 3 4 1
1 1 1 2 3 2 1
3 3 3 3 3 3 3n n n
n nT
2 2 3 1
2 2 3 1
2 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1 1( )3 3 3 3 3 3 31 1
2 1 2 1 3 13 3
19 3 9 2 2 3 31 313 2 1
18 2 3
n n n
n n
n
n n n
n
nT
n
n n
n
1
13 2 1
12 4 3n n
nT
27.（15 年江苏）数列 }{ na 满足 11 a ，且 11 naa nn （ *Nn ），则数列 }1{
na
的前
10 项和为
【答案】 20
11
【解析】
试题分析：由题意得：
1 1 2 2 1 1
( 1)( ) ( ) ( ) 1 2 1 2n n n n n
n na a a a a a a a n n
所以 10
1 1 1 1 2 202( ), 2(1 ) ,1 1 1 11n
n
nS Sa n n n n
考点：数列通项，裂项求和
28.（15 年江苏）设 1 2 3 4, , ,a a a a 是各项为正数且公差为 d ( 0)d 的等差数列
（1）证明： 31 2 42 ,2 ,2 ,2aa a a 依次成等比数列；
（2）是否存在 1,a d ，使得 2 3 4
1 2 3 4, , ,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；[来源:学科网 ZXXK]
（3）是否存在 1,a d 及正整数 ,n k ，使得 knknknn aaaa 3
4
2
321 ,,, 依次成等比数列，并说明
理由.
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在
（2）令 1a d a ，则 1a ， 2a ， 3a ， 4a 分别为 a d ，a ，a d ， 2a d （ a d ， 2a d ，
0d ）．
假设存在 1a ， d ，使得 1a ， 2
2a ， 3
3a ， 4
4a 依次构成等比数列，
则 34a a d a d ，且 6 42 2a d a a d ．
令 dt a
，则 31 1 1t t ，且 6 41 1 2t t （ 1 12 t ， 0t ），
化简得 3 22 2 0t t （ ），且 2 1t t ．将 2 1t t 代入（ ）式，
21 2 1 2 3 1 3 4 1 0t t t t t t t t ，则 1
4t ．
显然 1
4t 不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在 1a ， d ，使得 1a ， 2
2a ， 3
3a ， 4
4a 依次构成等比数列．
（3）假设存在 1a ， d 及正整数 n ， k ，使得 1
na ， 2
n ka ， 2
3
n ka ， 3
4
n ka 依次构成等比数列，
则 2 2
1 1 12 n k n kna a d a d ，且 3 2 2
1 1 13 2n k n k n ka d a d a d ．
分别在两个等式的两边同除以 2
1
n ka 及 2 2
1
n ka ，并令
1
dt a
（ 1
3t ， 0t ），
则 2 21 2 1n k n kt t ，且 3 2 21 1 3 1 2n k n k n kt t t ．
将上述两个等式两边取对数，得 2 ln 1 2 2 ln 1n k t n k t ，
且 ln 1 3 ln 1 3 2 2 ln 1 2n k t n k t n k t ．
化简得 2 ln 1 2 ln 1 2ln 1 ln 1 2k t t n t t ，
且 3 ln 1 3 ln 1 3ln 1 ln 1 3k t t n t t ．
再将这两式相除，化简得 ln 1 3 ln 1 2 3ln 1 2 ln 1 4ln 1 3 ln 1t t t t t t
（ ）．
令 4ln 1 3 ln 1 ln 1 3 ln 1 2 3ln 1 2 ln 1g t t t t t t t ，
则
2 2 22 1 3 ln 1 3 3 1 2 ln 1 2 3 1 ln 1
1 1 2 1 3
t t t t t t
g t t t t
．
令 2 2 21 3 ln 1 3 3 1 2 ln 1 2 3 1 ln 1t t t t t t t ，
则 6 1 3 ln 1 3 2 1 2 ln 1 2 1 ln 1t t t t t t t ．
令 1 t t ，则 1 6 3ln 1 3 4ln 1 2 ln 1t t t t ．
令 2 1t t ，则 2
12 01 1 2 1 3t t t t
．
由 1 20 0 0 0 0g ， 2 0t ，
知 2 t ， 1 t ， t ， g t 在 1,03
和 0, 上均单调．
故 g t 只有唯一零点 0t ，即方程（ ）只有唯一解 0t ，故假设不成立．
所以不存在 1a ， d 及正整数 n ， k ，使得 1
na ， 2
n ka ， 2
3
n ka ， 3
4
n ka 依次构成等比数列．
考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程
专题七 不等式
1.（15 北京理科）若 x ， y 满足
0
1
0
x y
x y
x
≤ ，
≤ ，
≥ ，
则 2z x y 的最大值为
A．0 B．1 C． 3
2 D．2
【答案】D
【解析】
试题分析：如图，先画出可行域，由于 2z x y ，则
1 1
2 2y x z ，令 0Z ，
作直线
1
2y x ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z
取得最小值 2.
考点：线性规划；
2.（15 北京文科）如图， C 及其内部的点组成的集合记为 D ， ,x y 为 D 中任意一
点，则 2 3z x y 的最大值为 ．
【答案】7
考点：线性规划.
3．（15 年广东理科）若变量 x ， y 满足约束条件
20
31
854
y
x
yx
则 yxz 23 的最小值为
A．
5
31 B. 6 C.
5
23 D. 4
【答案】C ．
【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，
由 3 2z x y 得 3
2 2
zy x ，依题当目标函数直线l ： 3
2 2
zy x 经过 41, 5A
时，z
取得最小值即 min
4 233 1 2 5 5z ，故选 C
【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．
4.（15 年广东文科）若变量 x ，y 满足约束条件
2 2
0
4
x y
x y
x
，则 2 3z x y 的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D． 2
【答案】C
x
y
O
A
l
考点：线性规划．
5.（15 年广东文科）不等式 2 3 4 0x x 的解集为 ．（用区间表示）
【答案】 4,1
【解析】
试题分析：由 2 3 4 0x x 得： 4 1x ，所以不等式 2 3 4 0x x 的解集为 4,1 ，
所以答案应填： 4,1 ．
考点：一元二次不等式．
5.6.（15 年安徽文科）已知 x，y 满足约束条件
0
4 0
1
x y
x y
y
，则 z=-2x+y 的最大值是( )
（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令 yxz 2 zxy 2 ，可知在图中 )1,1(A 处， yxz 2 取到最大值-1,故选 A.
考点：简单的线性规划.
7.（15 年福建理科）若变量 ,x y 满足约束条件
2 0,
0,
2 2 0,
x y
x y
x y
则 2z x y 的最小值等
于 ( )
A． 5
2
B． 2 C． 3
2
D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为 2y x z ，当 z 最小时，直线
2y x z 的纵截距最大，故将直线 2y x 经过可行域，尽可能向上移到过点 1( 1, )2B 时，
z 取到最小值，最小值为
1 52 ( 1) 2 2z ，故选 A．
考点：线性规划．
8.（15 年福建理科）已知 1, ,AB AC AB AC tt
，若 P 点是 ABC 所在平面内一
点，且 4AB ACAP
AB AC
，则 PB PC 的最大值等于（ ）
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】A
考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．
9.（15 年福建文科）若直线 1( 0, 0)x y a ba b
过点 (1,1) ，则 a b 的最小值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
考点：基本不等式．
10.（15 年福建文科）变量 ,x y 满足约束条件
0
2 2 0
0
x y
x y
mx y
，若 2z x y 的最大值为 2，
则实数 m 等于（ ）
A． 2 B． 1 C．1 D． 2
【答案】C
【解析】
试题分析：将目标函数变形为 2y x z ，当 z 取最大值，则直线纵截距最小，故当 0m
时，不满足题意；当 0m 时，画出可行域，如图所示，其中 2 2( , )2 1 2 1
mB m m
．显然 (0,0)O
不是最优解，故只能 2 2( , )2 1 2 1
mB m m
是最优解，代入目标函数得 4 2 22 1 2 1
m
m m
，
解得 1m ，故选 C．
考点：线性规划．
11.（15 年新课标 1 理科）若 x,y 满足约束条件 则 y
x
的最大值
为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， y
x
是可行域内一点
与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜率最大，故 y
x
的最
大值为 3.
12.（15 年新课标 2 理科）若 x，y 满足约束条件
1 0
2 0,
2 2 0,
x y
x y
x y
，
，则 z x y 的最大值为
____________．
【答案】 3
2
13.（15 年新课标 2 文科）若 x,y 满足约束条件
5 0
2 1 0
2 1 0
x y
x y
x y
,则 z=2x+y 的最大值
为 ．
【答案】8
考点：线性规划
14. （ 15 年 陕 西 理 科 ） 设 ( ) ln ,0f x x a b ， 若 ( )p f ab ， ( )2
a bq f ，
1 ( ( ) ( ))2r f a f b ，则下列关系
式中正确的是（ ）
A ． q r p B ． q r p C ． p r q
D． p r q
【答案】C
考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．
15.（15 年陕西理科）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料．已知生产 1 吨每
种产品需原料及每天原料
的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企
业每天可获得最
大利润为（ ）
A．12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18
万元
【答案】D
【解析】
试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为 x 、 y 吨，则利润 3 4z x y
由题意可列
3 2 12
2 8
0
0
x y
x y
x
y
，其表示如图阴影部分区域：
当直线3 4 0x y z 过点 (2,3)A 时， z 取得最大值，所以 max 3 2 4 3 18z ，故选
D．
考点：线性规划．
16.（15 年陕西文科）某企业生产甲乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨每种
产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产 1 吨甲乙产品可获利润分别为 3 万元、
4 万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A．12 万元 B．16 万元 C．17 万元 D．18 万元
【答案】 D
当直线3 4 0x y z 过点 (2,3)A 时， z 取得最大值 3 2 4 3 18z
故答案选 D
考点：线性规划.
17.（15 年天津理科）设变量 ,x y 满足约束条件
2 0
3 0
2 3 0
x
x y
x y
，则目标函数 6z x y 的
最大值为
（A）3 （B）4 （C）18 （D）40
【答案】C
考点：线性规划.
18.（15 年天津文科）设变量 , yx 满足约束条件
2 0
2 0
2 8 0
x
x y
x y
ì - £ïï - £íï + - £ïî
,则目标函数 3 yz x= + 的最
大值为（ ）
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14
【答案】C
考点：线性规划
19.（15 年天津文科）设 x RÎ ,则“1 2x< < ”是“| 2 | 1x - < ”的（ ）
(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：由 2 1 1 2 1 1 3x x x ,可知“1 2x< < ”是“| 2 | 1x - < ”的充分
而不必要条件,故选 A.
考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件.
20.（15 年天津文科）已知 0, 0, 8,a b ab 则当 a 的值为 时 2 2log log 2a b
取得最大值.
【答案】4
【解析】
试题分析： 2 22 2
2 2 2 2
log log 2 1 1log log 2 log 2 log 16 4,2 4 4
a ba b ab
当
2a b 时取等号,结合 0, 0, 8,a b ab 可得 4, 2.a b
考点：基本不等式.
21.（15 年湖南理科）执行如图 1 所示的程序框图，如果输入 3n ，则输出的 S ( )
A. 6
7
B. 3
7
C. 8
9
D. 4
9
1y 时，
yxz 3 的最小值是 7 ，故选 A.
考点：线性规划.
22.（15 年山东理科）不等式| 1| | 5| 2x x 的解集是
(A) ( ,4) (B) ( ,1) (C) (1,4) (D) (1,5)
解析：当 1x 时，1 (5 ) 4 2x x 成立；当1 5x 时， 1 (5 ) 2 6 2x x x ，
解得 4x ，则1 4x ；当 5x 时， 1 ( 5) 4 2x x 不成立.综上 4x ，答案选(A)
23.（15 年山东理科）已知 ,x y 满足约束条件
0,
2,
0.
x y
x y
y
若 z ax y 的最大值为 4，则 a
(A)3 (B) 2 (C) 2 (D) 3
解析：由 z ax y 得 y ax z ，借助图形可知：当 1a ，即 1a 时在 0x y
时有最大值 0，不符合题意；当 0 1a ，即 1 0a 时在 1x y 时有最大值
1 4, 3a a ，不满足 1 0a ；当 1 0a ，即 0 1a 时在 1x y 时有最大
值 1 4, 3a a ，不满足 0 1a ；当 1a ，即 1a 时在 2, 0x y 时有最大值
2 4, 2a a ，满足 1a ；答案选(B)
24.（15 年江苏）不等式 2
2 4x x 的解集为________.
【答案】 ( 1,2).
【解析】
试题分析：由题意得： 2 2 1 2x x x ，解集为 ( 1,2).
考点：解指数不等式与一元二次不等式
专题八 复数
1.（15 北京理科）1．复数 i 2 i
A．1 2i B．1 2i C． 1 2i D． 1 2i
【答案】A
【解析】
试题分析： (2 ) 1 2i i i
考点：复数运算
2.（15 北京文科）复数 1i i 的实部为 ．
【答案】-1
【解析】
试题分析：复数 (1 ) 1 1i i i i ，其实部为-1.
考点：复数的乘法运算、实部.
3.（15 年广东理科）若复数 3 2z i i ( i 是虚数单位 )，则 z
A ． 3 2i B ． 3 2i C ． 2 3i
D． 2 3i
【答案】 D ．
【解析】因为 3 2 2 3z i i i ，所以 z 2 3i ，故选 D ．
【考点定位】本题考查复数的基本运算，属于容易题．
4.（15 年广东文科）已知i 是虚数单位，则复数 21 i （ ）
A． 2 B．2 C． 2i D．2i
【答案】D
考点：复数的乘法运算．
5.(15 年安徽文科) 设 i 是虚数单位，则复数 1 1 2i i ( )
（A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i
【答案】C
考点：复数的运算.
6.(15 年福建理科) 若集合 2 3 4, , ,A i i i i （i 是虚数单位）， 1, 1B ，则 A B 等
于 ( )
A． 1 B． 1 C． 1, 1 D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知得 , 1, ,1A i i ，故 A B 1, 1 ，故选 C．
考点：1、复数的概念；2、集合的运算．
7．(15 年福建文科) 若 (1 ) (2 3 )i i a bi （ , ,a b R i 是虚数单位），则 ,a b 的值分别
等于（ ）
A．3, 2 B．3,2 C．3, 3 D． 1,4
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得3 2i a bi ，所以 3, 2a b ，选 A．
考点：复数的概念．
8.(15 年新课标 1 理科) 设复数 z 满足 1+z
1 z =i，则|z|=
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）2
【答案】A
9.(15 年新课标 1 文科)
10.（15 年新课标 2 理科）若 a 为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则 a=（ ）
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2
【答案】B
11.（15 年新课标 2 文科）若为 a 实数,且 2 i 3 i1 i
a ,则 a ( )
A． 4 B． 3 C．3 D． 4
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得 2 i 1 i 3 i 2 4i 4a a ,故选 D.
考点：复数运算.
12.（15 年陕西理科）设复数 ( 1)z x yi ( , )x y R ，若| | 1z ，则 y x 的概率为（ ）
A ． 3 1
4 2 B ． 1 1
4 2 C ． 1 1
2
D． 1 1
2
【答案】B
【解析】
试题分析： 2 2 2 2( 1) | | ( 1) 1 ( 1) 1z x yi z x y x y
如图可求得 (1,1)A ， (1,0)B ，阴影面积等于 21 1 11 1 14 2 4 2
若| | 1z ，则 y x 的概率是 2
1
1 14 2
1 4 2
，故选 B．
考点：1、复数的模；2、几何概型．
13.（15 年陕西文科）设复数 ( 1)z x yi ( , )x y R ，若| | 1z ，则 y x 的概率（ ）
A． 3 1
4 2 B． 1 1
2 C． 1 1
4 2 D． 1 1
2
【答案】C
【解析】
试题分析： 2 2 2 2( 1) | | ( 1) 1 ( 1) 1z x yi z x y x y
如图可求得 (1,1)A , (1,0)B ，阴影面积等于 21 1 11 1 14 2 4 2
若| | 1z ，则 y x 的概率 2
1
1 14 2
1 4 2
故答案选C
考点：1.复数的模长；2.几何概型.
14.（15 年天津理科） i 是虚数单位，若复数 1 2i a i 是纯虚数，则实数 a 的值
为 .
【答案】 2
【解析】
试题分析： 1 2 2 1 2i a i a a i 是纯度数，所以 2 0a ，即 2a .
考点：1.复数相关定义；2.复数运算.
15.（15 年天津文科）i 是虚数单位,计算1 2i
2 i
的结果为 ．
【答案】-i
【解析】
试题分析： 2 i i 21 2i i 2i i2 i 2 i 2 i
.
考点：复数运算.
16.(15 年湖南理科) 已知 21 1i iz
（i 为虚数单位），则复数 z =（ ）
A.1 i B.1 i C. 1 i D. 1 i
【答案】D.
考点：复数的计算.
17.（15 年山东理科）若复数 z 满足
1
z ii
，其中i 是虚数单位，则 z
(A)1 i (B) 1 i (C) 1 i (D) 1 i
解析： 2(1 ) 1 , 1z i i i i i z i ，答案选(A)
18.（15 年江苏）设复数 z 满足 2 3 4z i （i 是虚数单位），则 z 的模为_______.
【答案】 5
【解析】
试题分析： 2 2| | | 3 4 | 5 | | 5 | | 5z i z z
考点：复数的模
专题九 导数及其应用
1.（15 北京理科）已知函数 1ln1
xf x x
．
（Ⅰ）求曲线 y f x 在点 0 0f， 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 0 1x ， 时，
3
2 3
xf x x
；
（Ⅲ）设实数 k 使得
3
3
xf x k x
对 0 1x ， 恒成立，求 k 的最大值．
【答案】（Ⅰ） 2 0x y ，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ） k 的最大值为 2.
试题解析：（Ⅰ）
2
1 2( ) ln , ( 1,1), ( ) , (0) 2, (0) 01 1
xf x x f x f fx x
，曲线
y f x 在点 0 0f， 处的切线方程为2 0x y ；
（Ⅱ）当 0 1x ， 时，
3
2 3
xf x x
，即不等式
3
( ) 2( ) 03
xf x x ，对
(0,1)x 成立，设
3 31( ) ln 2( ) ln(1 ) ln(1 ) 2( )1 3 3
x x xF x x x x xx
，则
4
2
2( )
1
xF x
x
，当 0 1x ， 时， ( ) 0F x ，故 ( )F x 在（0，1）上为增函数，则
( ) (0) 0F x F ，因此对 (0,1)x ，
3
( ) 2( )3
xf x x 成立；
（Ⅲ）使
3
3
xf x k x
成立， 0 1x ， ，等价于
31( ) ln ( ) 01 3
x xF x k xx
， 0 1x ， ；
4
2
2 2
2 2( ) (1 )
1 1
kx kF x k x
x x
，
当 [0,2]k 时， ( ) 0F x ，函数在（0，1）上位增函数， ( ) (0) 0F x F ，
符合题意；
当 2k 时，令 4
0
2( ) 0, (0,1)kF x x k
，
x
0(0, )x 0x 0( ,1)x
( )F x - 0 +
( )F x 极小值
( ) (0)F x F ，显然不成立，
综上所述可知： k 的最大值为 2.
考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨
论.
2.（15 北京文科）设函数
2
ln2
xf x k x ， 0k ．
（Ⅰ）求 f x 的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若 f x 存在零点，则 f x 在区间1, e 上仅有一个零点．
【答案】（1）单调递减区间是 (0, )k ，单调递增区间是 ( , )k ；极小值
(1 ln )( ) 2
k kf k ；（2）证明详见解析.
所以， ( )f x 的单调递减区间是 (0, )k ，单调递增区间是 ( , )k ；
( )f x 在 x k 处取得极小值 (1 ln )( ) 2
k kf k .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( )f x 在区间 (0, ) 上的最小值为 (1 ln )( ) 2
k kf k .
因为 ( )f x 存在零点，所以 (1 ln ) 02
k k ，从而 k e .
当 k e 时， ( )f x 在区间 (1, )e 上单调递减，且 ( ) 0f e ，
所以 x e 是 ( )f x 在区间 (1, ]e 上的唯一零点.
当 k e 时， ( )f x 在区间 (0, )e 上单调递减，且 1(1) 02f ， ( ) 02
e kf e ，
所以 ( )f x 在区间 (1, ]e 上仅有一个零点.
综上可知，若 ( )f x 存在零点，则 ( )f x 在区间 (1, ]e 上仅有一个零点.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点
问题.
3．（15 年安徽理科）设函数 2( )f x x ax b .
（1）讨论函数 (sin ) 2 2f x 在(- , )内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记 2
0 0 0 0( ) , (sin ) (sin )f x x a x b f x f x 求函数 在
2 2
(- , )上的最大值 D；
（3）在（2）中，取 2
0 0 0, D 14
aa b z b 求 满足 时的最大值。
4.（15 年安徽文科）已知函数 )0,0()()( 2 rarx
axxf
（1）求 )(xf 的定义域，并讨论 )(xf 的单调性；
（2）若 400
r
a ，求 )(xf 在 ),0( 内的极值。
【答案】（1）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（2）极大值为 100；
无极小值.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ）在（ ,0)(xf 内的极大值为 10044)( 2
r
a
r
arrf
）在（ ,0)(xf 内无极小值；
所以 ）在（ ,0)(xf 内极大值为 100，无极小值.
考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.
5.（15 年福建理科）若定义在 R 上的函数 f x 满足 0 1f ，其导函数 f x 满
足 1f x k ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A． 1 1f k k
B． 1 1
1f k k
C． 1 1
1 1f k k
D． 1
1 1
kf k k
【答案】C
考点：函数与导数．
6.（15 年福建理科）已知函数 f( ) ln(1 )x x= + ， ( ) ,(k ),g x kx R= Î
(Ⅰ)证明：当 0x x x> <时，f( ) ；
(Ⅱ)证明：当 1k < 时，存在 0 0x > ,使得对 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 f( ) ( )x g x> ；
(Ⅲ)确定 k 的所以可能取值，使得存在 0t > ，对任意的 (0 ),xÎ ，t 恒有 2| f( ) ( ) |x g x x- < ．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ) =1k ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)构造函数 ( ) f( ) ln(1 ) , (0, ),F x x x x x x= - = + - Î +¥ 只需求值域的右端点并
和 0 比较即可；(Ⅱ)构造函数 G( ) f( ) ( ) ln(1 ) , (0, ),x x g x x kx x= - = + - Î +¥ 即 ( ) 0G x ，
求导得 1( ) 1+G x kx
¢ = -
(1 k)
1+
kx
x
- + -= ，利用导数研究函数 ( )G x 的形状和最值，证明当 1k < 时，存在 0 0x > ，使
得 ( ) 0G x 即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当 1k > 时，对于 (0, ),x" 违 + ( ) f( )g x x x ，> > 故
( ) f( )g x x> ， 则 不 等 式 2| f( ) ( ) |x g x x- < 变 形 为 2k ln(1 )x x x- + < ， 构 造 函 数
2M( ) k ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - 违 ，+ ， 只 需说 明 ( ) 0M x ， 易 发现 函 数 ( )M x 在
22 (k 2) 8(k 1)0 )4
kx
- + - + -Î（ ， 递增，而 (0) 0M ，故不存在；当 1k < 时，由(Ⅱ)知，
存在 0 0x > ,使得对任意的任意的 0(0 ),x x，Î 恒有 f( ) ( )x g x> ，此时不等式变形为
2ln(1 ) kx x x+ - < ，
构 造 2N( ) ln(1 ) k , [0 )x x x x x= + - - 违 ，+ ， 易 发 现 函 数 ( )N x 在
2( +2 (k +2) 8(1 k)0 )4
kx
- + + -Î ）（ ， 递增，而 (0) 0N ，不满足题意；当 =1k 时，代入证
明即可．
试 题 解 析 ： 解 法 一 ： (1) 令 ( ) f( ) ln(1 ) , (0, ),F x x x x x x= - = + - Î +¥ 则 有
1( ) 11+ 1+
xF x x x
¢ = - = -
当 (0, ),xÎ +¥ ( ) 0F x¢ < ,所以 ( )F x 在 (0, )+¥ 上单调递减；
故当 0x > 时， ( ) (0) 0,F x F< = 即当 0x > 时， x xf( )< ．
(2)令 G( ) f( ) ( ) ln(1 ) , (0, ),x x g x x kx x= - = + - Î +¥ 则有 1 (1 k)( ) 1+ 1+
kxG x kx x
- + -¢ = - =
当 0k £ G ( ) 0x¢ > ,所以 G( )x 在[0, )+¥ 上单调递增, G( ) (0) 0x G> =
故对任意正实数 0x 均满足题意.
当 0 1k< < 时，令 ( ) 0,xG¢ = 得 1 1= 1 0kx k k
- = - > ．
取 0
1= 1x k
，- 对 任 意 0(0, ),x xÎ 恒 有 G ( ) 0x¢ > , 所 以 G( )x 在 0[0,x ) 上 单 调 递 增 ,
G( ) (0) 0x G> = ,即
f( ) ( )x g x> .
综上，当 1k < 时，总存在 0 0x > ,使得对任意的 0(0 ),x x，Î 恒有 f( ) ( )x g x> ．
(3)当 1k > 时，由（1）知，对于 (0, ),x" 违 + ( ) f( )g x x x ，> > 故 ( ) f( )g x x> ，
| f( ) ( ) | ( ) ( ) k ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + ，
令 2M( ) k ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - 违 ，+ ， 则 有
21 -2 +(k-2) 1M ( ) k 2 = ,1 1
x x kx xx x
+ -¢ = - -+ +
故 当
22 (k 2) 8(k 1)0 )4
kx
- + - + -Î（ ， 时 ， M ( ) 0x¢ > , M( )x 在
22 (k 2) 8(k 1)[0 )4
k - + - + -， 上单调递增，故 M( ) M(0) 0x > = ,即 2| f( ) ( ) |x g x x- > ,所以
满足题意的 t 不存在.
当 1k < 时，由（2）知存在 0 0x > ,使得对任意的任意的 0(0 ),x x，Î 恒有 f( ) ( )x g x> ．
此时| f( ) ( ) | f( ) ( ) ln(1 ) kx g x x g x x x- = - = + - ,
令 2N( ) ln(1 ) k , [0 )x x x x x= + - - 违 ，+ ， 则 有
2
' 1 -2 -(k+2) 1( ) 2 = ,1 1
x x kN x k xx x
- += - -+ +
故 当
2( +2 (k +2) 8(1 k)0 )4
kx
- + + -Î ）（ ， 时 ， N ( ) 0x¢ > , M( )x 在
2( 2) (k 2) 8(1 k)[0 )4
k- + + + + -， 上单调递增，故 N( ) (0) 0x N> = ,即 2f( ) ( )x g x x- > ,记
0x 与
2( 2) (k 2) 8(1 k)
4
k- + + + + - 中较小的为 1x ，
则当 2
1(0 ) | f( ) ( ) |x x x g x xÎ - >， 时，恒有 ，故满足题意的 t 不存在.
当 =1k ，由（1）知， (0, ),x违当 + | f( ) ( ) | ( ) ( ) ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + ，
令 2H( ) ln(1 ) , [0 )x x x x x= - + - 违 ，+ ，则有
21 -2H ( ) 1 2 = ,1 1
x xx xx x
-¢ = - -+ +
当 0x > 时， H ( ) 0x¢ < ,所以 H( )x 在[0 +¥， ）上单调递减，故 H( ) (0) 0x H< = ,
故当 0x > 时，恒有 2| f( ) ( ) |x g x x- < ,此时，任意实数 t 满足题意.
综上， =1k .
解法二：（1）（2）同解法一.
（3）当 1k > 时，由（1）知，对于 (0, ),x" 违 + ( ) f( )g x x x> > ，，
故| f( ) ( ) | ( ) ( ) k ln(1 ) k (k 1)x g x g x f x x x x x x- = - = - + > - = - ，
令 2(k 1) , 0 1x x x k- > < < -解得 ，
从而得到当 1k > 时， (0, 1)x kÎ -对于 恒有 2| f( ) ( ) |x g x x- > ,所以满足题意的 t 不存在.
当 1k < 时，取 1 1
k+1= 12k k k< <，从而
由（2）知存在 0 0x > ,使得 0(0 ),x xÎ任意 ， 恒有 1f( ) ( )x k x kx g x> > = .
此时 1
1| f( ) ( ) | f( ) ( ) ( k) 2
kx g x x g x k x x-- = - > - = ,
令 21 k 1 k, 02 2x x x- -> < <解得 ，此时 2f( ) ( )x g x x- > ,
记 0x 与1-k
2
中较小的为 1x ，则当 2
1(0 ) | f( ) ( ) |x x x g x xÎ - >， 时，恒有 ，
故满足题意的 t 不存在.
当 =1k ，由（1）知， (0, ),x违当 + | f( ) ( ) | ( ) ( ) ln(1 )x g x g x f x x x- = - = - + ，
令 2M( ) ln(1 ) , [0 )x x x x x ，+ ，则有
21 2M ( ) 1 2 ,1 1
x xx xx x
当 0x > 时， M ( ) 0x¢ < ,所以 M( )x 在[0 +， ）上单调递减，故 M( ) M(0) 0x < = ,
故当 0x > 时，恒有 2| f( ) ( ) |x g x x- < ,此时，任意实数 t 满足题意
综上， =1k .
考点：导数的综合应用．
7.（15 年福建文科）“对任意 (0, )2x ， sin cosk x x x ”是“ 1k ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】B
考点：导数的应用．
8.（15 年福建文科）已知函数
2( 1)( ) ln 2
xf x x ．
(Ⅰ)求函数 f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当 1x 时， 1f x x ；
（Ⅲ）确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 0 1x ，当 0(1, )x x 时，恒有 1f x k x ．
【答案】(Ⅰ) 1 50, 2
；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ） ,1 ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)求导函数
2 1x xf x x
，解不等式 ' ( ) 0f x 并与定义域求交集，得
函数 f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数 F 1x f x x ， 1,x ．欲证明
1f x x ，只需证明 ( )F x 的最大值小于 0 即可；（Ⅲ）由（II）知，当 1k 时，不存在
0 1x 满足题意；当 1k 时，对于 1x ，
有 1 1f x x k x ，则 1f x k x ，从而不存在 0 1x 满足题意；当 1k 时，
构造函数 G 1x f x k x ， 0,x ，利用导数研究函数 ( )G x 的形状，只要存
在 0 1x ，当 0(1, )x x 时
( ) 0G x 即可．
试题解析：（I）
21 11 x xf x xx x
， 0,x ．
由 0f x 得 2
0
1 0
x
x x
解得 1 50 2x ．
故 f x 的单调递增区间是 1 50, 2
．
（II）令 F 1x f x x ， 0,x ．
则有
21F xx x
．
当 1,x 时， F 0x ，
所以 F x 在 1, 上单调递减，
故当 1x 时， F F 1 0x ，即当 1x 时， 1f x x ．
（III）由（II）知，当 1k 时，不存在 0 1x 满足题意．
当 1k 时，对于 1x ，有 1 1f x x k x ，则 1f x k x ，从而不存在 0 1x
满足题意．
当 1k 时，令 G 1x f x k x ， 0,x ，
则有 2 1 11G 1 x k xx x kx x
．
由 G 0x 得， 2 1 1 0x k x ．
解得 2
1
1 1 4
02
k k
x
， 2
2
1 1 4
12
k k
x
．
当 21,x x 时， G 0x ，故 G x 在 21, x 内单调递增．
从而当 21,x x 时， G G 1 0x ，即 1f x k x ，
综上， k 的取值范围是 ,1 ．
考点：导数的综合应用．
9.（15 年新课标 1 理科）设函数 ( )f x = (2 1)xe x ax a ,其中 a 1，若存在唯一
的整数 x0，使得 0( )f x 0，则a 的取值范围是（ ）
A.[- ，1） B. [- ， ） C. [ ， ） D. [ ，1）
【答案】D
10.（15 年新课标 2 理科）设函数 f’(x)是奇函数 ( )( )f x x R 的导函数，f（-1）=0，当 0x
时， ' ( ) ( ) 0xf x f x ，则使得 ( ) 0f x 成立的 x 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】
记函数 ( )( ) f xg x x
，则
'
'
2
( ) ( )( ) xf x f xg x x
，因为当 0x 时， ' ( ) ( ) 0xf x f x ，故
当 0x 时， ' ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 (0, ) 单调递减；又因为函数 ( )( )f x x R 是奇函数，
故函数 ( )g x 是偶函数，所以 ( )g x 在 ( ,0) 单调递减，且 ( 1) (1) 0g g ．当 0 1x 时，
( ) 0g x ，则 ( ) 0f x ；当 1x 时， ( ) 0g x ，则 ( ) 0f x ，综上所述，使得 ( ) 0f x
成立的 x 的取值范围是
( , 1) (0,1) ，故选 A．
11.（15 年新课标 2 理科）设函数 2( ) mxf x e x mx 。
（1）证明： ( )f x 在 ( ,0) 单调递减，在 (0, ) 单调递增；
（2）若对于任意 1 2, [ 1,1]x x ，都有 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x e ，求 m 的取值范围。
12. （ 15 年 新 课 标 2 文 科 ） 已 知 曲 线 lny x x 在 点 1,1 处 的 切 线 与 曲 线
2 2 1y ax a x 相切,则 a= ．
【答案】8
【解析】
试题分析：由 11y x
可得曲线 lny x x 在点 1,1 处的切线斜率为 2,故切线方程为
2 1y x ,与
2 2 1y ax a x 联 立 得 2 2 0ax ax , 显 然 0a , 所 以 由
2 8 0 8a a a .
考点：导数的几何意义.
13.（15 年新课标 2 文科）已知 ln 1f x x a x .
（I）讨论 f x 的单调性；
（II）当 f x 有最大值,且最大值大于 2 2a 时,求 a 的取值范围.
【答案】（I） 0a , f x 在 0, 是单调递增； 0a , f x 在 10, a
单调递增,在
1 ,a
单调递减；（II） 0,1 .
【解析】
考点：导数的应用.
14.（15 年陕西理科）对二次函数 2( )f x ax bx c （a 为非零常数），四位同学分别给
出下列结论，其中有且仅有
一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）
A．-1 是 ( )f x 的零点 B．1 是 ( )f x 的极值点
C．3 是 ( )f x 的极值 D. 点 (2,8) 在曲线 ( )y f x 上
【答案】A
考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．
15.（15 年陕西理科）设 nf x 是等比数列1， x ， 2x ， ， nx 的各项和，其中 0x ，
n ，
2n ．
（I）证明：函数 F 2n nx f x 在 1 ,12
内有且仅有一个零点（记为 nx ），且
11 1
2 2
n
n nx x ；
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ng x ，
比较 nf x
与 ng x 的大小，并加以证明．
【答案】（I）证明见解析；（II）当 1x = 时， ( ) ( )n nf x g x= ，当 1x 时， ( ) ( )n nf x g x< ，
证明见解析．
【解析】
试题分析：（I）先利用零点定理可证 Fn x 在 1 ,12
内至少存在一个零点，再利用函数的
单调性可证 Fn x 在 1 ,12
内有且仅有一个零点，进而利用 nx 是 Fn x 的零点可证
11 1
2 2
n
n nx x ；（II）先设 n nh x f x g x ，再对 x 的取值范围进行讨论来判断 h x
与 0 的大小，进而可得 nf x 和 ng x 的大小．
试题解析：（I） 2( ) ( ) 2 1 2,n
n nF x f x x x x= - = + + + - 则 (1) 1 0,nF n= - >
1
2
111 1 1 1 12( ) 1 2 2 0,12 2 2 2 21 2
n
n
n nF
所以 ( )nF x 在 1 ,12
内至少存在一个零点 nx .
又 1( ) 1 2 0n
nF x x nx ，故在 1 ,12
内单调递增，
所以 ( )nF x 在 1 ,12
内有且仅有一个零点 nx .
因为 nx 是 ( )nF x 的零点，所以 ( )=0n nF x ，即
11 2 01
n
n
n
x
x
+- - =- ，故 11 1= +2 2
n
n nx x + .
(II)解法一：由题设， ( )( )1 1
( ) .2
n
n
n x
g x
+ +
=
设 ( )( )2 1 1
( ) ( ) ( ) 1 , 0.2
n
n
n n
n x
h x f x g x x x x x
+ +
= - = + + + - >
当 1x = 时, ( ) ( )n nf x g x=
当 1x 时, 1
1 1( ) 1 2 .2
n
n n n xh x x nx
若
0 1x< < , 1 1 1 11( ) 2 2
n n n nn nh x x x nx x
( ) ( )1 11 1 0.2 2
n nn n n nx x- -+ += - =
若 1x > , 1 1 1 11( ) 2 2
n n n nn nh x x x nx x ( ) ( )1 11 1 0.2 2
n nn n n nx x- -+ += - =
所以 ( )h x 在 (0,1) 上递增，在 (1, ) 上递减，
所以 ( ) (1) 0h x h< = ，即 ( ) ( )n nf x g x< .
综上所述，当 1x = 时, ( ) ( )n nf x g x= ；当 1x 时 ( ) ( )n nf x g x<
解法二 由题设， ( )( )2 1 1
( ) 1 , ( ) , 0.2
n
n
n n
n x
f x x x x g x x
+ +
= + + + = >
当 1x = 时, ( ) ( )n nf x g x=
当 1x 时, 用数学归纳法可以证明 ( ) ( )n nf x g x< .
当 2n = 时, 2
2 2
1( ) ( ) (1 ) 0,2f x g x x- = - - < 所以 2 2( ) ( )f x g x< 成立.
假设 ( 2)n k k 时，不等式成立，即 ( ) ( )k kf x g x< .
那么，当 +1n k= 时，
( )( )1 1 1
k+1 k
1 1
( ) ( ) ( ) 2
k
k k k
k
k x
f x f x x g x x x+ + ++ +
= + < + = + ( )12 1 1
2
k kx k x k+ + + + += .
又 ( ) ( )1 1
k+1
2 1 1 1 1( ) 2 2
k k k kx k x k kx k xg x
+ ++ + + + - + +- =
令 ( )1( ) 1 1(x 0)k k
kh x kx k x+= - + + > ， 则
1 1( ) (k 1) 1 1 (x 1)k k k
kh x k x k k x k k x
所以当 0 1x< < , ( ) 0kh x , ( )kh x 在 (0,1) 上递减；
当 1x > , ( ) 0kh x , ( )kh x 在 (1, ) 上递增.
所以 ( ) (1) 0k kh x h> = ，从而 ( )1
k+1
2 1 1( ) 2
k kx k x kg x
+ + + + +>
故 1 1( ) ( )k kf x g x+ +< .即 +1n k= ，不等式也成立.
所以，对于一切 2n 的整数，都有 ( ) ( )n nf x g x< .
解法三:由已知，记等差数列为{ }ka ,等比数列为{ }kb , k 1,2, , 1.n= + 则 1 1 1a b= = ，
1 1
n
n na b x+ += = ，
所以 11+ 1 (2 n)
n
k
xa k kn
, 1(2 ),k
kb x k n
令
11 1
(x) 1 , 0(2 ).
n
k
k k k
k x
m a b x x k nn
当 1x = 时, =k ka b ,所以 ( ) ( )n nf x g x= .
当 1x 时, 1 2 2 11( ) (k 1) 1 1n k k n k
k
km x nx x k x xn
而 2 k n ，所以 1 0k - > ， 1 1n k .
若 0 1x< < , 1 1n kx - + < , ( ) 0km x ,
当 1x > , 1 1n kx - + > , ( ) 0km x ,
从而 ( )km x 在 (0,1) 上递减, ( )km x 在 (1, ) 上递增.所以 ( ) (1) 0k km x m> = ，
所以当 0 1 (2 ),k kx x a b k n 且 时, 又 1 1a b= , 1 1n na b+ += ，故 ( ) ( )n nf x g x<
综上所述，当 1x = 时, ( ) ( )n nf x g x= ；当 1x 时 ( ) ( )n nf x g x<
考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.
16.（15 年陕西文科）函数 xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】 1y e
考点：导数的几何意义.
17.（15 年天津理科）已知函数 ( ) n ,nf x x x x R ，其中 *n ,n 2N .
(I)讨论 ( )f x 的单调性；
(II)设曲线 ( )y f x= 与 x 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 ( )y g x= ,求证：
对于任意的正实数 x ，都有 ( ) ( )f x g x ；
(III)若关于 x 的方程 ( )=a(a )f x 为实数 有两个正实根 1 2x x， ，求证： 2 1| - | 21
ax x n
< +-
【答案】(I) 当 n 为奇数时， ( )f x 在 ( , 1) ，(1, ) 上单调递减，在 ( 1,1) 内单调递增；
当 n 为偶数时， ( )f x 在 ( , 1) 上单调递增， ( )f x 在 (1, ) 上单调递减. (II)见解析；
(III)见解析.
试题解析：(I)由 ( ) nf x nx x ，可得，其中 *n N 且 2n ，
下面分两种情况讨论：
（1）当 n 为奇数时：
令 ( ) 0f x ，解得 1x 或 1x ，
当 x 变化时， ( ), ( )f x f x 的变化情况如下表：
x ( , 1) ( 1,1) (1, )
( )f x
( )f x
所以， ( )f x 在 ( , 1) ， (1, ) 上单调递减，在 ( 1,1) 内单调递增.
(2)当 n 为偶数时，
当 ( ) 0f x ，即 1x 时，函数 ( )f x 单调递增；
当 ( ) 0f x ，即 1x 时，函数 ( )f x 单调递减.
所以， ( )f x 在 ( , 1) 上单调递增， ( )f x 在 (1, ) 上单调递减.
(II)证明：设点 P 的坐标为 0( ,0)x ，则
1
1
0
nx n ， 2
0( )f x n n ，曲线 ( )y f x 在点 P
处的切线方程为 0 0( )y f x x x ，即 0 0( ) ( )g x f x x x ，令 ( ) ( ) ( )F x f x g x ，
即 0 0( ) ( ) ( )F x f x f x x x ，则 0( ) ( ) ( )F x f x f x
由于 1( ) nf x nx n 在 0, 上单调递减，故 ( )F x 在 0, 上单调递减，又因为
0( ) 0F x ，所以当 0(0, )x x 时， 0( ) 0F x ，当 0( , )x x 时， 0( ) 0F x ，所以 ( )F x
在 0(0, )x 内单调递增，在 0( , )x 内单调递减，所以对任意的正实数 x 都有
0( ) ( ) 0F x F x ，即对任意的正实数 x ，都有 ( ) ( )f x g x .
(III)证明：不妨设 1 2x x ，由(II)知 2
0( )g x n n x x ，设方程 ( )g x a 的根为 2x ，
可得
2 02 .ax xn n
，当 2n 时， ( )g x 在 , 上单调递减，又由(II)知
2 2 2( ) ( ) ( ),g x f x a g x 可得 2 2x x .
类似的，设曲线 ( )y f x 在原点处的切线方程为 ( )y h x ，可得 ( )h x nx ，当
(0, )x ，
( ) ( ) 0nf x h x x ，即对任意 (0, )x ， ( ) ( ).f x h x
设方程 ( )h x a 的根为 1x ，可得 1
ax n
，因为 ( )h x nx 在 , 上单调递增，且
考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.
18.（15 年天津文科）已知函数 ln , 0,f x ax x x ,其中 a 为实数, f x 为
f x 的导函数,若 1 3f ,则 a 的值为 ．
【答案】3
【解析】
试题分析：因为 1 lnf x a x ,所以 1 3f a .
考点：导数的运算法则.
19.（15 年山东理科）设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x ，其中 a R .
（Ⅰ）讨论函数 ( )f x 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 0x ， ( ) 0f x 成立，求 a 的取值范围.
解：（Ⅰ） 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x ，定义域为 ( 1, )
21 (2 1)( 1) 1 2 1( ) (2 1)1 1 1
a x x ax ax af x a xx x x
，
设 2( ) 2 1g x ax ax a ，
当 0a 时， 1( ) 1, ( ) 01g x f x x
，函数 ( )f x 在 ( 1, ) 为增函数，无极值点.
当 0a 时， 2 28 (1 ) 9 8a a a a a ，
若 80 9a 时 0 ， ( ) 0, ( ) 0g x f x ，函数 ( )f x 在 ( 1, ) 为增函数，无极值点.
若 8
9a 时 0 ，设 ( ) 0g x 的两个不相等的实数根 1 2,x x ，且 1 2x x ，
且 1 2
1
2x x ，而 ( 1) 1 0g ，则 1 2
11 4x x ，
所以当 1( 1, ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x 单调递增；
当 1 2( , ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x x g x f x f x 单调递减；
当 2( , ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x 单调递增.
因此此时函数 ( )f x 有两个极值点；
当 0a 时 0 ，但 ( 1) 1 0g ， 1 21x x ，
所以当 2( 1, ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x 单调递増；
当 2( , ), ( ) 0, ( ) 0, ( )x x g x f x f x 单调递减.
所以函数只有一个极值点。
综上可知当 80 9a 时 ( )f x 的无极值点；当 0a 时 ( )f x 有一个极值点；当 8
9a
时， ( )f x 的有两个极值点.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当 80 9a 时 ( )f x 在 (0, ) 单调递增，而 (0) 0f ，
则当 (0, )x 时， ( ) 0f x ，符合题意；
当 8 19 a 时， 2(0) 0, 0g x ， ( )f x 在 (0, ) 单调递增，而 (0) 0f ，
则当 (0, )x 时， ( ) 0f x ，符合题意；
当 1a 时， 2(0) 0, 0g x ，所以函数 ( )f x 在 2(0, )x 单调递减，而 (0) 0f ，
则当 2(0, )x x 时， ( ) 0f x ，不符合题意；
当 0a 时，设 ( ) ln( 1)h x x x ，当 (0, )x 时 1( ) 1 01 1
xh x x x
，
( )h x 在 (0, ) 单调递增，因此当 (0, )x 时 ( ) (0) 0,ln( 1) 0h x h x ，
于是 2 2( ) ( ) (1 )f x x a x x ax a x ，当 11x a
时 2 (1 ) 0ax a x ，
此时 ( ) 0f x ，不符合题意.
综上所述， a 的取值范围是 0 1a .
另解：（Ⅰ） 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x ，定义域为 ( 1, )
21 (2 1)( 1) 1 2 1( ) (2 1)1 1 1
a x x ax ax af x a xx x x
，
当 0a 时， 1( ) 01f x x
，函数 ( )f x 在 ( 1, ) 为增函数，无极值点.
设 2 2 2( ) 2 1 , ( 1) 1, 8 (1 ) 9 8g x ax ax a g a a a a a ，
当 0a 时，根据二次函数的图像和性质可知 ( ) 0g x 的根的个数就是函数 ( )f x 极值点的
个数.
若 (9 8) 0a a ，即 80 9a 时， ( ) 0g x ， ( ) 0f x 函数在 ( 1, ) 为增函数，
无极值点.
若 (9 8) 0a a ，即 8
9a 或 0a ，
而当 0a 时 ( 1) 0g 此时方程 ( ) 0g x 在 ( 1, ) 只有一个实数根，此时函数 ( )f x 只
有一个极值点；
当 8
9a 时方程 ( ) 0g x 在 ( 1, ) 都有两个不相等的实数根，此时函数 ( )f x 有两个极值
点；
综上可知当 80 9a 时 ( )f x 的极值点个数为 0；当 0a 时 ( )f x 的极值点个数为 1；当
8
9a 时， ( )f x 的极值点个数为 2.
（Ⅱ）设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x ， 0x ，都有 ( ) 0f x 成立.
即 2ln( 1) ( ) 0x a x x
当 1x 时， ln 2 0 恒成立；
当 1x 时， 2 0x x ， 2
ln( 1) 0x ax x
；
当 0 1x 时， 2 0x x ， 2
ln( 1) 0x ax x
；由 0x 均有 ln( 1)x x 成立。
故当 1x 时，， 2
ln( 1) 1
1
x
x x x
(0, ) ，则只需 0a ；
当 0 1x 时， 2
ln( 1) 1 ( , 1)1
x
x x x
，则需 1 0a ，即 1a .综上可知对于
0x ，都有 ( ) 0f x 成立，只需 0 1a 即可，故所求 a 的取值范围是 0 1a .
另解：设函数 2( ) ln( 1) ( )f x x a x x ， (0) 0f ，要使 0x ，都有 ( ) 0f x 成立，
只需函数函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增即可，
于是只需 0x ， 1( ) (2 1) 01f x a xx
成立，
当 1
2x 时 1
( 1)(2 1)a x x
，令 2 1 0x t ， 2( ) ( ,0)( 3)g t t t
，
则 0a ；当 1
2x 时 1 2( ) 02 3f ；当 10 2x ， 1
( 1)(2 1)a x x
，
令2 1 ( 1,0)x t ， 2( ) ( 3)g t t t
关于 ( 1,0)t 单调递增，则 2( ) ( 1) 11( 1 3)g t g
，
则 1a ,于是 0 1a .
又当 1a 时， 2(0) 0, 0g x ，所以函数 ( )f x 在 2(0, )x 单调递减，而 (0) 0f ，
则当 2(0, )x x 时， ( ) 0f x ，不符合题意；
当 0a 时，设 ( ) ln( 1)h x x x ，当 (0, )x 时 1( ) 1 01 1
xh x x x
，
( )h x 在 (0, ) 单调递增，因此当 (0, )x 时 ( ) (0) 0,ln( 1) 0h x h x ，
于是 2 2( ) ( ) (1 )f x x a x x ax a x ，当 11x a
时 2 (1 ) 0ax a x ，
此时 ( ) 0f x ，不符合题意.
综上所述， a 的取值范围是 0 1a .
评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数 a 的讨论来研究
函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范
围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围
以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求.
20.（15 年江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现
状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 1 2l l， ，
山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到
1 2l l， 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 1 2l l， 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 1 2l l，
所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 2
ay x b
（其
中 a，b 为常数）模型.
（1）求 a，b 的值；
（2）设公路 l 与曲线C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.
①请写出公路 l 长度的函数解析式 f t ，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
【答案】（1） 1000, 0;a b （2）①
6
2
4
9 10 9( ) ,4f t tt
定义域为[5,20] ，②
min10 2, ( ) 15 3t f t 千米
（2）①由（1）知， 2
1000y x
（5 20x ），则点 的坐标为 2
1000,t t
，
设在点 处的切线 l 交 x ， y 轴分别于 ， 点， 3
2000y x
，
考点：利用导数求函数最值，导数几何意义
21.（15 年江苏）已知函数 ),()( 23 Rbabaxxxf .
（1）试讨论 )(xf 的单调性；
（2）若 acb （实数 c 是 a 与无关的常数），当函数 )(xf 有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是 ),2
3()2
3,1()3,( ，求 c 的值.
【答案】（1）当 0a 时， f x 在 , 上单调递增；
当 0a 时， f x 在 2, 3
a
， 0, 上单调递增，在 2 ,03
a
上单调递减；
当 0a 时， f x 在 ,0 ， 2 ,3
a
上单调递增，在 20, 3
a
上单调递减．
（2） 1.c
考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点
专题十 算法初步
1.（15 北京理科）执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A． 2 2 ， B． 4 0 ， C． 4 4 ， D． 0 8，
【答案】B
考点：程序框图
2.（15 北京文科）执行如图所示的程序框图，输出的 k 的值为（ ）
A．3 B． 4 C． 5 D． 6
【答案】B
考点：程序框图.
3.（15 年安徽文科）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为( )
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】B
考点：程序框图.
4.（15 年福建理科）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )
A．2 B．1 C．0 D． 1
【答案】C
【解析】
试题分析：程序在执行过程中 ,S i 的值依次为： 0, 1S i ； 0, 2S i ；
1, 3S i ； 1, 4S i ； 0, 5S i ； 0, 6S i ，程序结束，输出
0S ，故选 C．
考点：程序框图．
5.（15 年福建文科）阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入 x 的值为 1，则输
出 y 的值为（ ）
A．2 B．7 C．8 D．128
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得，该程序表示分段函数 2 , 2,
9 , 2
x xy
x x
，则 (1) 9 1 8f ，故选 C．
考点：程序框图．
6.(15 年新课标 1 理科) 执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
【答案】C
7.（15 年新课标 2 理科）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的
“更相减损术”。执行该程序框图，若输入 a,b 分别为 14,18，则输出的 a=
A.0 B.2 C.4 D.14
【答案】B
【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为 14a ， 18b ； 4b ； 10a ； 6a ；
2a ； 2b ，此时 2a b 程序结束，输出 a 的值为 2，故选 B．
8.（15 年新课标 2 文科）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中
的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的 ,a b 分别为 14,18,则输出的 a 为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.14
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意输出的 a 是 18,14 的最大公约数 2,故选 B.
考点：1. 更相减损术；2.程序框图.
9.（15 年陕西理科）根据右边的图，当输入 x 为 2006 时，输出的 y （ ）
A．28 B．10 C．4 D．2
【答案】B
【解析】
试题分析：初始条件： 2006x ；第 1 次运行： 2004x ；第 2 次运行： 2002x ；第 3
次运行： 2000x ；；第 1003 次运行： 0x ；第 1004 次运行： 2x ．不满足条
件 0?x ，停止运行，所以输出的 23 1 10y ，故选 B．
考点：程序框图．
10.（15 年陕西文科）根据右边框图，当输入 x 为 6 时，输出的 y （ ）
A．1 B． 2 C．5 D．10
【答案】 D
【解析】
试题分析：该程序框图运行如下： 6 3 3 0x ， 3 3 0x ， 0 3 3 0x ，
2( 3) 1 10y ，故答案选 D .
考点：程序框图的识别.
11.（15 年天津理科）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为
（A） 10 （B）6（C）14（D）18
【答案】B
【解析】
试题分析：模拟法：输入 20, 1S i ；
2 1, 20 2 18,2 5i S 不成立；
2 2 4, 18 4 14,4 5i S 不成立
2 4 8, 14 8 6,8 5i S 成立
输出 6,故选 B.
考点：程序框图.
12.（15 年天津文科）阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为（ ）
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)5
【答案】C
【解析】
试题分析：由程序框图可知： 2, 8; 3,S 5; 4, 1.i S i i S 故选 C.
考点：程序框图.
13.（15 年山东理科）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
解析： 1 1 2
0 0
1 1 111 1 2 3 6T xdx x dx .
14.（15 年江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为________.
是
否
开始
n=1，T=1
n<3
1
0
nT T x dx
n=n+1
输出 T
结束
S←1
I←1
While I 10
S←S＋2
I←I＋3
End While
Print S
【答案】7
【解析】
试题分析：第一次循环： 3, 4S I ;第二次循环： 5, 7S I ;第三次循环： 7, 10S I ;
结束循环，输出 7.S
考点：循环结构流程图
专题十一 常用逻辑用语
1.（15 北京理科）设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“ ∥ ”
的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．若“ m ∥ ”，则平面
、 可能相交也可能平行，不能推出 // ，反过来若 // ，m ，则有 m ∥ ，
则“ m ∥ ”是“ ∥ ”的必要而不充分条件.
考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.
2.（15 年安徽文科）设 p：x<3，q：-1 2n ，则P 为
（A） nN, 2n > 2n （B） nN, 2n ≤ 2n
（C） nN, 2n ≤ 2n （D） nN, 2n = 2n
【答案】C
【解析】 p : 2, 2nn N n ，故选 C.
4.（15 年陕西理科）“sin cos ”是“ cos2 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分
也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：因为 2 2cos2 cos sin 0 ，所以 sin cos 或sin cos ，因为
“sin cos ” “ cos2 0 ”，但“sin cos ” “ cos2 0 ”，所以
“sin cos ”是“ cos2 0 ”的充分不必要条件，故选 A．
考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．
5.（15 年陕西文科）“sin cos ”是“ cos2 0 ”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要
【答案】 A
考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.
6.（15 年天津理科）设 x R ，则“ 2 1x ”是“ 2 2 0x x ”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【答案】A
考点：充分条件与必要条件.
7.(15 年浙江理科)
8.（15 年湖南理科）设 A,B 是两个集合，则” A B A ”是“ A B ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C.
【解析】
试题分析：由题意得，A B A A B ，反之， ABABA ，故为充要条件，
选 C.
考点：集合的关系.
9. （ 15 年 山 东 理 科 ） 若 “ [0, ],tan4x x m ” 是 真 命 题 ， 则 实 数 m 的 最 小 值
为 .
解析：“ [0, ],tan4x x m ”是真命题，则 tan 14m ，于是实数 m 的最小值为 1.
专题十二 推理与证明
1. （ 15 年 广 东 文 科 ） 若 集 合
, , , 0 4,0 4,0 4 , , ,p q r s p s q s r s p q r s 且 ，
F , , , 0 4,0 4 , , ,t u v w t u v w t u v w 且 ，用 card 表示集合 中的
元素个数，则
card card F （ ）
A ． 50 B ． 100 C ． 150
D． 200
【答案】D
考点：推理与证明．
2.（15 年福建理科）一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 *
1 2 nx x x n N ，其中
1,2, ,kx k n 称为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发
生码元错误（即码元由 0 变为 1，或者由 1 变为 0）
已知某种二元码 1 2 7x x x 的码元满足如下校验方程组：
4 5 6 7
2 3 6 7
1 3 5 7
0,
0,
0,
x x x x
x x x x
x x x x
其中运算 定义为： 0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 ．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利
用上述校验方程组可判定 k 等于 ．
【答案】5．
考点：推理证明和新定义．
3.（15 年陕西文科）观察下列等式：
1－ 1 1
2 2
1－ 1 1 1 1 1
2 3 4 3 4
1－ 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 4 5 6
…………
据此规律，第 n 个等式可为______________________.
【答案】 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n
【解析】
试题分析：观察等式知：第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，
且分子为 1，分母是 1 到 2n 的连续正整数，等式的右边是 1 1 1
1 2 2n n n
.
故答案为 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 2 1 2 1 2 2n n n n n
考点：归纳推理.
4.（15 年江苏）已知集合 3,2,1X ， )(,,3,2,1 *NnnYn ，
,),( abbabaSn 整除或整除
nYbXa , ，令 ( )f n 表示集合 nS 所含元素的个数.
（1）写出 (6)f 的值；
（2）当 6n 时，写出 ( )f n 的表达式，并用数学归纳法证明.
【答案】（1）13（2）
2 , 62 3
1 12 , 6 12 3
22 , 6 22 3
12 , 6 32 3
12 , 6 42 3
1 22 , 6 52 3
n nn n t
n nn n t
n nn n t
f n
n nn n t
n nn n t
n nn n t
下面用数学归纳法证明：
①当 6n 时， 6 66 6 2 132 3f ，结论成立；
②假设 n k （ 6k ）时结论成立，那么 1n k 时， 1kS 在 kS 的基础上新增加的元素在
1, 1k ，
考点：计数原理、数学归纳法
专题十三 概率统计
1.（15 北京理科） A ， B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：
天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组：12，13，15，16，17，14， a
假设所有病人的康复时间互相独立，从 A ， B 两组随机各选 1 人， A 组选出的人记为
甲， B 组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率；
(Ⅱ) 如果 25a ，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(Ⅲ) 当 a 为何值时， A ， B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【答案】（1）
3
7 ，（2）
10
49 ，（3） 11a 或18
2.（15 北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教
师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ）
A．90 B．100 C．180 D．300
类别 人数
老年教师 900
中年教师 1800
青年教师 1600
合计 4300
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1600 16
900 9
；设样本中老年教师的
人数为 x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即
320 16
9x
，解得 180x .
考点：分层抽样.
3.（15 北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2015 年5月1日 12 35000
2015 年5月15 日 48 35600
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100 千米平均
耗油量为（ ）
A．6 升 B．8 升 C．10 升 D．12 升
【答案】B
【解析】
试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量
48V 升. 而这段时间内行驶的里程数 35600 35000 600S 千米. 所以这段时间内，
该车每 100 千米平均耗油量为 48 100 8600
升，故选 B.
考点：平均耗油量.
4.（15 北京文科）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班37 位学生的语文成绩，数学成
绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．
【答案】乙、数学
【解析】
试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成
绩排名靠前，故填乙.
②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人
数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.
考点：散点图.
5.（15 北京文科）某超市随机选取1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品
的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
（Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；
（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？
【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.
商
品顾
客
人
数
【解析】
试题分析：本题主要考查统计表、概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、
转化能力、计算能力.第一问，由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数 200，计算出概率；
第二问，先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的人数 100+200，再计
算概率；第三问，由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为 200，顾客同时购买甲和丙的
人数为 100+200+300，顾客同时购买甲和丁的人数为 100，分别计算出概率，再通过比较大
小得出结论.
试题解析：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中，有 200 位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 0.21000
.
（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这 1000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，
另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品.所以顾客在甲、乙、
丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为100 200 0.31000
.
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 0.21000
，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100 200 300 0.61000
，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 0.11000
，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.
考点：统计表、概率.
6.（15 年广东理科）已知随机变量 服从二项分布 ,n p ，若 30 ， D 20 ，
则 p ．
【答案】 1
3
．
【解析】依题可得 30E X np 且 1 20D X np p ，解得 1
3p ，故应填入 1
3
．
【考点定位】本题考查二项分布的性质，属于容易题．
7.（15 年广东理科）某工厂 36 名工人的年龄数据如下表。
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
B.40
C.44
D.40
E.41
F.33
G.40
H.45
I.42
J.43
K.36
L.31
M.38
N.39
O.43
P.45
Q.39
R.38
S.36
T.27
U.43
V.41
W.37
X.34
Y.42
Z.37
AA.44
AB.42
AC.34
AD.39
AE.43
AF.38
AG.42
AH.53
AI.37
AJ.49
AK.39
（1）用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到
的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的平均值 x 和方差 2s ；
（3）36 名工人中年龄在 sx 与 sx 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到
0.01％）？
【答案】（1）44 ，40 ，36 ，43 ，36 ，37 ，44 ，43 ，37 ；（2） 40x ， 2 100
9s ；（3）
23 ，约占 63.89% ．
【考点定位】本题考查系统抽样、样本的均值与方差、样本数据统计等知识，属于中档题．
8.（15 年广东文科）已知5件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取 2
件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：5件产品中有 2 件次品，记为 a ，b ，有3件合格品，记为 c ，d ，e ，从这5件
产品中任取 2 件，有10种，分别是 ,a b ， ,a c ， ,a d ， ,a e ， ,b c ， ,b d ， ,b e ，
,c d ， ,c e ， ,d e ，恰有一件次品，有 6 种，分别是 ,a c ， ,a d ， ,a e ， ,b c ，
,b d ， ,b e ，设事件 “恰有一件次品”，则 6 0.610
，故选 B．
考点：古典概型．
9.（15 年广东文科）已知样本数据 1x ， 2x ， ， nx 的均值 5x ，则样本数据 12 1x ， 22 1x ，
， 2 1nx 的均值为 ．
【答案】11
考点：均值的性质．
10.（15 年广东文科）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ，
200,220 ， 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方图如
图 2 ．
1 求直方图中 x 的值；
2 求月平均用电量的众数和中位数；
3 在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，
用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取多少户？
【答案】（1） 0.0075；（2） 230 ， 224 ；（3）5．
【解析】
试题解析：（1）由 0.002 0.0095 0.011 0.0125 0.005 0.0025 20 1x 得：
0.0075x ，所以直方图中 x 的值是 0.0075
考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.
11.（15 年安徽理科）已知 2 件次品和 3 件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次
随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果.
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3
件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 X 的分布列和均值（数学期望）
12.（15 年安徽文科）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职
工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分
组区间为[40,50],[50,60], ,[80,90],[90,100]
（1）求频率分布图中 a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；
（3）从评分在[40,60] 的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在[40,50] 的概率.
【答案】（1）0.006（2） 2
5
（3） 1
10
（Ⅲ）由频率分布直方图可知：在[40,50)内的人数为 0.004×40×50＝2（人）
在[50,60)内的人数为 0.006×10×50＝3（人）
设[40,50)内的两人分别为 21,aa ；[50,60)内的三人为 32,1 , AAA ,则从[40,60)的受伤职工中
随机抽取 2 人，基本事件有（ 21,aa ），（ 11, Aa ），（ 21, Aa ），（ 31, Aa ），（ 12, Aa ），（ 22, Aa ），
（ 32 , Aa ），（ 21, AA ），（ 31, AA ），
（ 32, AA ）共 10 种；其中 2 人评分都在[40,50)内的概率为
10
1 .
考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.
13.（15 年福建理科）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区
5 户家庭，得到如下统计数据表：
收入 x （万
元）
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 y （万
元）
6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a ，其中 ˆ ˆˆ0.76,b a y bx ，据此估计，该社区一
户收入为 15 万元家庭年支出为( )]
A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元
【答案】B
考点：线性回归方程．
14.（15 年福建理科）如图，点 A 的坐标为 1,0 ，点C 的坐标为 2,4 ，函数 2f x x ，
若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．
【答案】 5
12
【解析】
试题分析：由已知得阴影部分面积为 2 2
1
7 54 4 3 3x dx ．所以此点取自阴影部分的概
率等于
5
53
4 12
．
考点：几何概型．
15.（15 年福建理科）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行
卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的
正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码
正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
【答案】(Ⅰ) 1
2
；(Ⅱ)分布列见解析，期望为 5
2
．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A ．则银行卡被锁死相
当于三次尝试密码都错，基本事件总数为 3
6 6 5 4A ，事件 A 包含的基本事件数为
3
5 5 4 3A ，代入古典概型的概率计算公式求解；(Ⅱ)列出随机变量 X 的所有可能取值，
分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．
试题解析：（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为 A，
则 5 4 3 1(A) =6 5 4 2P = 创
（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3
又 1 5 1 1 5 4 2(X=1) , (X=2) , (X=3) 1= .6 6 5 6 6 5 3P P P= = � = 创
所以 X 的分布列为
所以 1 1 2 5E(X) 1 2 36 6 3 2
= ´ + ´ + ´ = ．
考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．
16.（15 年福建文科）如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为 (1,0) ．且
点C 与点 D 在函数
1, 0
( ) 1 1, 02
x x
f x
x x
的图像上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部
分的概率等于（ ）
A． 1
6 B． 1
4 C． 3
8 D． 1
2
【答案】B
考点：古典概型．
17.（15 年福建文科）某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽
样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_______．
【答案】 25
【解析】
试题分析：由题意得抽样比例为 45 1
900 20
，故应抽取的男生人数为 1500 2520
．
考点：分层抽样．
18.（15 年福建文科）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指
标．根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指
数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
组号 分组 频数
1 [4,5) 2
2 [5,6) 8
3 [6,7) 7
4 [7,8] 3
（Ⅰ）现从融合指数在[4,5) 和 7,8 内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，
求至少有 1 家的融合指数在 7,8 的概率；
（Ⅱ）根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
【答案】（Ⅰ） 9
10
；（Ⅱ） 6.05．
解法一：（I）融合指数在 7,8 内的“省级卫视新闻台”记为 1 ， 2 ， 3 ；融合指数在 4,5
内的“省级卫视新闻台”记为 1 ， 2 ．从融合指数在 4,5 和 7,8 内的“省级卫视新闻
台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是： 1 2, ， 1 3, ， 2 3, ， 1 1, ，
1 2, ， 2 1, ， 2 2, ， 3 1, ， 3 2, ， 1 2, ，共10个．
其中，至少有1家融合指数在 7,8 内的基本事件是： 1 2, ， 1 3, ， 2 3, ，
1 1, ， 1 2, ， 2 1, ， 2 2, ， 3 1, ， 3 2, ，共9个．
所以所求的概率 9
10
．
（ II ） 这 20 家 “ 省 级 卫 视 新 闻 台 ” 的 融 合 指 数 平 均 数 等 于
2 8 7 34.5 5.5 6.5 7.5 6.0520 20 20 20
．
解法二：（I）融合指数在 7,8 内的“省级卫视新闻台”记为 1 ， 2 ， 3 ；融合指数在 4,5
内的“省级卫视新闻台”记为 1 ， 2 ．从融合指数在 4,5 和 7,8 内的“省级卫视新闻
台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是： 1 2, ， 1 3, ， 2 3, ， 1 1, ，
1 2, ， 2 1, ， 2 2, ， 3 1, ， 3 2, ， 1 2, ，共10个．
其中，没有1家融合指数在 7,8 内的基本事件是： 1 2, ，共1个．
所以所求的概率 1 91 10 10
．
（II）同解法一．
考点：1、古典概型；2、平均值．
19，（15 年新课标 1 理科）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同
学通过测试的概率为
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 2 2 3
3 0.6 0.4 0.6C =0.648，
故选 A.
20.（15 年新课标 2 理科）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量（单位：
万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )
（A） 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
（B） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现
（C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
（D） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】D
【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年
份负相关．
21.（15 年新课标 2 理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机
调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度
评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
记时间 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评
价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概
率
22.（15 年新课标 2 文科）根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：
万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）
2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
A．逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
【答案】 D
考点：柱形图
23.（15 年新课标 2 文科）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调
查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布
直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
（I）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意
度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
【答案】（I）见试题解析（II）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
考点：1.频率分布直方图；2.概率估计.
24.（15 年陕西理科）某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例
如图所示，则该校女教师
的人数为（ ）
A ． 167 B ． 137 C ． 123
D．93
【答案】B
考点：扇形图．
25.（15 年陕西理科）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ， 只与道路畅通状况
有关，
对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
（分钟） 25 30 35 40
频数（次） 20 30 40 10
（I）求 的分布列与数学期望 ；
（II）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校
区，求刘教授从
离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率．
【答案】（I）分布列见解析，32；（II） 0.91．
【解析】
试题分析：（I）先算出 的频率分布，进而可得 的分布列，再利用数学期望公式可得数
学期望 ；（II）先设事件 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120
分钟”，再算出 的概率．
试题解析：（I）由统计结果可得 T 的频率分步为
（分钟） 25 30 35 40
频率 0.2 0.3 0.4 0.1
以频率估计概率得 T 的分布列为
25 30 35 40
0.2 0.3 0.4 0.1
从而 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 32ET （分钟）
(II)设 1 2,T T 分别表示往、返所需时间， 1 2,T T 的取值相互独立，且与 T 的分布列相同.设事
件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于
“刘教授在途中的时间不超过 70 分钟”.
解法一： 1 2 1 2 1 2(A) P( 70) P( 25, 45) P( 30, 40)P T T T T T T
1 2 1 2P( 35, 35) P( 40, 30)T T T T 1 0.2 1 0.3 0.9 0.4 0.5 0.1 0.91 .
解 法 二 ：
1 2 1 2 1 2(A) P( 70) P( 35, 40) P( 40, 35)P T T T T T T= + > = = = + = = 1 2P( 40, 40)T T+ = =
0.4 0.1 0.1 0.4 0.1 0.1 0.09
故 (A) 1 P(A) 0.91P = - = .
考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.
26.（15 年陕西文科）某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例
如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A．93 B．123 C．137 D．167
【答案】C
【解析】
试题分析：由图可知该校女教师的人数为110 70% 150 (1 60%) 77 60 137
故答案选C
考点：概率与统计.
27.（15 年陕西文科）随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果
如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(I)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(II)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下
雨的概率.
【答案】(I) 13
15
； (II) 7
8
.
【解析】
试题分析：(I)在容量为 30 的样本中，从表格中得，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，
4 月份任选一天，西安市不下雨的概率是 26 13
30 15
.
(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如 1 日与 2 日，2 日与 3 日等）这样在 4 月份中，前
一天为晴天的互邻日期对有 16 对，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的
频率为14 7
16 8
，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 7
8
.
试题解析：(I)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一
天，西安市不下雨的概率是 13
15
.
(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如 1 日与 2 日，2 日与 3 日等）这样在 4 月份中，前
一天为晴天的互邻日期对有 16 对，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的
频率为 7
8
，
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为 7
8
.
考点：概率与统计.
28.（15 年天津理科）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队
参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子
选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.
(I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”
求事件 A 发生的概率；
(II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
【答案】(I) 6
35 ;
(II) 随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P 1
14
3
7
3
7
1
14
5
2E X
【解析】
试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量 X 的所有可能值，
求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.
试题解析：(I)由已知，有
2 2 2 2
2 3 3 3
4
8
6( ) 35
C C C CP A C
所以事件 A 发生的概率为 6
35 .
(II)随机变量 X 的所有可能取值为1,2,3,4
4
5 3
4
8
( 1,2,3,4)
k kC CP X k kC
所以随机变量 X 的分布列为
X 1 2 3 4
P 1
14
3
7
3
7
1
14
所以随机变量 X 的数学期望 1 3 3 1 51 2 3 414 7 7 14 2E X
考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望.
29.（15 年天津文科）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分
层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛.
（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
（II）将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 1 2 3 4 5 6, , , , ,A A A A A A ,从这 6 名运动员中随
机抽取 2 名参加双打比赛.
（i）用所给编号列出所有可能的结果；
（ii）设 A 为事件“编号为 5 6,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件 A 发生的概率.
【答案】（I）3,1,2；（II）（i）见试题解析；（ii） 3
5
【解析】
试题分析：（I）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分
别为 3,1,2；（II）（i）一一列举,共 15 种；（ii）符合条件的结果有 9 种,所以 9 3.15 5P A .
试题解析：（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2；
（II）（i）从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 1 2,A A ,
1 3,A A , 1 4,A A , 1 5,A A , 1 6,A A , 2 3,A A , 2 4,A A , 2 5,A A , 2 6,A A , 3 4,A A ,
3 5,A A , 3 6,A A , 4 5,A A , 4 6,A A , 5 6,A A ,共 15 种.
（ ii ） 编 号 为 5 6,A A 的 两 名 运 动 员 至 少 有 一 人 被 抽 到 的 结 果 为 1 5,A A , 1 6,A A ,
2 5,A A , 2 6,A A , 3 5,A A , 3 6,A A , 4 5,A A , 4 6,A A , 5 6,A A ,共 9 种,所以事件 A 发
生的概率 9 3.15 5P A
考点：分层抽样与概率计算.
30.（15 年湖南理科）.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲
线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.2386 B.2718 C.3413 D.4772
【答案】C.
考点：正态分布.
31.（15 年湖南理科）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如
图 4 所示.
若将运动员按成绩由好到差编为1 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在
区间[139,151]上的运动员人数是 .
【答案】 4 .
【解析】
试题分析：由茎叶图可知，在区间 ]151,139[ 的人数为 20 ，再由系统抽样的性质可知人数为
435
720 人.
考点：1.系统抽样；2.茎叶图.
32.（15 年山东理科）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2(0,3 )N ，从
中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量 服从正态分布 2( , )N ，则 ( ) 68.26%P ,
( 2 2 ) 95.44%P .）
(A) 4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%
解析： 1(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59%2P ，答案选(B)
33．（15 年山东理科）若 n 是一个三位正整数，且 n 的个位数字大于十位数字，十位数字大
于百位数字，则称 n 为“三位递增数”（如 137,359,567 等）.
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且
只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参
加者得 0 分；若能被 5 整除，但不能被 10 整除，得-1 分；若能被 10 整除，得 1 分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 X 的分布列和数学期望 EX.
解：（Ⅰ）125,135,145,235,245,345；
（Ⅱ）X 的所有取值为-1,0,1.
3 2 1 1 2
8 4 4 4 4
3 3 3
9 9 9
2 1 11( 0) , ( 1) , ( 1)3 14 42
C C C C CP X P X P XC C C
甲得分 X 的分布列为：
X 0 -1 1
P 2
3
1
14
11
42
2 1 11 40 ( 1) 13 14 42 21EX
34.（15 年江苏）已知一组数据 4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.
【答案】6
考点：平均数
35.(15 年江苏) 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，
从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为________.
【答案】 5.6
考点：古典概型概率
专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何
1.（15 北京理科）设 ， 是两个不同的平面， m 是直线且 m ⊂ ．“ m ∥ ”是“ ∥ ”
的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m ⊂ ．若“ m ∥ ”，则平面 、
可能相交也可能平行，不能推出 // ，反过来若 // ，m ，则有 m ∥ ，则
“ m ∥ ”是“ ∥ ”的必要而不充分条件.
考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.
2.（15 北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A． 2 5 B． 4 5 C． 2 2 5 D．5
【答案】C
【解析】
试题分析：根据三视图恢复成三棱锥 P-ABC ，其中 PC 平面 ABC，取 AB 棱的中点 D，
连接 CD、PD，有 ,PD AB CD AB ，底面 ABC 为等腰三角形底边 AB 上的高 CD 为 2，
AD=BD=1,PC=1,
5, ABCPD S 1 2 2 2,2 , 1 2 5 52PABS , AC BC
5 ， 1 5 12PAC PBCS S 5
2 ,三棱锥表面积 表 2 5 2S .
考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.
3.（15 北京理科）如图，在四棱锥 A EFCB 中， AEF△ 为等边三角形，平面 AEF 平
面 EFCB ， EF BC∥ ， 4BC ， 2EF a ， 60EBC FCB ， O 为 EF 的中点．
(Ⅰ) 求证： AO BE ；
(Ⅱ) 求二面角 F AE B 的余弦值；
(Ⅲ) 若 BE 平面 AOC ，求 a 的值．
【答案】(1)证明见解析，（2） 5
5 ，（3） 4
3a
【解析】
试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面 AEF 平面
EFCB ，借助性质定理证明 AO 平面 EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直
角坐标系，写出相关点的坐标，平面 AEF 的法向量易得，只需求平面 AEB 的法向量，
设平面 AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面
角公式求出法向量的余弦值；第三步由于 AO BE ，要想 BE 平面 AOC ，只需
BE OC ，利用向量 、BE OC
的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题
予以取舍.
试题解析：(Ⅰ)由于平面 AEF 平面 EFCB ， AEF△ 为等边三角形， O 为 EF 的中点，
则 AO EF ，根据面面垂直性质定理，所以 AO 平面 EFCB，又 BE 平面 EFCB ，
则 AO BE .
(Ⅱ)取 CB 的中点 D，连接 OD,以 O 为原点，分别以 、 、OE OD OA 为 、 、x y z 轴建立空
间直角坐标系， (0,0 3 )A a ， ( ,0,0), (2,2 3 3 ,0), ( ,0, 3 )E a B a AE a a
，
(2 ,2 3 3 ,0)EB a a
，由于平面 AEF 与 y 轴垂直，则设平面 AEF 的法向量
为 1 (0,1,0)n
，设平面 AEB 的法向量 2 ( , ,1)n x y
，
2 , - 3 0, 3n AE ax a x
，
2 ,(2 ) (2 3 3 ) 0, 1n EB a x a y y
，则 2n
( 3, 1,1) ，二面角 F AE B 的余弦值 1 2
1 2
1 2
1 5cos , 55
n nn n
n n
，
由二面角 F AE B 为钝二面角，所以二面角 F AE B 的余弦值为 5
5 .
（Ⅲ）有（1）知 AO 平面 EFCB，则 AO BE ，若 BE 平面 AOC ，只需 BE OC ，
(2 ,EB a
2 3 3 ,0)a ，又 ( 2,2 3 3 ,0)OC a
，
22(2 ) (2 3 3 ) 0BE OC a a
，解得
2a 或 4
3a ，由于 2a ，则 4
3a .
考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.
4.（15 北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D． 2
【答案】C
【解析】
试题分析：四棱锥的直观图如图所示：
由三视图可知， SC 平面 ABCD，SA 是四棱锥最长的棱，
2 2 2 2 2 3SA SC AC SC AB BC .
考点：三视图.
5.（15 北京文科）如图，在三棱锥 V C 中，平面 V 平面 C ， V 为等边
三角形， C C 且 C C 2 ， ， 分别为 ， V 的中点．
（Ⅰ）求证： V // 平面 C ；
（Ⅱ）求证：平面 C 平面 V ；
（Ⅲ）求三棱锥 V C 的体积．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3） 3
3
.
【解析】
试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、
三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑
推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形 ABV 中，利用中位线的性质得 / /OM VB ，
最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形 ABC 中得到OC AB ，再
利用面面垂直的性质得OC 平面 VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将
三棱锥进行等体积转化，利用 C VAB V ABCV V ，先求出三角形 VAB 的面积，由于OC 平
面 VAB，所以 OC 为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.
试题解析：（Ⅰ）因为 ,O M 分别为 AB，VA 的中点，
所以 / /OM VB .
又因为VB 平面 MOC，
所以 / /VB 平面 MOC.
（Ⅱ）因为 AC BC ，O 为 AB 的中点，
所以OC AB .
又因为平面 VAB 平面 ABC，且OC 平面 ABC，
所以OC 平面 VAB.
所以平面 MOC 平面 VAB.
（Ⅲ）在等腰直角三角形 ACB 中， 2AC BC ，
所以 2, 1AB OC .
所以等边三角形 VAB 的面积 3VABS .
又因为OC 平面 VAB，
所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 1 3
3 3VABOC S .
又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等，
所以三棱锥 V-ABC 的体积为 3
3
.
考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公
式.
6.（15 年广东理科）若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值
A．大于 5 B. 等于 5 C. 至多等于 4 D. 至多等于 3
【答案】C ．
【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．
7.（15 年广东理科）如图 2，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，
4PD PC= = ， 6AB = ， 3BC = .点 E 是CD 边的中点，点 F 、G 分别在线段 AB 、BC 上，
且 2AF FB= ， 2CG GB= .
（1）证明： PE FG ；
（2）求二面角 P AD C- - 的正切值；
（3）求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） 7
3
；（3） 9 5
25
．
【解析】（1）证明：∵ PD PC 且点 E 为 CD 的中点，
∴ PE DC ，又平面 PDC 平面 ABCD ，且平面 PDC 平面 ABCD CD ，PE 平
面 PDC ，
P
A B
CD E
F
G
∴ PE 平面 ABCD ，又 FG 平面 ABCD ，
∴ PE FG ；
（2）∵ ABCD 是矩形，
∴ AD DC ，又平面 PDC 平面 ABCD ，且平面 PDC 平面 ABCD CD ，AD 平
面 ABCD ，
∴ AD 平面 PCD ，又 CD 、 PD 平面 PDC ，
∴ AD DC ， AD PD ，
∴ PDC 即为二面角 P AD C 的平面角，
在 Rt PDE 中， 4PD ， 1 32DE AB ， 2 2 7PE PD DE ，
∴ 7tan 3
PEPDC DE
即二面角 P AD C 的正切值为 7
3
；
（3）如下图所示，连接 AC ，
∵ 2AF FB ， 2CG GB 即 2AF CG
FB GB
，
∴ / /AC FG ，
∴ PAC 为直线 PA 与直线 FG 所成角或其补角，
在 PAC 中， 2 2 5PA PD AD ， 2 2 3 5AC AD CD ，
由余弦定理可得
22 22 2 2 5 3 5 4 9 5cos 2 252 5 3 5
PA AC PCPAC PA AC
，
∴ 直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值为 9 5
25
．
【考点定位】本题考查直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角等知识，属于中档题．
8.（15 年广东文科）若直线 1l 和 2l 是异面直线， 1l 在平面 内， 2l 在平面 内，l 是平面
与平面 的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l 至少与 1l ， 2l 中的一条相交 B．l 与 1l ， 2l 都相交
C．l 至多与 1l ， 2l 中的一条相交 D．l 与 1l ， 2l 都不相交
P
A B
CD E
F
G
【答案】A
考点：空间点、线、面的位置关系．
9.（15 年广东文科）如图 3，三角形 DC 所在的平面与长方形 CD 所在的平面垂直，
D C 4 ， 6 ， C 3 ．
1 证明： C// 平面 D ；
2 证明： C D ；
3 求点 C 到平面 D 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 3 7
2
．
【解析】
试题解析：（1）因为四边形 CD 是长方形，所以 C// D ，因为 C 平面 D ， D
平面 D ，所以 C// 平面 D
（2）因为四边形 CD 是长方形，所以 C CD ，因为平面 DC 平面 CD ，平
面 DC 平面 CD CD ， C 平面 CD ，所以 C 平面 DC ，因为 D 平
面 DC ，所以 C D
（3）取 CD 的中点 ，连结 和 ，因为 D C ，所以 CD ，在 Rt D 中，
2 2D D
2 24 3 7 ，因为平面 DC 平面 CD ，平面 DC 平面 CD CD ，
平面 DC ，所以 平面 CD ，由（2）知： C 平面 DC ，由（1）知： C// D ，
所以 D 平面 DC ，因为 D 平面 DC ，所以 D D ，设点 C 到平面 D 的距
离 为 h ， 因 为 C D CDV V 三棱锥 三棱锥 ， 所 以 D CD
1 1
3 3S h S ， 即
CD
D
1 3 6 7 3 72
1 23 42
Sh S
，所以点 C 到平面 D 的距离是 3 7
2
考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.
10.（15 年安徽理科）如图所示，在多面体 1 1 1A B D DCBA ，四边形 1 1AA B B ， 1 1 ,ADD A ABCD
均为正方形， E 为 1 1B D 的中点，过 1, ,A D E 的平面交 1CD 于 F
（1）证明： 1 1/ /EF B C
(2)求二面角 1 1E A D B 余弦值.
9.11.（15 年安徽文科）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
（A）1 3 （B）1 2 2 （C） 2 3 （D） 2 2
【答案】C
考点：1.几何体的三视图；2.锥体的体积公式.
12.(15 年 安 徽 文 科 ) 如 图 ， 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA 平 面 ABC ，
1, 1, 2, 60PA AB AC BAC o .
(1)求三棱锥 P-ABC 的体积；
(2)证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC BM，并求 PM
MC
的值。
【答案】（1） 3
6
（2） 1
3
PM
MC
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在 ABC 中 ABCS ＝
2
3 .又∵PA⊥面 ABC ∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高，
根据锥体的体积公式即可求出结果;（Ⅱ）过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NM∥PA 交 PC
于 M，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可知此 M 点即为所求，根据相似三角形的性质
即可求出结果.
试题解析：（Ⅰ）在 ABC 中， AB ＝1, ,2AC ∠ 60BAC
ABCS ＝ BACACAB sin2
1 ＝
2
360sin212
1 .[gkstk.Com]
又∵PA⊥面 ABC
∴PA 是三棱锥 P-ABC 的高
∴
6
3
2
313
1
3
1
ABC- ABCP SPAV ＝三棱锥
（Ⅱ）过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NM∥PA 交 PC 于 M，则
NBNMN
ACMN
ABCAC
ABCMN
＝面
面
BMAC
BMNBM
BMNAC
面
面
此时 M 即为所找点，在
AC
CN
PC
CMANABN ＝＝中，易知
2
1
4
3
2
2
3
＝
3
1＝
MC
PM .
考点：1.锥体的体积公式；2.线面垂直的判定定理及性质定理.
13.（15 年福建理科）若 ,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“l m ”是“ / /l
的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
【答案】B
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
14.（15 年福建理科）如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB ^ 平面 BEC，BE^ EC，
AB=BE=EC=2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点.
(Ⅰ)求证： / /GF 平面 ADE ；
(Ⅱ)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．
【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ) 2
3
．
试题解析：解法一：（Ⅰ）如图，取 AE 的中点 H ，连接 HG ， HD ，又 G 是 BE 的中点，
1GH AB GH= AB2所以 ，且 ，
又 F 是 CD 中点， 1DF= CD2
所以 ，由四边形 ABCD 是矩形得， AB CD AB=CD ， ，所
以
GH DF GH=DF ，且 ．从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 / /GF DH ，,又
DH ADE GF ADE趟平面 ， 平面 ，所以 GF ADE 平面 ．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 2
3
．
解法二：(Ⅰ)如图，取 AB 中点 M ，连接 MG ，MF ，又G 是 BE 的中点，可知 / /GM AE ，
又 AE 面 ADE ，GM 面 ADE ，所以 / /GM 平面 ADE ．
在矩形 ABCD 中，由Ｍ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点得 / /MF AD ．
又 AD 面 ADE ， MF 面 ADE ，所以 / /MF 面 ADE ．
又因为GM MF M ，GM 面GMF ， MF 面GMF ，
所以面 / /GMF 平面 ADE ，因为GF 面GMF ，所以 / /GM 平面 ADE ．
（Ⅱ）同解法一．
考点：1、直线和平面平行的判断；2、面面平行的判断和性质；3、二面角．
15.（15 年福建文科）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）
A．8 2 2 B．11 2 2 C．14 2 2 D．15
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，且
底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为 2 ．底面积为 12 3 32
，侧
面积为则其表面积为
2+2+4+2 2=8+2 2 ，所以该几何体的表面积为11 2 2 ，故选 B．
考点：三视图和表面积．
16.（15 年福建文科）如图， AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆O 上异于 ,A B 的点， 垂直
于圆 所在的平面，且 1 ．
（Ⅰ）若 D 为线段 AC 的中点，求证 C 平面 D ；
（Ⅱ）求三棱锥 P ABC 体积的最大值；
（Ⅲ）若 2BC ，点 E 在线段 PB 上，求CE OE 的最小值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） 1
3
；（Ⅲ） 2 6
2
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）要证明 C 平面 D ，只需证明 AC 垂直于面 D 内的两条相交直
线．首先由 垂直于圆 所在的平面，可证明 C ；又 C ，D 为 C 的中
点，可证明 C D ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥 P ABC 中，高 1PO ，要使得
P ABC 体积最大，则底面 ABC 面积最大，又 2AB 是定值，故当 AB 边上的高最大，
此时高为半径，进而求三棱锥 P ABC 体积；（Ⅲ）将侧面 C 绕 旋转至平面 C ，
使之与平面 共面，此时线段 'OC 的长度即为CE OE 的最小值．
试题解析：解法一：（I）在 C 中，因为 C ， D 为 C 的中点，
所以 C D ．
又 垂直于圆 所在的平面，
所以 C ．
因为 D ，
所以 C 平面 D ．
（II）因为点 C 在圆 上，
所以当 C 时， C 到 的距离最大，且最大值为1．
又 2 ，所以 C 面积的最大值为 1 2 1 12
．
又因为三棱锥 C 的高 1 ，
故三棱锥 C 体积的最大值为 1 11 13 3
．
（III）在 中， 1 ， 90 ，
所以 2 21 1 2 ．
同理 C 2 ，所以 C C ．
在三棱锥 C 中，将侧面 C 绕 旋转至平面 C ，使之与平面 共面，如
图所示．
当 ， ， C 共线时， C 取得最小值．
又因为 ， C C ，
所以 C 垂直平分 ，
即 为 中点．
从而 2 6 2 6C C 2 2 2
，
亦即 C 的最小值为 2 6
2
．
解法二：（I）、（II）同解法一．
（III）在 中， 1 ， 90 ，
所以 45 ， 2 21 1 2 ．同理 C 2 ．
所以 C C ，所以 C 60 ．
在三棱锥 C 中，将侧面 C 绕 旋转至平面 C ，使之与平面 共面，如
图所示．
当 ， ， C 共线时， C 取得最小值．
所以在 C 中，由余弦定理得：
2C 1 2 2 1 2 cos 45 60
2 1 2 31 2 2 2 2 2 2 2
2 3 ．
从而 2 6C 2 3 2
．
所以 C 的最小值为 2 6
2
．
考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．
17.（15 年新课标 1 理科）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意
思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆
锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆
放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出
堆放斛的米约有
A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛
【答案】B
【解析】
设 圆 锥 底 面 半 径 为 r ， 则 1 2 3 84 r = 16
3r ， 所 以 米 堆 的 体 积 为
21 1 163 ( ) 54 3 3
= 320
9
，故堆放的米约为 320
9
÷1.62≈22，故选 B.
（16）18.（15 年新课标 1 理科）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几
何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，
则 r=
（A）1（B）2（C）4（D）8
【答案】B
【解析】
由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，
圆柱的高为 2r，其表面积为 2 21 4 2 2 22 r r r r r r = 2 25 4r r =16 + 20 ，解
得 r=2，故选 B.
19.（15 年新课标 2 理科）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，
则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
（A）
8
1 （B）
7
1 （C）
6
1 （D）
5
1
【答案】D
【解析】由三视图得，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，截去四面体 1 1 1A A B D ，如图所示，，
设正方体棱长为 a ，则
1 1 1
3 31 1 1
3 2 6A A B DV a a ，故剩余几何体体积为 3 3 31 5
6 6a a a ，
所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为
5
1 ．
20.(15 年新课标 2 理科) 已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，
若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC 的体积最
大，设球O 的半径为 R ，此时 2 31 1 1 363 2 6O ABC C AOBV V R R R ，故 6R ，则
球O 的表面积为
24 144S R ，故选 C．
21.（15 年新课标 2 理科）如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB = 16，BC = 10，AA1
= 8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E = D1F = 4，过点 E，F 的平面α与此长方体的面相
交，交线围成一个正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求直线 AF 与平面α所成的角的正弦值。
22.（15 年新课标 2 文科）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,
则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
1A.8
1B.7
1C.6
1D.5
【答案】D
【解析】
试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 1
6 ,所以截去部分体积与剩余
部分体积的比值为 1
5 ,故选 D.
考点：三视图
23.（15 年新课标 2 文科）已知 BA, 是球O 的球面上两点, 90AOB ,C 为该球面上的动
点.若三棱锥 ABCO 体积的最大值为 36,则球O 的表面积为（ ）
A. 36 B. 64 C. 144 D. 256
【答案】C
考点：球与几何体的切接.
24.（15 年新课标 2 文科）如图,长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 AB=16,BC=10, 1 8AA ,点 E,F
分别在 1 1 1 1,A B D C 上, 1 1 4.A E D F 过点 E,F 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一
个正方形.
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（II）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
【答案】（I）见试题解析（II） 9
7
或 7
9
考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积
25.（15 年陕西理科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ． 3 B ． 4 C ． 2 4
D．3 4
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为 2 ，所以
该几何体的表面积是 1 2 1 1 2 2 2 3 42
，故选 D．
考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．
26．（15 年陕西理科）如图1，在直角梯形 CD 中， D// C ， D 2
， C 1 ，
D 2 ， 是 D 的中点，是 C 与 的交点．将 沿 折起到 1 的
位置，如图 2 ．
（I）证明： CD 平面 1 C ；
（II）若平面 1 平面 CD ，求平面 1 C 与平面 1CD 夹角的余弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II） 6
3
．
试题解析：（I）在图 1 中，
因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点， BAD=
2
，所以 BE AC
即在图 2 中，BE 1OA ，BE OC
从而 BE 平面 1AOC
又 CD BE，所以 CD 平面 1AOC .
(II)由已知，平面 1A BE 平面 BCDE，又由（1）知，BE 1OA ，BE OC
所以 1AOC 为二面角 1- -CA BE 的平面角，所以 1OC 2A .
如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，
因为 1 1B= E=BC=ED=1A A , BC ED
所以 1
2 2 2 2( ,0,0),E( ,0,0),A (0,0, ),C(0, ,0),2 2 2 2B -
得 2 2BC( , ,0),2 2
-
1
2 2A C(0, , )2 2
- ， CD BE ( 2,0,0)= = - .
设平面 1BCA 的法向量 1 1 1 1( , , )n x y z=
，平面 1CDA 的法向量 2 2 2 2( , , )n x y z=
，平面 1BCA
与平面 1CDA 夹角为 ，
则 1
1 1
0
0
n BC
n AC
，得 1 1
1 1
0
0
x y
y z
，取 1 (1,1,1)n =
，
2
2 1
0
0
n CD
n AC
，得 2
2 2
0
0
x
y z
，取 2 (0,1,1)n
，
从而 1 2
2 6cos | cos , | 33 2
n n
，
即平面 1BCA 与平面 1CDA 夹角的余弦值为 6
3
.
考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.
27.（15 年陕西文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A．3 B． 4 C． 2 4 D．3 4
【答案】 D
【解析】
试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，
所以该几何体的表面积为 211 2 1 2 2 2 3 42
，故答案选 D
考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.
28.（15 年陕西文科）如图 1，在直角梯形 ABCD 中，
// , ,2AD BC BAD AB BC 1
2 AD a ，E 是 AD 的中点，O 是OC 与 BE 的交点，
将 ABE 沿 BE 折起到图 2 中 1A BE 的位置，得到四棱锥 1A BCDE .
(I)证明：CD 平面 1AOC ；
(II)当平面 1A BE 平面 BCDE 时，四棱锥 1A BCDE 的体积为 36 2 ，求 a 的值.
【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a .
(II)由已知，平面 1A BE 平面 BCDE ，且平面 1A BE 平面 BCDE BE ，又由(I)知，
1AO BE ，所
以 1AO 平面 BCDE ，即 1AO 是四棱锥 1A BCDE 的高，易求得平行四边形 BCDE 面积
2S BC AB a ， 从 而 四 棱 锥 1A BCDE 的 为 3
1
1 2
3 6V S AO a ， 由
32 36 26 a ，得 6a .
(II)由已知，平面 1A BE 平面 BCDE ，
且平面 1A BE 平面 BCDE BE
又由(I)知， 1AO BE ，所以
1AO 平面 BCDE ，
即 1AO 是四棱锥 1A BCDE 的高，
由图 1 可知， 1
2 2
2 2AO AB a ，平行四边形 BCDE 面积 2S BC AB a ，
从而四棱锥 1A BCDE 的为
2 3
1
1 1 2 2
3 3 2 6V S AO a a a ，
由 32 36 26 a ，得 6a .
考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空集几何体的体积.
29.（15 年天津理科）一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为
3m .
【答案】 8
3
【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1 ，高为 2 的圆柱，两端是底
面半径为1 ，高为1 的圆锥，所以该几何体的体积 2 21 81 2 2 1 13 3V .
考点：1.三视图；2.旋转体体积.
30. （ 15 年 天 津 理 科 ） 如 图 ， 在 四 棱 柱 1 1 1 1ABCD A B C D- 中 ， 侧 棱
1A A ABCD 底面 , AB AC , 1AB = ,
1 2, 5AC AA AD CD= = = = ,且点 M 和 N 分别为 1 1C DB D和 的中点.
(I)求证： MN ABCD 平面 ；
(II)求二面角 1 1D -AC B- 的正弦值；
(III)设 E 为棱 1 1A B 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 1
3
，求线段 1EA
的长
【答案】(I)见解析； (II) 3 10
10
； (III) 7 2 .
【解析】
试题分析：以 A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 MN 的方向向量与平面 ABCD 的法
向量，两个向量的乘积等于 0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面
角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设 1 1 1A E A B ，代入线面角公式计算可解出
的值，即可求出 1A E 的长.
试题解析：如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得
(0,0,0), (0,1,0), (2,0,0), (1, 2,0)A B C D ，
1 1 1 1(0,0,2), (0,1,2), (2,0,2), (1, 2,2)A B C D ，又因为 ,M N 分别为 1B C 和 1D D 的中点，得
11, ,1 , (1, 2,1)2M N
.
(I)证明：依题意，可得 (0,0,1)n 为平面 ABCD 的一个法向量， 50, ,02MN
，
由此可得， 0MN n ，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 //MN 平面 ABCD
(II) 1 (1, 2,2), (2,0,0)AD AC ，设 1 ( , , )n x y z 为平面 1ACD 的法向量，则
1 1
1
0
0
n AD
n AC
，即 2 2 0
2 0
x y z
x
，不妨设 1z ，可得 1 (0,1,1)n ，
设 2 ( , , )n x y z 为平面 1ACB 的一个法向量，则 2 1
2
0
0
n AB
n AC
，又 1 (0,1,2)AB ，得
2 0
2 0
y z
x
，不妨设 1z ，可得 2 (0, 2,1)n
因此有 1 2
1 2
1 2
10cos , 10
n nn n
n n
，于是 1 2
3 10sin , 10n n ，
所以二面角 1 1D AC B 的正弦值为 3 10
10
.
(III)依题意，可设 1 1 1A E A B ，其中 [0,1] ，则 (0, ,2)E ，从而 ( 1, 2,1)NE ，
又 (0,0,1)n 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得
2 2 2
1 1cos , 3( 1) ( 2) 1
NE nNE n
NE n
，整理得 2 4 3 0 ，
又因为 [0,1] ，解得 7 2 ，
所以线段 1A E 的长为 7 2 .
考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向
量的应用.
31.（15 年天津文科）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为
3m .
【答案】 8π
3
【解析】
试题分析：该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 圆柱组合而成,所以该几何体的体
积为 31 8π2 π 1 π 2 (m )3 3
.
考点：1.三视图；2.几何体的体积.
32. （ 15 年 天 津 文 科 ） 如 图 , 已 知 1AA 平 面 ABC, 1 1,BB AA
AB=AC=3, 12 5, 7BC AA ,, 1 2 7,BB 点 E,F 分别是 BC, 1AC 的中点.
（I）求证：EF 平面 1 1A B BA ；
（II）求证：平面 1AEA 平面 1BCB .
（III）求直线 1 1A B 与平面 1BCB 所成角的大小.
【答案】（I）见试题解析；（II）见试题解析；（III）30 .
【解析】
试题分析：（I）要证明 EF 平面 1 1A B BA , 只需证明 1EF BA 且 EF 平面 1 1A B BA ；（II）
要证明平面 1AEA 平面 1BCB ,可证明 AE BC , 1BB AE ；（III）取 1B C 中点 N,连接
1A N , 则 1 1A B N 就 是 直 线 1 1A B 与 平 面 1BCB 所 成 角 ,Rt△ 1 1A NB 中 , 由
1
1 1
1
1sin ,2
A NA B N A B
得直线 1 1A B 与平面 1BCB 所成角为30 .
试题解析：（I）证明：如图,连接 1A B ,在△ 1A BC 中,因为 E 和 F 分别是 BC, 1AC 的中点,所以
1EF BA ,又因为 EF 平面 1 1A B BA , 所以 EF 平面 1 1A B BA .
（II）因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 AE BC ,因为 1AA 平面 ABC, 1 1,BB AA 所以 1BB
平面 ABC,从而 1BB AE ,又 1BC BB B ,所以 AE 平面 1BCB ,又因为 AE 平面
1AEA ,所以平面 1AEA 平面 1BCB .
考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角
33.(15 年浙江文科)
34.（15 年湖南理科）某工件的三视图如图 3 所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积
尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利
用率为（材料利用率= 新工件的体积
原工件的体积 ）（ ）
A. 8
9 B. 16
9 C.
34( 2 1)
D.
312( 2 1)
【答案】A.
考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.
35.（15 年山东理科）在梯形 ABCD 中，
2ABC , / /AD BC , 2 2 2BC AD AB .
将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
(A) 2
3
(B) 4
3
(C) 5
3
(D) 2
解析： 2 21 51 2 1 13 3V ，答案选(C)
36.（15 年山东理科）设 2( ) sin cos cos ( )4f x x x x
（Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , , .a b c 若 ( ) 0, 1,2
Af a 求 ABC 面积
的最大值.
解：（Ⅰ）由 1 1 1 1 1 1( ) sin 2 [1 cos(2 )] sin 2 sin 2 sin 22 2 2 2 2 2 2f x x x x x x
由 2 2 2 ,2 2k x k k Z 得 ,4 4k x k k Z ，
则 ( )f x 的递增区间为[ , ],4 4k k k Z ；
由 32 2 2 ,2 2k x k k Z 得 3 ,4 4k x k k Z ，
则 ( )f x 的递增区间为 3[ , ],4 4k k k Z .
（Ⅱ）在锐角 ABC 中， 1 1( ) sin 0,sin2 2 2
Af A A ,
6A ,而 1,a
由余弦定理可得 2 21 2 cos 2 3 (2 3)6b c bc bc bc bc ，当且仅当b c 时等号
成立，即 1 2 3
2 3
bc
， 1 1 1 2 3sin sin2 2 6 4 4ABCS bc A bc bc
，
故 ABC 面积的最大值为 2 3
4
.
37.（15 年山东理科）如图，在三棱台 DEF ABC 中，
2 , ,AB DE G H 分别为 ,AC BC 的中点.
（Ⅰ）求证： / /BD 平面 FGH ；
（Ⅱ）若CF 平面 ABC , , , 45 ,AB BC CF DE BAC
求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小.
解：（Ⅰ）证明：连接 DG，DC，设 DC 与 GF 交于点 T.
在三棱台 DEF ABC 中， 2 ,AB DE 则 2 ,AC DF
T
FD
E
A G
B
H
C
而 G 是 AC 的中点，DF//AC，则 / /DF GC ,
所以四边形 DGCF 是平行四边形,T 是 DC 的中点，DG//FC.
又在 BDC ,H 是 BC 的中点，则 TH//DB，
又 BD 平面 FGH ，TH 平面 FGH ，故 / /BD 平面 FGH ；
（Ⅱ）由CF 平面 ABC ,可得 DG 平面 ABC 而 , 45 ,AB BC BAC
则GB AC ,于是 , ,GB GA GC 两两垂直，
以点 G 为坐标原点， , ,GA GB GC 所在的直线
分别为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系，
设 2AB ,则 1, 2 2, 2DE CF AC AG ,
2 2(0, 2,0), ( 2,0,0), ( 2,0,1), ( , ,0)2 2B C F H ，
则平面 ACFD 的一个法向量为 1 (0,1,0)n ，
设平面 FGH 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z ，则 2
2
0
0
n GH
n GF
,即 2 2
2 2
2 2 02 2
2 0
x y
x z
，
取 2 1x ，则 2 21, 2y z ， 2 (1,1, 2)n ，
1 2
1 1cos , 21 1 2
n n
，故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角（锐角）的大小为 60 .
38.（15 年江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8
的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与
圆柱各一个，则新的底面半径为
【答案】 7
【解析】
试题分析：由体积相等得： 2 2 2 21 14 5 + 2 8= 4 8 73 3 r r r
考点：圆柱及圆锥体积
39.（15 年江苏）如图，在直三棱柱 111 CBAABC 中，已知 BCAC ， 1CCBC ，
设 1AB 的中点为 D ，
z
x
y
FD
E
A G
B
H
C
EBCCB 11 .求证：（1） CCAADE 11// 平面 ；[来源:学科网]
（2） 11 ABBC .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）由三棱锥性质知侧面 1 1BB C C 为平行四边形,因此点 E 为 1BC 的中点，从而由
三角形中位线性质得 / /DE AC ，再由线面平行判定定理得 CCAADE 11// 平面 （2）因为直
三棱柱 111 CBAABC 中 1CCBC ，所以侧面 1 1BB C C 为正方形，因此 1 1BC B C ，又
BCAC ， 1AC CC （可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得 1 1AC BB C C 平面 ,
从而 1AC BC ，再由线面垂直判定定理得 1 1BC AB C 平面 ,进而可得 11 ABBC
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理
40.（15 年江苏）如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且四边形
ABCD 为直角梯
形，
2ABC BAD , 2, 1PA AD AB BC
（1）求平面 PAB 与平面 PCD所成二面角的余弦值；
（2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长
P
A
B C
D
Q
【答案】（1） 3
3
（2） 2 5
5
考点：空间向量、二面角、异面直线所成角
专题十五 点、线、面的位置关系
1.（15 年安徽文科）直线 3x+4y=b 与圆 2 2 2 2 1 0x y x y 相切，则 b=( )
（A）-2 或 12 （B）2 或-12 （C）-2 或-12 （D）2 或 12
【答案】D
【解析】
试题分析：∵直线 byx 43 与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴
22 43
43
b ＝1 2b
或 12,
故选 D.
考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离公式.
专题十六 平面几何初步
1.（15 北京文科）圆心为 1,1 且过原点的圆的方程是（ ）
A． 2 21 1 1x y B． 2 21 1 1x y
C． 2 21 1 2x y D． 2 21 1 2x y
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可得圆的半径为 2r ，则圆的标准方程为 2 21 1 2x y .
考点：圆的标准方程.
2.（15 年广东理科）平行于直线 012 yx 且与圆 522 yx 相切的直线的方程是
A． 052 yx 或 052 yx B. 052 yx 或 052 yx
C. 052 yx 或 052 yx D. 052 yx 或 052 yx
【答案】 D ．
【考点定位】本题考查直线与圆的位置关系，属于容易题．
3.（15 年新课标 2 文科）已知三点 (1,0), (0, 3), (2, 3)A B C ,则△ ABC 外接圆的圆心到原
点的距离为（ ）
5A.3
21B. 3
2 5C. 3
4D. 3
【答案】B
考点：直线与圆的方程.
4.（15 年新课标 2 文科）已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为 2
2 ,点 2, 2 在
C 上.
（I）求 C 的方程；
（II）直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明：
直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.
【答案】（I）
2 2
2 2 18 4
x y （II）见试题解析
考点：直线与椭圆
5.（15 年陕西理科）设曲线 xy e 在点（0,1）处的切线与曲线 1 ( 0)y xx
上点 p 处的切
线垂直，则 p 的坐标
为 ．
【答案】 1,1
【解析】
试题分析：因为 xy e ，所以 xy e ，所以曲线 xy e 在点 0,1 处的切线的斜率
0
1 0 1xk y e ，设 的坐标为 0 0,x y （ 0 0x ），则 0
0
1y x
，因为 1y x
，所以
2
1y x
，所以曲线 1y x
在点 处的切线的斜率
02 2
0
1
x xk y x ，因为 1 2 1k k ，
所以 2
0
1 1x
，即 2
0 1x ，解得 0 1x ，因为 0 0x ，所以 0 1x ，所以 0 1y ，即 的
坐标是 1,1 ，所以答案应填： 1,1 ．
考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．
6.（15 年天津理科）如图，在圆O 中， ,M N 是弦 AB 的三等分点，弦 ,CD CE 分别经
过点 ,M N .若 2, 4, 3CM MD CN ，则线段 NE 的长为
（A） 8
3
（B）3 （C）10
3
（D） 5
2
【答案】A
【解析】
试题分析：由相交弦定理可知， ,AM MB CM MD CN NE AN NB ，又因为 ,M N
是 弦 AB 的 三 等 分 点 ， 所 以 AM MB AN NB CN NE CM MD ， 所 以
2 4 8
3 3
CM MDNE CN
，故选 A.
考点：相交弦定理.
7.（15 年天津文科）如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若
CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为（ ）
(A) 8
3 (B) 3 (C) 10
3 (D) 5
2
【答案】A
【解析】
试题分析：由相交弦定理可
1 8 ,3 3
CM MDCM MD CN NE AB AB NE CN
故选 A.
考点：相交弦定理
8.（15 年天津文科）已知椭圆
2 2
2 2 1(a b 0)x y
a b
+ = > > 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 5
5 ,
（I）求直线 BF 的斜率；
（II）设直线 BF 与椭圆交于点 P（P 异于点 B）,故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q
（Q 异于点 B）直线 PQ 与 x 轴交于点 M,| |= | |PM MQl .
（i）求 l 的值；
（ii）若 7 5| |sin = 9PM BQPÐ ,求椭圆的方程.
【答案】（I）2；（II）（i） 7
8
；（ii）
2 2
1.5 4
x y
【解析】
试 题 分 析 ：（ I ） 先 由 5
5
c
a
及 2 2 2 ,a b c 得 5 , 2a c b c , 直 线 BF 的 斜 率
0 20
b bk c c
；（II）先把直线 BF,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点 P,Q 横坐标,可得
PM
MQ
7 .8
M P P
Q M Q
x x x
x x x
（ ii ） 先 由 7 5| |sin = 9PM BQPÐ 得
=| |sinBP PQ BQPÐ =15 5 5| |sin7 3PM BQPÐ = ,由此求出 c=1,故椭圆方程为
2 2
1.5 4
x y
试题解析：（I） ,0F c ,由已知 5
5
c
a
及 2 2 2 ,a b c 可得 5 , 2a c b c ,又因为
0,B b ,故直线 BF 的斜率
0 20
b bk c c
.
（II）设点 , , , , ,P P Q Q M MP x y Q x y M x y ,（i）由（I）可得椭圆方程为
2 2
2 2 1,5 4
x y
c c
直线 BF 的方程为 2 2y x c ,两方程联立消去 y 得 23 5 0,x cx 解得 5
3P
cx .因为
BQ BP ,所以直线BQ 方程为 1 22y x c ,与椭圆方程联立消去y 得 221 40 0x cx ,
解得 40
21Q
cx .又因为 PM
MQ
,及 0Mx 得 7 .8
M P P
Q M Q
x x x
x x x
（ii）由（i）得 7
8
PM
MQ
,所以 7 7
7 8 15
PM
PM MQ
,即 15
7PQ PM ,又因为
7 5| |sin = 9PM BQPÐ ,所以 =| |sinBP PQ BQPÐ =15 5 5| |sin7 3PM BQPÐ = .
又 因 为 42 2 3P Py x c c , 所 以
2 25 4 5 50 23 3 3
c cBP c c
, 因 此
5 5 5 5 , 1,3 3c c 所以椭圆方程为
2 2
1.5 4
x y
考点：直线与椭圆.
9.（15 年湖南理科）
10.（15 年山东理科）一条光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 2 2( 3) ( 2) 1x y 相
切，则反射光线所在的直线的斜率为
(A) 5
3
或 3
5
(B) 3
2
或 3
2
(C) 5
4
或 4
5
(D) 4
3
或
3
4
解析： ( 2, 3) 关于 y 轴对称点的坐标为 (2, 3) ，设反射光线所在直线为 3 ( 2),y k x 即
2 3 0kx y k ，则 2
2
| 3 2 2 3| 1,|5 5| 1
1
k kd k k
k
，解得 4
3k 或 3
4
，答案选(D)
11.（15 年江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，以点 )0,1( 为圆心且与直线
)(012 Rmmymx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为
【答案】 2 2( 1) 2.x y
考点：直线与圆位置关系
专题十七 圆锥曲线与方程
1.（15 北京理科）已知双曲线
2
2
2 1 0x y aa
的一条渐近线为 3 0x y ，则 a
．
【答案】 3
3
考点：双曲线的几何性质
2.（15 北京理科）已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 2
2
，点 0 1P ， 和点
A m n， 0m≠ 都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m ， n 表示）；
（Ⅱ）设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N ．问： y 轴上是
否存在点 Q ，使得 OQM ONQ ？若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】
【解析】
试题分析：椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 2
2
，点 0 1P ， 在椭圆上，利用
条件列方程组，解出待定系数 2 22, 1a b ，写出椭圆方程；由点 0 1P ， 和点
A m n， 0m≠ ，写出 PA 直线方程，令 0y 求出 x 值，写出直线与 x 轴交点坐标；
由点 (0,1), ( , )P B m n ，写出直线 PB 的方程，令 0y 求出 x 值，写出点 N 的坐标，
设 0(0, )Q y ， , tan tanOQM ONQ OQM ONQ 求出tan OQM 和
tan ONQ ，利用二者相等，求出 0 2y ，则存在点 Q（0， 2） 使得
OQM ONQ .
试题解析：（Ⅰ）由于椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
过点 0 1P ， 且离心率为 2
2
，
2
2
1 1, 1,b
b
2
2
2
ce
a
2 2
2 2
1 11 2
a b
a a
， 2 2a ，椭圆 C 的方程为
2
2 12
x y .
(0,1), ( , )P A m n ,直线 PA 的方程为： 1 1ny xm
，令 0, 1
my x n
，
( ,0)1
mM n
；
考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.
3.（15 北京文科）已知 2,0 是双曲线
2
2
2 1yx b
（ 0b ）的一个焦点，则b ．
【答案】 3
【解析】
试题分析：由题意知 2, 1c a ， 2 2 2 3b c a ，所以 3b .
考点：双曲线的焦点.
4.（15 北京文科）已知椭圆 C: 2 23 3x y ，过点 D 1,0 且不过点 2,1 的直线与椭圆 C
交于 ， 两点，直线 与直线 3x 交于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；
（Ⅱ）若 垂直于 x 轴，求直线 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 与直线 D 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1） 6
3
；（2）1；（3）直线 BM 与直线 DE 平行.
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等
基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先将椭圆
方程化为标准方程，得到 a，b，c 的值，再利用 ce a
计算离心率；第二问，由直线 AB 的
特殊位置，设出 A，B 点坐标，设出直线 AE 的方程，由于直线 AE 与 x=3 相交于 M 点，所
以得到 M 点坐标，利用点 B、点 M 的坐标，求直线 BM 的斜率；第三问，分直线 AB 的斜
率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先
设出直线 AB 和直线 AE 的方程，将椭圆方程与直线 AB 的方程联立，消参，得到 1 2x x 和
1 2x x ，代入到 1BMk 中，只需计算出等于 0 即可证明 BM DEk k ，即两直线平行.
试题解析：（Ⅰ）椭圆 C 的标准方程为
2
2 13
x y .
所以 3a ， 1b ， 2c .
所以椭圆 C 的离心率 6
3
ce a
.
（Ⅱ）因为 AB 过点 (1,0)D 且垂直于 x 轴，所以可设 1(1, )A y ， 1(1, )B y .
直线 AE 的方程为 11 (1 )( 2)y y x .
令 3x ，得 1(3,2 )M y .
所以直线 BM 的斜率 1 12 13 1BM
y yk .
（Ⅲ）直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下：
当直线 AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 1BMk .
又因为直线 DE 的斜率 1 0 12 1DEk
，所以 / /BM DE .
当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 ( 1)( 1)y k x k .
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则直线 AE 的方程为 1
1
11 ( 2)2
yy xx
.
令 3x ，得点 1 1
1
3(3, )2
y xM x
.
由
2 23 3
( 1)
x y
y k x
，得 2 2 2 2(1 3 ) 6 3 3 0k x k x k .
所以
2
1 2 2
6
1 3
kx x k
，
2
1 2 2
3 3
1 3
kx x k
.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.
5.（15 年广东理科）已知双曲线C ： 12
2
2
2
b
y
a
x 的离心率 5
4e ，且其右焦点 2 5,0F ，
则双曲线C 的方程为
A． 134
22
yx B. 1916
22
yx C. 1169
22
yx D. 143
22
yx
【答案】 B ．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为 2 5,0F 且离心率为 5
4
ce a
，所以 5c ， 4a ，
2 2 2 9b c a 所以所求双曲线方程为
2 2
116 9
x y ，故选 B ．
【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题．
6.（15 年广东理科）已知过原点的动直线l 与圆 2 2
1 : 6 5 0C x y x+ - + = 相交于不同的两
点 A ， B .
（1）求圆 1C 的圆心坐标；
（2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹C 的方程；
（3）是否存在实数 k ，使得直线 : ( 4)L y k x= - 与曲线C 只有一个交点：若存在，求出
k 的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1） 3,0 ；（2）
2
23 9 5 32 4 3x y x
；（3） 3 3 2 5 2 5, ,4 4 7 7k
．
【解析】（1）由 2 2 6 5 0x y x 得 2 23 4x y ，
∴ 圆 1C 的圆心坐标为 3,0 ；
（2）设 ,M x y ，则
∵ 点 M 为弦 AB 中点即 1C M AB ，
∴
1
1C M ABk k 即 13
y y
x x
，
∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为
2
23 9 5 32 4 3x y x
；
（3）由（2）知点 M 的轨迹是以 3 ,02C
为圆心 3
2r 为半径的部分圆弧 EF（如下图所示，
不包括两端点），且 5 2 5,3 3E
， 5 2 5,3 3F
，又直线 L ： 4y k x 过定点 4,0D ，
当 直 线 L 与 圆 C 相 切 时 ， 由
2 2
3 4 02 3
21
k
k
得 3
4k ， 又
2 50 3 2 5
5 74 3
DE DFk k
，结合上图可知当 3 3 2 5 2 5, ,4 4 7 7k
时，直
线 L ： 4y k x 与曲线 C 只有一个交点．
L
D
x
y
O C
E
F
【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，
属于中高档题．
6.（15 年广东文科）已知椭圆
2 2
2 125
x y
m
（ 0m ）的左焦点为 1F 4,0 ，则 m （ ）
A．9 B． 4 C．3 D． 2
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得： 2 225 4 9m ，因为 0m ，所以 3m ，故选 C．
考点：椭圆的简单几何性质．
7.（15 年安徽理科）设椭圆 E 的方程为
2 2
2 2 1 0x y a ba b
，点 O 为坐标原点，点 A
的坐标为 0a， ，点 B 的坐标为 0 b， ，点 M 在线段 AB 上，满足 2BM MA ，直线
OM 的斜率为 5
10
.
（I）求 E 的离心率 e；
（II）设点 C 的坐标为 0 b， ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐
标为 7
2
，求 E 的方程.
8.（15 年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为 2y x 的是( )
（A）
2
2 14
yx （B）
2
2 14
x y
（C）
2
2 12
yx （D）
2
2 12
x y
【答案】A
【解析】
试题分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 xy 2 ，故选 A.
考点：渐近线方程.
9.（15 年安徽文科）设椭圆 E 的方程为
2 2
2 2 1( 0),x y a ba b
点 O 为坐标原点，点 A 的
坐标为 ( ,0)a ,点 B 的坐标为（0，b）,点 M 在线段 AB 上，满足 2 ,BM MA 直线 OM 的
斜率为 5
10
。[学优高考网]
（1）求 E 的离心率 e;
(2)设点 C 的坐标为（0，-b）,N 为线段 AC 的中点，证明：MN AB。
【答案】（1） 2 5
5
（2）详见解析.
∴
a
b
3
2
3
1
＝
5
52
5
4
5
1
5
1
10
5
2
2
2
22
2
2
ea
c
a
ca
a
b
（Ⅱ）由题意可知 N 点的坐标为（
2,2
ba ）
∴
a
b
a
b
aa
bb
K MN
5
6
6
5
23
2
2
1
3
1
a
bK AB
∴ 15
2
2
a
bKK ABMN
∴MN⊥AB
考点：1 椭圆的离心率；2.直线与椭圆的位置关系.
10.（15 年福建理科）若双曲线
2 2
: 19 16
x yE 的左、右焦点分别为 1 2,F F ，点 P 在双曲线
E 上，且 1 3PF ，则 2PF 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：由双曲线定义得 1 2 2 6PF PF a ，即 23 6PF ，解得 2 9PF ，故
选 B．
考点：双曲线的标准方程和定义．
11.（15 年福建理科）已知椭圆 E：
2 2
2 2 1(a 0)x y ba b
+ = > > 过点 (0, 2），且离心率为 2
2
．
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程；
(Ⅱ)设直线 1x my m R= - Î，( )交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9( 4
- ,0)与以线段 AB 为
直径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】(Ⅰ)
2 2
14 2
x y+ = ；(Ⅱ) G 9( 4
- ,0)在以 AB 为直径的圆外．
G 在圆上．
试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得
2 2 2
2,
2 ,2
,
b
c
a
a b c
ì =ïïï =íïï = +ïî
解得
2
2
2
a
b
c
ì =ïï =íïï =î
所以椭圆 E 的方程为
2 2
14 2
x y+ = ．
故
2 2 2 2
2 2
0 1 2 2 2 2
|AB| 5 25 5 3(m +1) 25 17 2|GH| my (m +1) y 04 2 16 2(m 2) m 2 16 16(m 2)
m my +- = + + = - + = >+ + +
所以 |AB||GH|> 2
，故 G 9( 4
- ,0)在以 AB 为直径的圆外．
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设点 1 1 2 2( y ),B( , y ),A x x ，则 1 1 2 2
9 9GA ( , ),GB ( , ).4 4x y x y= + = +
由 2 22 2
1
(m 2) y 2 3 0,
14 2
x my
myx y
ì = -ïï + - - =íï + =ïî
得 所以 1 2 1 22 2
2 3y + y = , y y =m 2 m 2
m
+ + ，
从而 1 2 1 2 1 2 1 2
9 9 5 5GA GB ( )( ) (my )(my )4 4 4 4x x y y y y= + + + = + + +
2 2
2
1 2 1 2 2 2
5 25 5 3(m +1) 25(m +1) y ( y )4 16 2(m 2) m 2 16
my m y= + + + = - ++ +
2
2
17 2 016(m 2)
m += >+
所以 cos GA,GB 0, GA GB狁 > 又 ， 不共线，所以 AGBÐ 为锐角.
故点 G 9( 4
- ,0)在以 AB 为直径的圆外．
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．
12.（15 年福建文科）已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
的右焦点为 F ．短轴的一个端点
为 M ，直线 :3 4 0l x y 交椭圆 E 于 ,A B 两点．若 4AF BF ，点 M 到直线l 的距
离不小于 4
5
，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． 3(0, ]2 B． 3(0, ]4 C． 3[ ,1)2 D． 3[ ,1)4
【答案】A
考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．
13.（15 年福建文科）已知点 F 为抛物线 2: 2 ( 0)E y px p 的焦点，点 (2, )A m 在抛物线
E 上，且 3AF ．
（Ⅰ）求抛物线 E 的方程；
（Ⅱ）已知点 ( 1,0)G ，延长 AF 交抛物线 E 于点 B ，证明：以点 F 为圆心且与直线GA
相切的圆，必与直线GB 相切．
【答案】（Ⅰ） 2 4y x ；（Ⅱ）详见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本
题由 3AF 可得 2 32
p ，可求 p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点 F 为
圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线 GB 相切．可证明点 F 到直线GA 和直线GB 的距离
相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明 GF GF ，可转化为证明两条直线
的斜率互为相反数．
试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得 F 2 2
p ．
因为 F 3 ，即 2 32
p ，解得 2p ，所以抛物线 的方程为 2 4y x ．
（II）因为点 2,m 在抛物线 : 2 4y x 上，
所以 2 2m ，由抛物线的对称性，不妨设 2,2 2 ．
由 2,2 2 ， F 1,0 可得直线 F 的方程为 2 2 1y x ．
由
2
2 2 1
4
y x
y x
，得 22 5 2 0x x ，
解得 2x 或 1
2x ，从而 1 , 22
．
又 G 1,0 ，
所以 G
2 2 0 2 2
2 1 3k
，
G
2 0 2 2
1 312
k
，
所以 G G 0k k ，从而 GF GF ，这表明点 F 到直线 G ， G 的距离相等，
故以 F 为圆心且与直线 G 相切的圆必与直线 G 相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）设以点 F 为圆心且与直线 G 相切的圆的半径为 r ．
因为点 2,m 在抛物线 : 2 4y x 上，
所以 2 2m ，由抛物线的对称性，不妨设 2,2 2 ．
由 2,2 2 ， F 1,0 可得直线 F 的方程为 2 2 1y x ．
由
2
2 2 1
4
y x
y x
，得 22 5 2 0x x ，
解得 2x 或 1
2x ，从而 1 , 22
．
又 G 1,0 ，故直线 G 的方程为 2 2 3 2 2 0x y ，
从而
2 2 2 2 4 2
8 9 17
r
．
又直线 G 的方程为 2 2 3 2 2 0x y ，
所以点 F 到直线 G 的距离
2 2 2 2 4 2
8 9 17
d r
．
这表明以点 F 为圆心且与直线 G 相切的圆必与直线 G 相切．
考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．
14.（15 年新课标 1 理科）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，
则该圆的标准方程为 。
【答案】 2 23 25( )2 4x y
【解析】设圆心为（a ，0），则半径为 4 | |a ，则 2 2 2(4 | |) | | 2a a ，解得 3
2a ，
故圆的方程为 2 23 25( )2 4x y .
15.（15 年新课标 2 理科）过三点 A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圆交于 y 轴于 M、N 两点，
则 MN =
（A）2 6 （B）8 （C）4 6 （D）10
【答案】C
16.（15 年新课标 2 理科）已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等
腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为
（A）√5 （B）2 （C）√3 （D）√2
【答案】D
17.（15 年新课标 2 理科）已知椭圆 C： 2 2 29 ( 0)x y m m ，直线 l 不过原点 O 且不
平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M。
（1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；
（2）若 l 过点 ( , )3
m m ，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？
若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。
18.（15 年新课标 2 文科）已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 1
2y x ,则该双曲线
的标准方程为 ．
【答案】
2
2 14
x y
考点：双曲线几何性质
19.（15 年陕西理科）若抛物线 2 2 ( 0)y px p 的准线经过双曲线 2 2 1x y 的一个焦点，
则 p= ．
【答案】 2 2
考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．
20.（15 年陕西理科）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界
呈抛物线型（图中虚线表
示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】1.2
【解析】
试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：
原始的最大流量是 1 10 10 2 2 2 162
，设抛物线的方程为 2 2x py （ 0p ），
因为该抛物线过点 5,2 ，所以 22 2 5p ，解得 25
4p ，所以 2 25
2x y ，即 22
25y x ，
所以当前最大流量是
5 32 3 5 3
55
2 2 2 2 402 2 2 5 5 2 5 525 75 75 75 3x dx x x
，
故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 16 1.240
3
，所以答案应填：1.2 ．
考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
21.（15 年陕西理科）已知椭圆 :
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的半焦距为 c ，原点 到经过
两点
,0c ， 0,b 的直线的距离为 1
2 c ．
（I）求椭圆 的离心率；
（II）如图， 是圆 : 2 2 52 1 2x y 的一条直径，若椭圆 经过 ， 两点，
求椭圆 的方
程．
【答案】（I） 3
2
；（II）
2 2
112 3
x y ．
【解析】
试题分析：（I）先写过点 ,0c ， 0,b 的直线方程，再计算原点 到该直线的距离，进而
可得椭圆 的离心率；（II）先由（I）知椭圆 的方程，设 的方程，联立
2 2 2
2 1
4 4
y k x
x y b
，
消去 y ，可得 1 2x x 和 1 2x x 的值，进而可得 k ，再利用 10 可得 2b 的值，进而可
得椭圆 的方程．
试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为 0bx cy bc+ - = ，
则原点 O 到直线的距离
2 2
bc bcd ab c
，
由 1
2d c= ，得 2 22 2a b a c= = - ，解得离心率 3
2
c
a
= .
(II)解法一：由（I）知，椭圆 E 的方程为 2 2 24 4x y b+ = . (1)
依题意，圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点，且| AB | 10= .
易知，AB 不与 x 轴垂直，设其直线方程为 ( 2) 1y k x= + + ，代入(1)得
2 2 2 2(1 4 ) 8 (2 1) 4(2 1) 4 0k x k k x k b+ + + + + - =
设 1 1 2 2( , y ),B( , y ),A x x 则
2 2
1 2 1 22 2
8 (2 1) 4(2 1) 4, .1 4 1 4
k k k bx x x xk k
+ + -+ = - = -+ +
由 1 2 4x x+ = - ，得 2
8 (2 1) 4,1 4
k k
k
+- = -+ 解得 1
2k = .
从而 2
1 2 8 2x x b= - .
于是
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 5| AB | 1 | | 4 10( 2)2 2x x x x x x b
.
由| AB | 10= ，得 210( 2) 10b - = ，解得 2 3b = .
故椭圆 E 的方程为
2 2
112 3
x y+ = .
解法二：由（I）知，椭圆 E 的方程为 2 2 24 4x y b+ = . (2)
依题意，点 A，B 关于圆心 M(-2,1)对称，且| AB | 10= .
设 1 1 2 2( , y ),B( , y ),A x x 则 2 2 2
1 14 4x y b+ = ， 2 2 2
2 24 4x y b+ = ，
两式相减并结合 1 2 1 24, y 2,x x y+ = - + = 得 ( )1 2 1 2-4( ) 8 0x x y y- + - = .
易知，AB 不与 x 轴垂直，则 1 2x x ，所以 AB 的斜率 1 2
1 2
1k .2AB
y y
x x
-= =-
因此 AB 直线方程为 1 ( 2) 12y x= + + ，代入(2)得 2 24 8 2 0.x x b+ + - =
所以 1 2 4x x+ = - ， 2
1 2 8 2x x b= - .
于是
2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 5| AB | 1 | | 4 10( 2)2 2x x x x x x b
.
由| AB | 10= ，得 210( 2) 10b - = ，解得 2 3b = .
故椭圆 E 的方程为
2 2
112 3
x y+ = .
考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；
5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.
22.（15 年陕西文科）已知抛物线 2 2 ( 0)y px p 的准线经过点 ( 1,1) ，则抛物线焦点坐
标为（ ）
A． ( 1,0) B． (1,0) C． (0, 1) D． (0,1)
【答案】 B
【解析】
试题分析：由抛物线 2 2 ( 0)y px p 得准线
2
px ，因为准线经过点 ( 1,1) ，所以 2p ，
所以抛物线焦点坐标为 (1,0) ，故答案选 B
考点：抛物线方程.
23.（15 年陕西文科）如图，椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
经过点 (0, 1)A ，且离心率为
2
2 .
(I)求椭圆 E 的方程；
(II)经过点 (1,1) ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 ,P Q（均异于点 A ），证明：
直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.
【答案】(I)
2
2 12
x y ； (II)证明略，详见解析.
【解析】
试题分析：(I)由题意知 2 , 12
c ba
，由 2 2 2a b c ，解得 2a ，继而得椭圆的方程
为
2
2 12
x y ；
(II) 设 1 1 2 2,P x y Q x y ， 1 2 0x x 由题设知，直线 PQ 的方程为 ( 1) 1( 2)y k x k ，
代入
2
2 12
x y ， 化 简 得 2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k ， 则
1 2 1 22 2
4 ( 1) 2 ( 2),1 2 1 2
k k k kx x x xk k
，
由 已 知 0 ， 从 而 直 线 AP 与 AQ 的 斜 率 之 和
1 2 1 2
1 2 1 1
1 1 2 2
AP AQ
y y kx k kx kk k x x x x
化简得 1 2
1 2
2 (2 )AP AQ
x xk k k k x x
4 ( 1)2 2 2 (2 1) 22 ( 2)
k kk k k kk k
.
试题解析：(I)由题意知 2 , 12
c ba
，
综合 2 2 2a b c ，解得 2a ，
所以，椭圆的方程为
2
2 12
x y .
(II)由题设知，直线 PQ 的方程为 ( 1) 1( 2)y k x k ，代入
2
2 12
x y ，得
2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2 ( 2) 0k x k k x k k ，
由已知 0 ，设 1 1 2 2,P x y Q x y ， 1 2 0x x
则 1 2 1 22 2
4 ( 1) 2 ( 2),1 2 1 2
k k k kx x x xk k
，
从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和
1 2 1 2
1 2 1 1
1 1 2 2
AP AQ
y y kx k kx kk k x x x x
1 2
1 2 1 2
1 12 (2 ) 2 (2 ) x xk k k kx x x x
4 ( 1)2 2 2 (2 1) 22 ( 2)
k kk k k kk k
.
考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.
24.（15 年天津理科）已知双曲线
2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
的一条渐近线过点 2, 3 ，
且双曲线的一个焦点在抛物线 2 4 7y x 的准线上，则双曲线的方程为
（A）
2 2
121 28
x y （B）
2 2
128 21
x y （C）
2 2
13 4
x y （D）
2 2
14 3
x y
【答案】D
考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.
25.（15 年天津理科）已知椭圆
2 2
2 2+ =1( 0)x y a ba b
> > 的左焦点为 F -c（ ,0）,离心率为 3
3
，
点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆
4
2 2+ 4
bx y = 截得的线段的长为c， 4 3|FM|= 3
.
(I)求直线 FM 的斜率；
(II)求椭圆的方程；
(III)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的
取值范围.
【答案】(I) 3
3
； (II)
2 2
13 2
x y ；(III) 2 3 2 2 3, ,3 3 3
.
【解析】
试题分析：(I) 由椭圆知识先求出 , ,a b c 的关系，设直线直线 FM 的方程为 ( )y k x c ，
求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率 k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为
2 2
2 2 13 2
x y
c c
，
直线与椭圆方程联立，求出点 M 的坐标，由 4 3
3FM 可求出 c ，从而可求椭圆方程.(III)
设出直线 FP ： ( 1)y t x ，与椭圆方程联立，求得
2
2
6 2 23( 1)
xt x
，求出 x 的范围，
即可求直线OP 的斜率的取值范围.
试题解析：(I) 由已知有
2
2
1
3
c
a
，又由 2 2 2a b c ，可得 2 23a c ， 2 22b c ，
设直线 FM 的斜率为 ( 0)k k ，则直线 FM 的方程为 ( )y k x c ，由已知有
2 2 2
2 2 21
kc c b
k
，解得 3
3k .
(II)由(I)得椭圆方程为
2 2
2 2 13 2
x y
c c
，直线 FM 的方程为 ( )y k x c ，两个方程联立，消
去 y ，整理得
2 23 2 5 0x cx c ，解得 5
3x c 或 x c ，因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为
2 3, 3c c
，由
2
2 2 3 4 3( ) 03 3FM c c c
，解得 1c ，所以椭圆方程为
2 2
13 2
x y
(III)设点 P 的坐标为 ( , )x y ，直线 FP 的斜率为 t ，得
1
yt x
，即 ( 1)y t x ( 1)x ,
与椭圆方程联立 2 2
( 1)
13 2
y t x
x y
，消去 y ，整理得 2 2 22 3 ( 1) 6x t x ，又由已知，得
2
2
6 2 23( 1)
xt x
，解得
3 12 x 或 1 0x ，
设直线OP 的斜率为 m ，得 ym x
，即 ( 0)y mx x ，与椭圆方程联立，整理可得
2
2
2 2
3m x
.
①当 3 , 12x
时，有 ( 1) 0y t x ，因此 0m ，于是 2
2 2
3m x
，得
2 2 3,3 3m
②当 1,0x 时，有 ( 1) 0y t x ，因此 0m ，于是 2
2 2
3m x
，得
2 3, 3m
综上，直线OP 的斜率的取值范围是 2 3 2 2 3, ,3 3 3
考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.
26.（15 年天津文科）已知双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
- = > > 的一个焦点为 (2,0)F ,且双曲线
的渐近线与圆( )2 22 y 3x - + = 相切,则双曲线的方程为（ ）
(A)
2 2
19 13
x y- = (B)
2 2
113 9
x y- = (C)
2
2 13
x y- = (D)
2
2 13
yx - =
【答案】D
考点：圆与双曲线的性质.
27.（15 年湖南理科）
28.（15 年山东理科）平面直角坐标系 xOy 中，双曲线
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的渐近
线与抛物线 2
2 : 2 ( 0)C x py p 交于点 , ,O A B ，若 OAB 的垂心为 2C 的焦点，则 1C 的
离心率为 .
解析：
2 2
1 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的渐近线为 by xa
，则
2 2
2 2
2 2 2 2( , ), ( , )pb pb pb pbA Ba a a a
2
2 : 2 ( 0)C x py p 的焦点 (0, )2
pF ，则
2
2
2
2
2AF
pb p
aak pb b
a
，即
2 2 2 2
2 2 2
5 9 3, , .4 4 2
b c a b cea a a a
29.（15 年山东理科）平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心
率为 3
2
，左、右焦点分别是 1 2,F F ,以 1F 为圆心，以 3 为半径的圆与以 2F 为圆心，以 1 为
半径的圆相交，交点在椭圆 C 上.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设椭圆
2 2
2 2: 14 4
x yE a b
，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 y kx m 交椭
圆 E 于 A,B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.
（ⅰ）求 | |
| |
OQ
OP
的值；（ⅱ）求 ABQ 面积最大值.
解 析：（ Ⅰ ） 由椭 圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的 离心 率为 3
2
可 知 3
2
ce a
， 而
2 2 2a b c 则 2 , 3a b c b ，左、右焦点分别是 1 2( 3 ,0), ( 3 ,0)F b F b ,
圆 1F ： 2 2( 3 ) 9,x b y 圆 2F ： 2 2( 3 ) 1,x b y 由两圆相交可得 2 2 3 4b ，即
1 3 2b ，交点 22 2( , 1 ( ) )
3 3b b
，在椭圆C上，则
2
2 2 2
21 ( 3 )4 3 13 4
b
b
b b b
，
整理得 4 24 5 1 0b b ，解得 2 1,b 2 1
4b （舍去）
故 2 1,b 2 4,a 椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y .
（Ⅱ）（ⅰ）椭圆 E 的方程为
2 2
116 4
x y ，
设点 0 0( , )P x y ，满足
2
20
0 14
x y ，射线 0
0
0
: ( 0)yPO y x xxx
，
代入
2 2
116 4
x y 可得点 0 0( 2 , 2 )Q x y ，于是
2 2
0 0
2 2
0 0
( 2 ) ( 2 )| | 2| |
x yOQ
OP x y
.
（ⅱ）点 0 0( 2 , 2 )Q x y 到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3 倍：
0 0
2 2
| 2 2 | | |3
1 1
kx y m md
k k
2 2
116 4
y kx m
x y
，得 2 24( ) 16x kx m ，整理得 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0k x kmx m
2 2 2 2 2 264 16(4 1)( 4) 16(16 4 ) 0k m k m k m
2
2 2
2
1| | 16(16 4 )1 4
kAB k mk
2 2
2 2
2 2
1 1 | | | | 16 4| | 3 4 16 4 62 2 1 4 1 4
m m k mS AB d k mk k
2 2 2
2
16 46 122(4 1)
m k m
k
，当且仅当 2 2 2 2| | 16 4 , 8 2m k m m k 等号成立.
而直线 y kx m 与椭圆 C：
2
2 14
x y 有交点 P，则
2 24 4
y kx m
x y
有解，即 2 2 2 2 24( ) 4,(1 4 ) 8 4 4 0x kx m k x kmx m 有解，
其判别式 2 2 2 2 2 2
1 64 16(1 4 )( 1) 16(1 4 ) 0k m k m k m ，即 2 21 4k m ，则
上述 2 28 2m k 不成立，等号不成立，
设
2
| | (0,1]
1 4
mt
k
，则
2 2
2
| | 16 46 6 (4 )1 4
m k mS t tk
在 (0,1]为增函数，
于是当 2 21 4k m 时 max 6 (4 1) 1 6 3S ，故 ABQ 面积最大值为 12.
30.(15 年江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 122 yx 右支上的一个动点。若
点 P 到直线 01 yx 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为 [来源:学#科#网 Z#X#X#K]
【答案】 2
2
【解析】
试题分析：设 ( , ),( 1)P x y x ，因为直线 1 0x y 平行于渐近线 0x y ，所以 c 的最大值
为直线 1 0x y 与渐近线 0x y 之间距离，为 1 2 .22
考点：双曲线渐近线，恒成立转化
31.（15 年江苏）如图，在平面直角坐标 系 xOy 中，已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离
心率为 2
2
，且右焦点 F 到左
准线 l 的距离为 3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点
P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程.
【答案】（1）
2
2 12
x y （2） 1y x 或 1y x ．
（2）当 x 轴时， 2 ，又 C 3 ，不合题意．
当 与 x 轴不垂直时，设直线 的方程为 1y k x ， 1 1,x y ， 2 2,x y ，
将 的方程代入椭圆方程，得 2 2 2 21 2 4 2 1 0k x k x k ，
则 2 2
1,2 2
2 2 1
1 2
k k
x k
， C 的坐标为
2
2 2
2 ,1 2 1 2
k k
k k
，且
2
2 2 22
2 1 2 1 2 1 2
2 2 1
1 1 2
k
x x y y k x x k
．
若 0k ，则线段 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意．
从而 0k ，故直线 C 的方程为
2
2 2
1 2
1 2 1 2
k ky xk k k
，
则 点的坐标为
2
2
5 22,
1 2
k
k k
，从而
2 2
2
2 3 1 1
C
1 2
k k
k k
．
因为 C 2 ，所以
2 2 2
22
2 3 1 1 4 2 1
1 21 2
k k k
kk k
，解得 1k ．
此时直线 方程为 1y x 或 1y x ．
考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系
专题十八 计数原理
1.（15 北京理科）在 52 x 的展开式中， 3x 的系数为 ．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
试题分析：利用通项公式， 5
1 5 2r r r
rT C x
，令 3r ，得出 3x 的系数为
3 2
5 2 40C
考点：二项式定理
2.（15 年广东理科）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球。
从袋中任取 2 个球，所
取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为
A．1 B. 21
11 C. 21
10 D. 21
5
【答案】 B ．
【解析】从袋中任取 2 个球共有 2
15 105C 种，其中恰好1个白球1个红球共有 1 1
10 5 50C C 种，
所以恰好1个白球1个红球的概率为 50 10=105 21
，故选 B ．
【考点定位】本题考查排列组合、古典概率的计算，属于容易题．
3.（15 年广东理科）在 4)1( x 的展开式中， x 的系数为
【答案】 6 ．
【解析】由题可知
44
2
1 4 41 1
rr r rr r
rT C x C x
，令 4 12
r 解得 2r ，所以
展开式中 x 的系数为 22
4 1 6C ，故应填入 6 ．
【考点定位】本题考查二项式定理，属于容易题．
4.（15 年广东理科）某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，
那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
【答案】1560 ．
【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数，所以全
班共写了 2
40 40 39 1560A 条毕业留言，故应填入1560 ．
【考点定位】本题考查排列组合问题，属于中档题．
5.（15 年福建理科） 52x 的展开式中， 2x 的系数等于 ．（用数字作答）
【答案】80
【解析】
试题分析： 52x 的展开式中 2x 项为 2 3 2
5 2 80C x ，所以 2x 的系数等于80 ．
考点：二项式定理．
（10）6.（15 年新课标 1 理科） 的展开式中， y²的系数为
（A）10 （B）20 （C）30（D）60
【答案】A
【解析】在 2 5( )x x y 的 5 个因式中，2 个取因式中 2x 剩余的 3 个因式中 1 个取 x ，其
余因式取 y,故 5 2x y 的系数为 2 1 2
5 3 2C C C =30，故选 A.
7.（15 年新课标 2 理科） 4( )(1 )a x x 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则
a __________．
【答案】3
【解析】由已知得 4 2 3 4(1 ) 1 4 6 4x x x x x ，故 4( )(1 )a x x 的展开式中 x 的奇
数次幂项分别为 4ax ， 34ax ，x ， 36x ， 5x ，其系数之和为 4 4 1+6+1=32a a ，解得 3a ．
8.（15 年陕西理科）二项式 ( 1) ( )nx n N 的展开式中 2x 的系数为 15，则 n （ ）
A ． 4 B．5 C ．6
D．7
【答案】C
考点：二项式定理．
9.（15 年天津理科）在
61
4x x
的展开式中， 2x 的系数为 .
【答案】 15
16
考点：二项式定理及二项展开式的通项.
10.（15 年湖南理科）
11.（15 年山东理科）观察下列各式：
0 0
10 1 1
3 30 1 2 2
5 5 50 1 2 3 3
7 7 7 7
4 ;
4 ;
4 ;
4 ;
C
C C
C C C
C C C C
照此规律，当 *nN 时，
0 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
n
n n n nC C C C
.
解析： 14n .具体证明过程可以是：
0 1 2 1 0 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 (2 2 2 2 )2
n n
n n n n n n n nC C C C C C C C
0 2 1 1 2 2 2 2 3 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1[( ) ( ) ( ) ( )]21 1( ) 2 42 2
n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n
n n n n n n
C C C C C C C C
C C C C C C
专题十九 几何证明选讲
1.（15 年广东理科）如图 1，已知 AB 是圆O 的直径， 4AB ， EC 是圆 O 的切线，切点
为C ，
1BC ，过圆心O 做 BC 的平行线，分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ，则OD
【答案】8 ．
【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．
2.（15 年广东文科）如图1， 为圆 的直径， 为 的延长线上一点，过 作圆 的
切线，切点为 C ，过 作直线 C 的垂线，垂足为 D ．若 4 ， C 2 3 ，则
D ．
【答案】3
考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．
3.（15 年新课标 2 理科）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，⊙O 与ΔABC
的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别
相切于 E，F 两点。
G
A
E F
O
NDB CM
（1）证明：EF∥BC；
（2）若 AG 等于⊙O 的半径，且 2 3AE MN ，求四边形 EBCF 的面积。
4.（15 年新课标 2 文科）如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于
M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.
（I）证明 EF BC ；
（II）若 AG 等于圆 O 半径,且 2 3AE MN ,求四边形 EBCF 的面积.
【答案】（I）见试题解析；（II）16 3
3
考点：1.几何证明；2.四边形面积的计算.
5.（15 年陕西理科）如图， 切 于点 ，直线 D 交 于 D ， 两点， C D ，
垂足为 C ．
（I）证明： C D D ；
（II）若 D 3DC ， C 2 ，求 的直径．
【答案】（I）证明见解析；（II）3．
【解析】
试题分析：（I）先证 C D D ，再证 D D ，进而可证 C D D ；
（II）先由（I）知 D 平分 C ，进而可得 D 的值，再利用切割线定理可得 的值，
进而可得 的直径．
试题解析：（I）因为 DE 为圆 O 的直径，则 BED EDB 90 ，
又 BC DE，所以 CBD+ EDB=90°，从而 CBD= BED.
又 AB 切圆 O 于点 B，得 DAB= BED，所以 CBD= DBA.
（II）由（I）知 BD 平分 CBA，则 = 3BA AD
BC CD
= ,又 = 2BC ，从而 3 2AB = ，
所以 2 2 4AC AB BC= - = ，所以 D=3A .
由切割线定理得 2 =ADAB AE× ，即
2
= AD
ABAE =6，
故 DE=AE-AD=3，即圆 O 的直径为 3.
考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.
6.（15 年陕西文科）如图，AB 切 O 于点 B ，直线 AO 交 O 于 ,D E 两点， ,BC DE
垂足为C .
(I)证明： CBD DBA
(II)若 3 , 2AD DC BC ，求 O 的直径.
【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3.
【解析】
试题分析：：(I)因为 DE 是 O 的直径，则 90BED EDB ，又 BC DE ，所以
90CBD EDB ， 又 AB 切 O 于 点 B ， 得 DBA BED ， 所 以
CBD DBA ；
(II)由(I)知 BD 平分 CBA ，则 3BA AD
BC CD
，又 2BC ，从而 3 2AB ，由
2 2 2AB BC AC ，
解得 4AC ，所以 3AD ，由切割线定理得 2AB AD AE ，解得 6AE ，故
3DE AE AD ，
即 O 的直径为 3.
试题解析：(I)因为 DE 是 O 的直径，
则 90BED EDB
又 BC DE ，所以 90CBD EDB
又 AB 切 O 于点 B ，
得 DBA BED
所以 CBD DBA
(II)由(I)知 BD 平分 CBA ，
则 3BA AD
BC CD
，
又 2BC ，从而 3 2AB ，
所以 2 2 4AC AB BC
所以 3AD ，
由切割线定理得 2AB AD AE
即
2
6ABAE AD
，
故 3DE AE AD ，
即 O 的直径为 3.
考点：1.几何证明；2.切割线定理.
7.（15 年江苏）如图，在 ABC 中， ACAB ， ABC 的外接圆圆 O 的弦 AE 交 BC 于
点 D
求证： ABD ∽ AEB
A
B C
E
D
O
（第 21——A 题）
【答案】详见解析
考点：三角形相似
专题二十 不等式选讲
1.（15 年福建理科）已知 0, 0, 0a b c ，函数 ( ) | | | |f x x a x b c= + + - + 的最小值为 4．
(Ⅰ)求 a b c+ + 的值；
(Ⅱ)求 2 2 21 1
4 9a b c+ + 的最小值．
【答案】(Ⅰ) 4 ；(Ⅱ) 8
7
．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)由绝对值三角不等式得 ( ) | | | |f x x a x b c= + + - + 的最小值为| a |b c+ + ，
故 | a | 4b c+ + = ， 即 a b c 4+ + = ； ( Ⅱ ) 利 用 柯 西 不 等 式
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( )( ) ( )x x x y y y x y x y x y 求解．
试题解析：(Ⅰ)因为 (x) | x | | x | | (x ) (x ) | | a |f a b c a b c b c= + + + + ³ + - + + = + +
当且仅当 a x b- ＃ 时，等号成立
又 0, 0a b> > ，所以| a b | a b+ = + ,所以 (x)f 的最小值为 a b c+ + ,
所以 a b c 4+ + = ．
(Ⅱ)由(1)知 a b c 4+ + = ，由柯西不等式得
( ) ( )
2
22 2 21 1 4 9 1 2+ 3+ 1 164 9 2 3
a ba b c c a b c
骣 骣琪 琪+ + + + 炒 创 = + + =琪 琪桫 桫 ,
即 2 2 21 1 8
4 9 7a b c+ + ³ .
当且仅当
11
32
2 3 1
ba c= = ,即 8 18 2, ,7 7 7a b c= = = 时，等号成立
所以 2 2 21 1
4 9a b c+ + 的最小值为 8
7 .
考点：1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．
2.（15 年新课标 2 理科）设 a，b，c，d 均为正数，且 a + b = c + d，证明：
（1）若 ab > cd；则 a b c d ；
（2） a b c d 是| | | |a b c d 的充要条件。
3.（15 年新课标 2 文科）设 , , ,a b c d 均为正数,且 a b c d .证明：
（I）若 ab cd ,则 a b c d ；
（II） a b c d 是 a b c d 的充要条件.
【答案】
【解析】
试题分析：（I）由 a b c d 及 ab cd ,可证明 2 2
a b c d ,开方即得
a b c d .（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证
明.
试题解析：
解：（I）因为 2 2
2 , 2 ,a b a b ab c d c d cd
考点：不等式证明.
4.（15 年陕西理科）已知关于 x 的不等式 x a b 的解集为 2 4x x ．
（I）求实数 a ，b 的值；
（II）求 12at bt 的最大值．
【答案】（I） 3a ， 1b ；（II） 4 ．
【解析】
试题分析：（I）先由 x a b 可得 b a x b a ，再利用关于 x 的不等式 x a b 的
解集为 2 4x x 可得 a ，b 的值；（II）先将 3 12t t 变形为 3 4 t t ，
再利用柯西不等式可得 3 12t t 的最大值．
试题解析：（I）由| |x a b+ < ，得 b a x b a- - < < -
则 2,
4,
b a
b a
解得 3a = - , 1b =
（II） 2 2 223 +12+ 3 4 3 1 4t t t t t t
2 4 4t t= - + =
当且仅当 4
13
t t- = ，即 1t = 时等号成立，
故( )max
3 +12+ 4t t- = .
考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.
5.（15 年陕西文科）已知关于 x 的不等式 x a b 的解集为{ | 2 4}x x
(I)求实数 ,a b 的值；
(II)求 12at bt 的最大值.
【答案】(I) 3, 1a b ；(II) 4 .
【解析】
试 题 分 析 ： (I) 由 x a b ， 得 b a x b a ， 由 题 意 得 2
4
b a
b a
， 解 得
3, 1a b ；
(II)柯西不等式得
3 12 3 4t t t t 2 2 2 2[( 3) 1 ][( 4 ) ( )t t 2 4 4t t ，
当且仅当 4
13
t t 即 1t 时等号成立，故 min
3 12 4t t .
试题解析：(I)由 x a b ，得 b a x b a
则 2
4
b a
b a
，解得 3, 1.a b
(II) 3 12 3 4t t t t
2 2 2 2[( 3) 1 ][( 4 ) ( )t t
2 4 4t t
当且仅当 4
13
t t 即 1t 时等号成立，
故 min
3 12 4t t
考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.
6.（15 年江苏）解不等式 | 2 3| 3x x
【答案】 15 3x x x
或
【解析】
试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可
试题解析：原不等式可化为
3
2
3 2
x
x
或
3
2
3 3 2
x
x
．
解得 5x 或 1
3x ．
综上，原不等式的解集是 15 3x x x
或 ．
考点：含绝对值不等式的解法
专题二十一 矩阵与变换
1.（15 年福建理科）已知矩阵 2 1 1 1, .4 3 0 1A B
骣 骣琪 琪= =琪 琪 -桫 桫
(Ⅰ)求 A 的逆矩阵 1A- ；
(Ⅱ)求矩阵 C，使得 AC=B.
【答案】(Ⅰ)
3 1
2 2
2 1
； (Ⅱ)
3 22
2 3
．
【解析】
试题分析：因为 2 1
4 3A
骣琪= 琪桫
，得伴随矩阵 3 1
4 2A
，且 2A ，由 1 1A AA
可
求得 1A- ；(Ⅱ)
因为 AC B ，故 1C A B ，进而利用矩阵乘法求解．
试题解析：(1)因为|A|=2 3-1 4=2创
所以 1
3 1 3 1
2 2 2 24 2 2 1
2 2
A
(2)由 AC=B 得 1 1( )CA A A B- -= ,
故 1
3 1 31 1 2C = =2 2 20 12 1 2 3
A B
考点：矩阵和逆矩阵．
2.（15 年江苏）已知 Ryx , ，向量
1
1 是矩阵
0
1
y
xA 的属性特征值 2 的一个
特征向量，矩阵 A 以及它的另一个特征值.
【答案】 1 1
2 0
,另一个特征值为1．
【解析】
试题分析：由矩阵特征值与特征向量可列出关于 x,y 的方程组，再根据特征多项式求出矩阵
另一个特征值
试题解析：由已知，得 2 ，即 1 1 1 2
0 1 2
x x
y y
，
则 1 2
2
x
y
，即 1
2
x
y
，所以矩阵 1 1
2 0
．
从而矩阵 的特征多项式 2 1f ，所以矩阵 的另一个特征值为1．
考点：矩阵运算，特征值与特征向量
专题二十二 坐标系与参数方程
1.（15 北京理科）在极坐标系中，点 π2 3
‚ 到直线 cos 3sin 6 的距离为
．
【答案】1
【解析】
试题分析：先把点(2, )3
极坐标化为直角坐标(1, 3)，再把直线的极坐标方程
cos 3sin 6 化为直角坐标方程 3 6 0x y ，利用点到直线距离公式
1 3 6
1
1 3
d
.
考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.
2.（15 年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为 24sin(2 ）π ，点 A 的极坐标为
72 2, 4A
，则点 A 到直线l 的距离为
【答案】 5 2
2
．
【解析】依题已知直线l ：2 sin 24
和点 72 2, 4A
可化为l ： 1 0x y
和 2, 2A ，所以点 A 与直线l 的距离为
22
2 2 1 5 2
21 1
d
，故应填入．
【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．
3.（15 年广东文科）在平面直角坐标系 x y 中，以原点 为极点， x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系．曲线 1C 的极坐标方程为 cos sin 2 ，曲线 2C 的参数方程为
2
2 2
x t
y t
（t 为参数），则 1C 与 2C 交点的直角坐标为 ．
【答案】 2, 4
【解析】
试题分析：曲线 1C 的直角坐标方程为 2x y ，曲线 2C 的普通方程为 2 8y x ，由
2
2
8
x y
y x
得： 2
4
x
y
，所以 1C 与 2C 交点的直角坐标为 2, 4 ，所以答案应填： 2, 4 ．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．
4.（15 年福建理科）在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程为 1 3cos (t )2 3sin
x t
y t
ì = +ïí = - +ïî
为参数 .
在极坐标系（与平面直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负
半轴为极轴）中，直线 l 的方程为
2 sin( ) m,(m R).4
pr q - = Î
(Ⅰ)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，求 m 的值．
【答案】(Ⅰ) ( ) ( )2 21 2 9x y- + + = ， 0x y m- - = ；(Ⅱ) 2m=-3 2± ．
【解析】
试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ( ) ( )2 21 2 9x y- + + = ，利用
cosx ， siny 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离
公式求解．
试题解析：(Ⅰ)消去参数 t，得到圆的普通方程为( ) ( )2 21 2 9x y- + + = ,
由 2 sin( ) m4
pr q - = ，得 sin cos m 0r q r q- - = ,
所以直线 l 的直角坐标方程为 0x y m- - = .
(Ⅱ)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即
( )|1 2 m | 2
2
，- - + = 解得 2m=-3 2±
考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直
线距离公式．
5.（15 年新课标 2 理科）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： cos
sin
x t
y t
（t 为参数，t ≠ 0），
其中 0 ≤ α < π，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2sin ，C3：
2 3cos 。
（1）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；
（2）若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求| |AB 的最大值。
6.（15 年新课标 2 文科）在直角坐标系 xOy 中,曲线 1
cos ,: sin ,
x tC y t
（t 为参数,且 0t ）,
其 中 0 , 在 以 O 为 极 点 ,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线
2 3: 2sin , : 2 3cos .C C
（I）求 2C 与 3C 交点的直角坐标；
（II）若 1C 与 2C 相交于点 A, 1C 与 3C 相交于点 B,求 AB 最大值.
【答案】（I） 3 30,0 , ,2 2
；（II）4.
【解析】
试 题 分 析 ： （ I ） 把 2C 与 3C 的 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 分 别 为
2 2 2 0x y y , 2 2 2 3 0x y x , 联 立 解
考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.
7．（15 年陕西理科）在直角坐标系 x y 中，直线l 的参数方程为
13 2
3
2
x t
y t
（t 为参数）．以
原点为极点， x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系， C 的极坐标方程为 2 3sin ．
（I）写出 C 的直角坐标方程；
（II） 为直线l 上一动点，当 到圆心 C 的距离最小时，求 的直角坐标．
【答案】（I） 22 3 3x y ；（II） 3,0 ．
【解析】
试 题 分 析 ：（ I ） 先 将 2 3sin 两 边 同 乘 以 可 得 2 2 3 sin ， 再 利 用
2 2 2x y ， sinx 可 得 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ II ） 先 设 的 坐 标 ， 则
2C 12t ，再利用二次函数的性质可得 C 的最小值，进而可得 的直角坐标．
试题解析：（I）由 22 3sin , 2 3 sin 得 ，
从而有 22 2 2+ 2 3 , + 3 3x y y x y 所以 .
(II)设 1 3(3 t, t), C(0, 3)2 2P + 又 ,则
22
21 3| PC | 3 3 122 2t t t
，
故当 t=0 时，|PC|取最小值，此时 P 点的直角坐标为（3，0）.
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.
8.（15 年陕西文科）在直角坐标版权法 xOy 吕，直线 l 的参数方程为
13 2 (
3
2
x t
t
y t
为
参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， C 的极坐标方程为
2 3sin .
(I)写出 C 的直角坐标方程；
(II) P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求点 P 的坐标.
【答案】(I) 22 3 3x y ； (II) (3,0) .
【解析】
试题分析：(I)由 2 3sin ，得 2 2 3 sin ，从而有 2 2 2 3x y y ，所以
22 3 3x y
(II)设 1 33 ,2 2P t t
，又 (0, 3)C ，则
22
21 33 3 122 2PC t t t
，
故当 0t 时， PC 取得最小值，此时 P 点的坐标为 (3,0) .
试题解析：(I)由 2 3sin ，
得 2 2 3 sin ，
从而有 2 2 2 3x y y
所以 22 3 3x y
(II)设 1 33 ,2 2P t t
，又 (0, 3)C ，
则
22
21 33 3 122 2PC t t t
，
故当 0t 时， PC 取得最小值，
此时 P 点的坐标为 (3,0) .
考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.
9.（15 年江苏）已知圆 C 的极坐标方程为 2 2 2 sin( ) 4 04
，求圆 C 的半径.
【答案】 6
考点：圆的极坐标方程，极坐标与之间坐标互化
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