高考四元聚焦理数——对点训练 　平面向量的概念及线性运算 3页

第五单元　平面向量与复数 ‎　1.(2019·福州市3月质检)在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若＝x＋(1－x)·，则实数x的取值范围是( A )‎ A．(－∞，0) B．(0，＋∞)‎ C．(－1,0) D．(0,1)‎ 解析：＝x＋(1－x)可化为＝x，因为点O在线段BC的延长上，所以x∈(－∞，0)，故选A.‎ ‎　2.(2019·本溪、庄河联考)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为( A )‎ A. B. C. D. 解析：过点F作FG∥CD交AC于G，‎ 则G是AC的中点，且＝＝，‎ 所以＝＝×＝，则λ的值为，故选A.‎ ‎　3.(2019·吉林市3月预测)满足方程(3,1)x2＋(2，－1)x＋(－8，－6)＝0的实数x为( A )‎ A．－2 B．－3‎ C．3 D. 解析：由(3x2＋2x－8，x2－x－6)＝0，‎ 则，解得x＝－2，故选A.‎ ‎　4.(2019·山东省日照市)如图所示，已知＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是( A )‎ A．c＝b－a B．c＝2b－a C．c＝‎2a－b D．c＝a－b 解析：由＝2，得＋＝2(＋)，‎ 即2＝－＋3，即c＝b－a，故选A.‎ ‎　5.(2019·辽宁鞍山第二次模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(－3，－5)，则＝　(1,3)　.‎ 解析：因为＝＋＝(－1，－1)，‎ 所以＝＋＝(1,3)．‎ ‎　6.(2019·北京市石景山区一模)设向量a＝(cos θ，1)，b＝(1,3cos θ)，且a∥b，则cos 2θ＝　－　.‎ 解析：因为a∥b，所以cos θ·3cos θ－1＝0，‎ 即3cos2θ＝1，cos2θ＝，‎ 所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.‎ ‎　7.(2019·临沂二模)在△ABC中，已知D是边AB上的一点，若＝2，CD＝＋λ，则λ＝　　.‎ 解析：因为＝2，所以＝，‎ 又＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.‎ ‎　8.已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4以及点A(1,1)，M为圆上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．‎ 解析：设N(x，y)，M(x1，y1)．‎ 由题意可知，＝2，‎ 所以(1－x1,1－y1)＝2(x－1，y－1)，‎ 所以.‎ 又M在圆C上，所以(x1－3)2＋(y1－3)2＝4，‎ 将方程组代入上式，得x2＋y2＝1，‎ 故点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.‎ ‎　9.已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试求：‎ ‎(1)λ为何值时，点P在第三象限；‎ ‎(2)点P到原点的最短距离．‎ 解析：(1)设P(x，y)，‎ 则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．‎ 又＝＋λ ‎＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]‎ ‎＝(3,1)＋λ(5,7)‎ ‎＝(3＋5λ，1＋7λ)．‎ 所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，‎ 即，所以，①‎ 因为点P在第三象限，所以，‎ 所以λ<－1，‎ 故当λ<－1时，点P在第三象限．‎ ‎(2)将①消去λ，得P点轨迹方程为直线7x－5y－15＝0，‎ 所以点P到原点的最短距离为d＝＝.‎ ‎　1.(2019·辽宁卷)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量是( A )‎ A．(，－) B．(，－)‎ C．(－，) D．(－，)‎ 解析：由已知，＝(3，－4)，且||＝5，‎ 所以与同方向的单位向量为＝(，－)，故选A.‎ ‎　2.(2019·北京卷)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝　1　.‎ 解析：因为a－2b＝(，3)，c＝(k，)，又因为a－2b与c共线，‎ ‎(方法一)所以×－3k＝0⇒k＝1.‎ ‎(方法二)所以a－2b＝λc⇔⇒.‎ ‎　3.(2019·江苏卷)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为　　.‎ 解析：＝＋ ‎＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝－＋，‎ 所以λ1＋λ2＝－＋＝.　4.(2019·山东卷)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是( D )‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C，D可能同时在线段AB上 D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上 解析：由＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)知，四点A1，A2，A3，A4在同一条直线上．‎ 因为C，D调和分割点A，B，所以A，B，C，D四点在同一直线上，又＋＝2，所以＋＝2，故选D.‎ ‎　5.(2019·全国卷)△ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( D )‎ A.a－b B.a－b C.a－b D.a－b 解析：由a·b＝0，知a⊥b，|AB|＝，‎ 用等面积法求得|CD|＝.‎ 所以|AD|＝＝，‎ 又|AB|＝，所以＝＝(a－b)，故选D.‎