贵州省高考数学试卷文科全国新课标ⅲ 15页

‎2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁AB=（　　）‎ A．{4，8} B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10}‎ ‎2．（5分）若z=4+3i，则=（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．+i D．﹣i ‎3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（　　）‎ A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 ‎5．（5分）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若tanθ=，则cos2θ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知a=，b=，c=，则（　　）‎ A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b ‎8．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎9．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．18+36 B．54+18 C．90 D．81‎ ‎11．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（　　）‎ A．4π B． C．6π D．‎ ‎12．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+3y﹣5的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移　 　个单位长度得到．‎ ‎15．（5分）已知直线l：x﹣y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=　 　．‎ ‎16．（5分）已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．（12分）已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0．‎ ‎（1）求a2，a3；‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．‎ 注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．‎ ‎（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；‎ ‎（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．‎ 附注：‎ 参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．‎ 参考公式：相关系数r=，‎ 回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎=，=﹣．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求四面体N﹣BCM的体积．‎ ‎20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；‎ ‎（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．‎ ‎　‎ 请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．‎ ‎（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．‎ ‎（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；‎ ‎（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年贵州省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅲ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．C．2．D．3．A4．D5．C．6．D．7．A8．B．9．D10．B．11．B ‎12．解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．‎ 化目标函数z=2x+3y﹣5为．‎ 由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5=﹣10．‎ 故答案为：﹣10．‎ ‎14．解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），‎ 令f（x）=2sinx，‎ 则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），‎ 依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），‎ 故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），‎ 即φ=﹣2kπ+（k∈Z），‎ 当k=0时，正数φmin=，‎ 故答案为：．‎ ‎15．解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==3，‎ ‎∴|AB|=2=2，‎ ‎∵直线l：x﹣y+6=0‎ ‎∴直线l的倾斜角为30°，‎ ‎∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，‎ ‎∴|CD|==4．‎ 故答案为：4．‎ ‎16．解答】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）=e﹣x﹣1﹣x，‎ 设x＞0，则﹣x＜0，‎ ‎∴f（x）=f（﹣x）=ex﹣1+x，‎ 则f′（x）=ex﹣1+1，‎ f′（1）=e0+1=2．‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2=2（x﹣1）．‎ 即y=2x．‎ 故答案为：y=2x．‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．解答】解：（1）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，‎ 当n=1时，有a12﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2=0，‎ 而a1=1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2=0，解可得a2=，‎ 当n=2时，有a22﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3=0，‎ 又由a2=，解可得a3=，‎ 故a2=，a3=；‎ ‎（2）根据题意，an2﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1=0，‎ 变形可得（an﹣2an+1）（an+1）=0，‎ 即有an=2an+1或an=﹣1，‎ 又由数列{an}各项都为正数，‎ 则有an=2an+1，‎ 故数列{an}是首项为a1=1，公比为的等比数列，‎ 则an=1×（）n﹣1=n﹣1，‎ 故an=n﹣1．‎ ‎18．解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：‎ ‎∵r==≈≈≈0.993，‎ ‎∵0.993＞0.75，‎ 故y与t之间存在较强的正相关关系；‎ ‎（2）==≈≈0.103，‎ ‎=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，‎ ‎∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，‎ ‎2016年对应的t值为9，‎ 故=0.10×9+0.92=1.82，‎ 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．．‎ ‎19．解答】证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，‎ ‎∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线 ‎∴NE∥PB，‎ 又∵AD∥BC，∴BE∥AD，‎ ‎∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，‎ ‎∴BE=BC=AM=2，‎ ‎∴四边形ABEM是平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，‎ ‎∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．‎ 解：（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，‎ ‎∵NF是△PAC的中位线，‎ ‎∴NF∥PA，NF==2，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，‎ 如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，‎ ‎∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，‎ ‎∴AC=MG=3，‎ 又∵ME=3，EC=CG=2，‎ ‎∴△MEG的高h=，‎ ‎∴S△BCM===2，‎ ‎∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM===．‎ ‎20．解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，‎ 由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，‎ ‎∴∠PFQ=90°，‎ ‎∵R是PQ的中点，‎ ‎∴RF=RP=RQ，‎ ‎∴△PAR≌△FAR，‎ ‎∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，‎ ‎∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，‎ ‎∴∠FQB=∠PAR，‎ ‎∴∠PRA=∠PQF，‎ ‎∴AR∥FQ．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎ F（，0），准线为 x=﹣，‎ ‎ S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，‎ 设直线AB与x轴交点为N，‎ ‎∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，‎ ‎∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，‎ ‎∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）．‎ 设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），‎ 又=，‎ ‎∴=，即y2=x﹣1．‎ ‎∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．‎ ‎21．解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣x+1的导数为f′（x）=﹣1，‎ 由f′（x）＞0，可得0＜x＜1；由f′（x）＜0，可得x＞1．‎ 即有f（x）的增区间为（0，1）；减区间为（1，+∞）；‎ ‎（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．‎ 由（1）可得f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，‎ 可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；‎ 设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，‎ 当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，‎ 即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；‎ ‎（3）证明：设G（x）=1+（c﹣1）x﹣cx，G′（x）=c﹣1﹣cxlnc，‎ 可令G′（x）=0，可得cx=，‎ 由c＞1，x∈（0，1），可得1＜cx＜c，即1＜＜c，‎ 由（1）可得f（x）的增区间为（0，1），‎ 可得cx=恰有一解，设为x=x0是G（x）的最大值点，且0＜x0＜1，‎ 由G（0）=G（1）=0，且G（x）在（0，x0）递增，在（x0，1）递减，‎ 可得G（x0）=1+（c﹣1）x0﹣cx0＞0成立，‎ 则c＞1，当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞cx．‎ 请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．解答】（1）解：连接PB，BC，‎ 设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，‎ ‎∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，‎ 由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，‎ 在△EBC中，∠1=∠2+∠3，‎ 又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，‎ 即有∠2=∠4，则∠D=∠1，‎ 则四点E，C，D，F共圆，‎ 可得∠EFD+∠PCD=180°，‎ 由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，‎ 即有3∠PCD=180°，‎ 可得∠PCD=60°；‎ ‎（2）证明：由C，D，E，F共圆，‎ 由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 可得G为圆心，即有GC=GD，‎ 则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，‎ 则OG⊥CD．‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，‎ 即有椭圆C1：+y2=1；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，‎ 即有ρ（sinθ+cosθ）=2，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，‎ 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，‎ ‎|PQ|取得最值．‎ 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，‎ 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，‎ 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，‎ 解得t=±2，‎ 显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，‎ 即有|PQ|==，‎ 此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，‎ 即为P（，）．‎ 另解：设P（cosα，sinα），‎ 由P到直线的距离为d=‎ ‎=，‎ 当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，‎ 此时可取α=，即有P（，）．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，‎ ‎∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，‎ ‎|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，‎ ‎∴﹣2≤x﹣1≤2，‎ 解得﹣1≤x≤3，‎ ‎∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．‎ ‎（2）∵g（x）=|2x﹣1|，‎ ‎∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，‎ ‎2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，‎ ‎|x﹣|+|x﹣|≥，‎ 当a≥3时，成立，‎ 当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，‎ ‎∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，‎ 解得2≤a＜3，‎ ‎∴a的取值范围是[2，+∞）．‎