平面向量高考数学二轮复习资料解析版 19页

‎【高效整合篇】‎ 一．考场传真 ‎1. 【2013年全国高考新课标（I）】已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____.‎ ‎2.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是 .‎ ‎3. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】已知点，则与向量同方向的单位向量为（ ）‎ ‎（A） （B） 　　 （C） （D）‎ ‎4. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】 已知是单位向量，若向量满足（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5. 【2013年高考新课标Ⅱ数学卷】 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.‎ ‎6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）】若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.‎ ‎7.【2013年全国高考统一考试天津数学卷】在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）】设为单位向量，非零向量 若的夹角为，则的最大值等于_______.‎ ‎9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）】设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：‎ ‎①给定向量，总存在向量，使；‎ ‎②给定向量和，总存在实数和，使；‎ ‎③给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；‎ ‎④给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；‎ 上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二．高考研究 1. 考纲要求:掌握向量的加法和减法，掌握实数与向量的积，解两个向量共线的充要条件，解平面向量基本定，解平面向量的坐标概念，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件。 ‎ 2. 命题规律：平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中.‎ 一．基础知识整合 ‎1.平面向量的线性运算 ‎2.平面向量基本定和平面向量的坐标表示 ‎(1) 平面向量基本定 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎(2) 平面向量的坐标运算 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(3) 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎3.平面向量的数量积 ‎(1)定义 ：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a和b 的数量积，记作 a·b＝|a||b|cos θ.‎ 规定：零向量与任一向量的数量积为0.‎ ‎（2）数量积的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，‎ 二．高频考点突破 考点1 平面向量的线性运算 ‎【例1】【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试】如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（　　）‎ ‎ A．　　 B．　 ‎ ‎ C．　　 D．‎ ‎【规律方法】向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”.‎ ‎【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.‎ 考点2 向量共线的充要条件 ‎【例2】【南充市2014届高考适应性考试（零诊）试卷】已知向量，，，若，则实数的值为（ ）‎ A． B．-3 C． D．‎ ‎【规律方法】向量共线的充要条件是，，用坐标表示就是共线的充要条件是.‎ ‎【举一反三】【江苏省扬州中学2013—2014学年度第一学期月考高三数学】 已知向量,‎ ‎,若,则实数__ ___.‎ 考点3 平面向量的数量积 ‎【例3】【无锡市市北高中2014届高三期初考试】已知都是单位向量，且，则的值为 ． ‎ ‎【规律方法】向量，若，则.‎ ‎【举一反三】【扬州中学2013—2014学年高三开学检测】 已知正方形的边长为1，若点是边上的动点，则的最大值为 .‎ 考点4 求两向量的夹角 ‎【例4】【广东省韶关市20914届高三摸底考试】若，则向量与的夹角为（　　）‎ A． B. C. D.‎ ‎【规律方法】，.‎ ‎【举一反三】【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】 已知四边形是矩形，，，是线段上的动点，是的中点．若为钝角，则线段长度的取值范围是 .‎ ‎；‎ 考点5 平面向量和三角函数的综合问题 ‎【例5】【江苏省盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在中，若，则= 　　 . ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎【规律方法】通过平面向量的坐标表示将向量问题转化为三角函数问题，或利用向量的夹角和向量数量积的定义将向量问题转化为三角函数问题.‎ ‎【举一反三】【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】设向量，，其中，若，则 . ‎ 考点6 平面向量和平面几何的综合问题 ‎【例6】【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】已知在中，，，设是的内心，若，则 　　　　 ．‎ ‎ ‎ ‎【规律方法】平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题.‎ ‎【举一反三】【河北衡水中学2013～2014学年度上学期二调高三数学试卷】在△ABC所在平面上有三点，满足,，则的面积与的面积之比为（ ）‎ A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:5‎ ‎【解析】‎ 三．错混辨析 ‎1.误把两向量数量积大于（小于）0当作两向量夹角为锐角（钝角）的充要条件 ‎【例1】已知，的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围.‎ ‎2.忽视两向量夹角的概念导致错误 ‎【例2】在中, ,,则角的大小为 .‎ ‎2.忽视变量取值范围导致错误 ‎【例3】如图在△ABC中,∠BAC=120°,AB=1,AC=2,D为BC边上一点, 则的取值范围为_____________.‎ 取最小值，所以的取值范围为 一．原创预测 ‎1.已知是边长为4的正三角形，是内部两点，且满足，，则的面积为 ．‎ ‎2．若是的重心，分别是角的对边，若，则角（ ） ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【解析】由 ‎ ‎3．已知点O为锐角的外心，，，，且，则 ‎ ‎4.已知，其中，若，则= 　　　.‎ ‎【解析】‎ ‎5．在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最大值为 _ ．‎ ‎6．如图，矩形内放置个大小相同的正方形，其中、、、都在矩形的边上，若向量，则 .‎