高考数学按章节分类汇编人教A必修四三角恒等变换 16页

‎2012年高考数学按章节分类汇编（人教A必修四）‎ 第三章三角恒等变换 一、选择题 ‎1 ．（2012年高考（重庆文）） （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2 ．（2012年高考（重庆理））设是方程的两个根,则的值为 （　　）‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎3 ．（2012年高考（陕西文））设向量=(1.)与=(-1, 2)垂直,则等于 ‎ A B C．0 D．-1‎ ‎4 ．（2012年高考（辽宁文））已知,(0,π),则= （　　）‎ A．1 B． C． D．1‎ ‎5 ．（2012年高考（辽宁理））已知,(0,π),则= （　　）‎ A．1 B． C． D．1‎ ‎6．（2012年高考（江西文））若,则tan2α= （　　）‎ A．- B． C．- D．‎ ‎7．（2012年高考（江西理））若tan+ =4,则sin2= （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（2012年高考（大纲文））已知为第二象限角,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9 ．（2012年高考（山东理））若,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为 （　　）‎ A．[ -2 ,2] B．[-,] C．[-1,1 ] D．[- , ]‎ ‎11．（2012年高考（大纲理））已知为第二象限角,,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎1．（2012年高考（大纲文））当函数取最大值时,____.‎ ‎2．（ 2012年高考（江苏））设为锐角,若,则的值为____.‎ ‎3．（2012年高考（大纲理））当函数取得最大值时,_______________.‎ 三、解答题 ‎1．（2012年高考（四川文））已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;‎ ‎(Ⅱ)若,求的值.‎ ‎2．（2012年高考（湖南文））已知函数的部分图像如图5所示.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调递增区间.‎ ‎3．（2012年高考（湖北文））设函数的图像关于直线对称,其中为常数,且 ‎(1) 求函数的最小正周期;‎ ‎(2) 若的图像经过点,求函数的值域.‎ ‎4．（2012年高考（福建文））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.‎ ‎5．（2012年高考（北京文））已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递减区间. ‎ ‎6．（2012年高考（天津理））已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎7．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)‎ 设,其中 ‎(Ⅰ)求函数 的值域 ‎(Ⅱ)若在区间上为增函数,求 的最大值.‎ ‎8．（2012年高考（四川理））函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.‎ ‎(Ⅰ)求的值及函数的值域;‎ ‎(Ⅱ)若,且,求的值.‎ ‎9．（2012年高考（山东理））已知向量,函数的最大值为6.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求在上的值域. ‎ ‎10．（2012年高考（湖北理））已知向量,,设函数的图象关于直线对称,其中,为常数,且. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期; ‎ ‎(Ⅱ)若的图象经过点,求函数在区间上的取值范围.‎ ‎11．（2012年高考（广东理））(三角函数)已知函数(其中)的最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设、,,,求的值.‎ ‎12．（2012年高考（福建理））某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.‎ ‎13．（2012年高考（北京理））已知函数.‎ ‎(1)求的定义域及最小正周期;‎ ‎(2)求的单调递增区间. ‎ ‎14．（2012年高考（安徽理））设函数 ‎(I)求函数的最小正周期;‎ ‎(II)设函数对任意,有,且当时, ,求函数在上的解析式.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1. 【答案】:C ‎ ‎【解析】: ‎ ‎【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用 ‎ ‎2. 【答案】A ‎ ‎【解析】 ‎ ‎【考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. ‎ ‎3. 解析:,,,故选C. ‎ ‎4. 【答案】A ‎ ‎【解析】故选A ‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. ‎ ‎5. 【答案】A ‎ ‎【解析一】 ‎ ‎,故选A ‎ ‎【解析二】 ‎ ‎,故选A ‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中. ‎ ‎6. 【答案】B ‎ ‎【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同时除以可得,带入所求式可得结果. ‎ ‎7. D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. ‎ 因为,所以.. ‎ ‎【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“‎1”‎互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、‎ 余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等.‎ ‎8.答案A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用. ‎ ‎【解析】因为为第二象限角,故,而,故,所以,故选答案A. ‎ ‎9. 【解析】因为,所以,,所以,又,所以,,选D. ‎ ‎ ‎ ‎10. 【答案】B ‎ ‎【解析】‎ f(x)=sinx-cos(x+),,值域为[-,]. ‎ ‎【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域. ‎ ‎11. 答案A ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式的运用.首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题. ‎ ‎【解析】,两边平方可得 ‎ 是第二象限角,因此, ‎ 所以 ‎ 法二:单位圆中函数线+估算,因为是第二象限的角,又 ‎ 所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选. ‎ 二、填空题 ‎1.答案: ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. ‎ ‎【解析】由 ‎ 由可知 ‎ 当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值. ‎ ‎2. 【答案】. ‎ ‎【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. ‎ ‎【解析】∵为锐角,即,∴. ‎ ‎∵,∴.∴. ‎ ‎∴. ‎ ‎∴ ‎ ‎. ‎ ‎3.答案: ‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图像得到最值点. ‎ ‎【解析】由 ‎ 由可知 ‎ 当且仅当即时取得最小值,时即取得最大值. ‎ 三、解答题 ‎1. [解析](1)由已知,f(x)= ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以f(x)的最小正周期为2,值域为 ‎ ‎(2)由(1)知,f()= ‎ 所以cos(). ‎ 所以 ‎ ‎, ‎ ‎[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查化归与转化等数学思想. ‎ ‎2. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期. ‎ 因为点在函数图像上,所以. ‎ 又即. ‎ 又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为 ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由得 ‎ 的单调递增区间是 ‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得. ‎ ‎3. 【解析】(1)因为 ‎ ‎ ‎ 由直线是图像的一条对称轴,可得 ‎ 所以,即 ‎ 又,所以时,,故的最小正周期是. ‎ ‎(2)由的图象过点,得 ‎ 即,即 ‎ 故,函数的值域为. ‎ ‎【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量的范围确定函数的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查. ‎ ‎4. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化的思想. ‎ 解:(1)选择(2)式计算如下 ‎ ‎(2)证明: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5. 【考点定位】本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非常容易入手. ‎ 解:(1)由得,故的定义域为. ‎ 因为===, ‎ 所以的最小正周期. ‎ ‎(2)函数的单调递减区间为. ‎ 由得 ‎ 所以的单调递减区间为 ‎6. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,的最小正周期. ‎ ‎(2)因为在区间上是增函数,在区间上是减函数,又,,故函数在区间上的最大值为,最小值为. ‎ ‎【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. ‎ ‎7. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列,从而解得的取值范围,即可得的最在值. ‎ 解:(1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因,所以函数的值域为 ‎ ‎(2)因在每个闭区间上为增函数,故在每个闭区间上为增函数. ‎ 依题意知对某个成立,此时必有,于是 ‎ ‎,解得,故的最大值为. ‎ ‎8. [解析](Ⅰ)由已知可得: ‎ ‎=3cosωx+‎ 又由于正三角形ABC的高为2,则BC=4 ‎ 所以,函数 ‎ 所以,函数 ‎ ‎(Ⅱ)因为(Ⅰ)有 ‎ ‎ ‎ 由x0 ‎ 所以, ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. ‎ ‎9.解析:(Ⅰ), ‎ 则; ‎ ‎(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象, ‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数. ‎ 当时,,. ‎ 故函数在上的值域为. ‎ 另解:由可得,令, ‎ 则,而,则, ‎ 于是, ‎ 故,即函数在上的值域为. ‎ ‎10.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. ‎ 解析:(Ⅰ)因为 ‎ ‎. ‎ 由直线是图象的一条对称轴,可得, ‎ 所以,即. ‎ 又,,所以,故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎(Ⅱ)由的图象过点,得, ‎ 即,即. ‎ 故, ‎ 由,有, ‎ 所以,得, ‎ 故函数在上的取值范围为. ‎ ‎11.解析:(Ⅰ),所以. ‎ ‎(Ⅱ),所以.,所以.因为、,所以,,‎ 所以. ‎ ‎12. 【考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、考查运算能力、特殊与一般思想、化归与转化思想. ‎ 解:(1)选择(2)式计算如下 ‎ ‎(2)证明: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. 【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容易入手. ‎ 解:===‎ ‎ ‎ ‎=, ‎ ‎(1) 原函数的定义域为,最小正周期为π; ‎ ‎(2)原函数的单调递增区间为,. ‎ ‎14. 【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎(I)函数的最小正周期 ‎ ‎(2)当时, ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 得:函数在上的解析式为 ‎