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  • 2021-05-13 发布

走向高考2015高考一轮总复习人教A版数学108

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基础巩固强化 一、选择题 ‎1.某机械零件加工由2道工序组成,第1道工序的废品率为a,第2道工序的废品率为b,假定这2道工序出废品的概率彼此无关,那么产品的合格率是(  )‎ A.ab-a-b+1       B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab ‎[答案] A ‎[解析] 由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关,故产品的合格率为p=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.‎ ‎2.(2013·揭阳二模)把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现正面”为事件B,则P(B|A)等于(  )‎ A.     B.    ‎ C.     D. ‎[答案] A ‎[解析] A与B相互独立,∴P(B|A)=P(B)=.‎ ‎3.已知随机变量ξ满足条件ξ~B(n,p),且E(ξ)=12,D(ξ)=,则n与p的值分别为(  )‎ A.16与 B.20与 C.15与 D.12与 ‎[答案] C ‎[解析] ∵ξ~B(n,p),∴E(ξ)=np=12,D(ξ)=np(1-p)=,∴n=15,p=.‎ ‎4.(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎[答案] D ‎[解析] 依题意得,质点P移动五次后位于点(1,0),则这五次移动中必有两次向左移动,另三次向右移动,因此所求的概率等于C·()2·()3=,选D.‎ ‎5.设口袋中有黑球、白球共7个,从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望值为,则口袋中白球的个数为(  )‎ A.3 B.4 ‎ C.5 D.2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 设白球x个,则黑球7-x个,取出的2个球中所含白球个数为ξ,则ξ取值0,1,2,‎ P(ξ=0)==,‎ P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,‎ ‎∴0×+1×+2×=,‎ ‎∴x=3.‎ ‎6.设两个相互独立事件A、B都不发生的概率为,则A与B都发生的概率的取值范围是(  )‎ A.[0,] B.[,]‎ C.[,] D.[0,]‎ ‎[答案] D ‎[解析] 设事件A、B发生的概率分别为P(A)=x,P(B)=y,则P()=P()·P()=(1-x)·(1-y)=⇒1+xy=+x+y≥+2.当且仅当x=y时取“=”,∴≤或≥(舍),∴0≤xy≤.‎ ‎∴P(AB)=P(A)·P(B)=xy∈[0,].‎ 二、填空题 ‎7.同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数是3的倍数”为事件A,“两颗骰子的点数和大于 ‎8”‎为事件B,则P(B|A)=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 因为“红骰子向上的点数是3的倍数”的事件为A,“两颗骰子的点数和大于‎8”‎的事件为B,用枚举法可知A包含的基本事件为12个,A、B同时发生的基本事件为5个,即(3,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).所以P(B|A)=.‎ ‎8.已知随机变量ξ只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差d的取值范围是________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由条件知,‎ ‎∴P(ξ=x2)=,‎ ‎∵P(ξ=xi)≥0,∴公差d取值满足-≤d≤.‎ ‎9.(2013·临沂模拟)随机变量X的分布列如下:‎ X ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 由条件知, ‎∴a+c=,‎ ‎∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=a+c=.‎ 三、解答题 ‎10.(2012·广东理,17)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].‎ ‎(1)求图中x的值;‎ ‎(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.‎ ‎[分析] (1)利用频率和为1,可求X值;‎ ‎(2)先确定各部分人数,再确定ξ取值,利用组合知识,用古典概型求ξ的分布列,再求数学期望.‎ ‎[解析] (1)图中x所在组为[80,90)即第五组,‎ ‎∵由频率分布直方图的性质知,10×(0.054+x+0.01+3×0.006)=1,‎ ‎∴x=0.018.‎ ‎(2)成绩不低于80分的学生所占的频率为,‎ f=10×(0.018+0.006)=0.24.‎ 所以成绩不低于80分的学生有:‎50f=50×0.24=12人;‎ 成绩不低于90分的学生人数为:50×10×0.006=3人,‎ 所以ξ的取值为0,1,2.‎ P(ξ=0)==,‎ P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==.‎ 所以ξ的分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=.‎ 能力拓展提升 ‎11.(2013·江西理,18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X=0就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.‎ ‎(1)求小波参加学校合唱团的概率;‎ ‎(2)求X的分布列和数学期望.‎ ‎[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C=28种.‎ X=0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,‎ 所以小波参加学校合唱团的概率为P(X=0)==.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为-2,-1,0,1,‎ X=-2时,有2种情形;X=1时,有8种情形;X=-1时,有10种情形.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1× ‎=-.‎ ‎12.(2013·山东烟台一模)从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.‎ ‎(1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分;‎ ‎(2)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)记0分,在[70,100]记1分,用X表示抽取结束后的总得分,求X的分布列和数学期望.‎ ‎[解析] (1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,则有(0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得x=0.3,‎ 所以频率分布直方图如图所示.‎ 平均分为:‎ =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.‎ ‎(2)学生成绩在[40,70)的有(0.01+0.015×2)×10×60=24人,在[70,100]的有(0.03+0.025+0.005)×10×60=36人,并且X的所有可能取值是0,1,2.‎ 则P(X=0)==;P(X=1)==;‎ P(X=2)==.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)=0×+1×+2×=.‎ ‎13.(2013·北京理,16)下图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择‎3月1日至‎3月15日中的某一天到达该市,并停留2天.‎ ‎(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;‎ ‎(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)‎ ‎[解析] 设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13),‎ 根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=∅(i≠j).‎ ‎(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8,‎ 所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=.‎ ‎(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)‎ ‎=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,‎ P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)‎ ‎=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,‎ P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=.‎ 所以X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故X的期望E(X)=0×+1×+2×=.‎ ‎(3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.‎ ‎14.(2013·北京海淀期末)某公司准备将100万元资金投入代理销售业务,现有A,B两个项目可供选择:‎ ‎(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示:‎ X1‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎17‎ P a ‎0.4‎ b 且X1的数学期望E(X1)=12;‎ ‎(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关,B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整,两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0