双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用 4页

双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007）‎ 定理 F1 O F2 x P y 在双曲线（＞0，＞0）中，焦点分别为、，点P是双曲线上任意一点，，则.‎ 证明：记，由双曲线的第一定义得 在△中，由余弦定理得：‎ 配方得：‎ 即 由任意三角形的面积公式得：‎ ‎.‎ 同理可证，在双曲线（＞0，＞0）中，公式仍然成立.‎ 典题妙解 例1 设和为双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足，则△的面积是（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ 解：选A.‎ 例2 (03天津)已知、为双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若△的面积是1，则的值是___________.‎ 解: ,即 ‎，从而 例3 已知、为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，△的面积是，离心率为2，求双曲线的标准方程.‎ 解：由得：‎ 又 从而 所求的双曲线的标准方程为，或.‎ 金指点睛 ‎1. 已知双曲线的两个焦点为、，点P在双曲线上，且△的面积为，则 的值为( )‎ ‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.（05全国Ⅲ）已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上，且，则点M到轴的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 双曲线两焦点为F1，F2，点P在双曲线上，直线PF1，PF2倾斜角之差为则 ‎△F1PF2面积为( )‎ A．16 B．‎‎32 C．32 D．42‎ ‎5. 双曲线，、为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，求的大小.‎ ‎6. 已知双曲线（＞0，＞0）的焦点为、，P为双曲线上一点，且，，求双曲线的离心率.‎ 参考答案 ‎1. 解：，.‎ 又，.‎ ‎=.‎ 故答案选A.‎ ‎2. 解：.‎ 又，，而，.‎ 故答案选C.‎ ‎3. 解：，. .‎ 点M到轴的距离为h，则，.‎ 故答案选C.‎ ‎4. 解：设，则. .‎ 故答案选A.‎ ‎5. 解：由得. 设（）.‎ ‎.‎ 又.‎ ‎，即.‎ 整理得：，，，.‎ 故的大小为.‎ ‎6. 解：设，.‎ ‎. ‎ 又，‎ ‎. 得.‎ 离心率.‎