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- 2021-05-13 发布
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2012高考真题分类汇编:函数与方程
一、选择题
1.【2012高考真题重庆理7】已知是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“为上的增函数”是“为上的减函数”的
(A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件
(C)必要而不充分的条件 (D)充要条件
【答案】D
【解析】因为为偶函数,所以当在上是增函数,则在上则为减函数,又函数的周期是4,所以在区间也为减函数.若在区间为减函数,根据函数的周期可知在上则为减函数,又函数为偶函数,根据对称性可知,在上是增函数,综上可知,“在上是增函数”是“为区间上的减函数”成立的充要条件,选D.
2.【2012高考真题北京理8】某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。
3.【2012高考真题安徽理2】下列函数中,不满足:的是( )
【答案】C
【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。
【解析】与均满足:得:满足条件.
4.【2012高考真题天津理4】函数在区间(0,1)内的零点个数是
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】B
【解析】因为函数的导数为,所以函数单调递增,又,,所以根据根的存在定理可知在区间内函数的零点个数为1个,选B.
5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ,y=log52,,则
(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x
【答案】D
【解析】,,,,所以,选D.
6.【2012高考真题新课标理10】 已知函数;则的图像大致为( )
【答案】B
【解析】排除法,因为,排除A.,排除
C,D,选B.
7.【2012高考真题陕西理2】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】D.
【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数;B是奇函数且是减函数;C是奇函数且在,上是减函数;D中函数可化为易知是奇函数且是增函数.故选D.
8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集,则所表示的平面图形的面积为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由可知或者,在同一坐标系中做出平面区域如图:,由图象可知的区域为阴影部分,根据对称性可知,两部分阴影面积之和为圆面积的一半,所以面积为,选D.
9.【2012高考真题山东理3】设且,则“函数在上是减函数 ”,是“函数在上是增函数”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在R上为减函数,则有。函数为增函数,则有,所以,所以“函数在R上为减函数”是“函数
为增函数”的充分不必要条件,选A.
10.【2012高考真题四川理3】函数在处的极限是( )
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于
【答案】A.
【解析】即为,故其在处的极限不存在,选A.
11.【2012高考真题四川理5】函数的图象可能是( )
【答案】D
【解析】当时单调递增,,故A不正确;
因为恒不过点,所以B不正确;
当时单调递减,,故C不正确 ;D正确.
12.【2012高考真题山东理8】定义在上的函数满足.当时,,当时,。则
(A)335 (B)338 (C)1678 (D)2012
【答案】B
【解析】由,可知函数的周期为6,所以,,,,,,所以在一个周期内有,所以,选B.
13.【2012高考真题山东理9】函数的图像大致为
【答案】D
【解析】函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令得,所以,,函数零点有无穷多个,排除C,且轴右侧第一个零点为,又函数为增函数,当时,,,所以函数,排除B,选D.
14.【2012高考真题山东理12】设函数,若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是
A.当时,
B. 当时,
C. 当时,
D. 当时,
【答案】B
【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当时,要想满足条件,则有如图,做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为,由图象知即,同理当时,则有,故答案选B.
另法:,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点
.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案为B.
15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|,则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【答案】B
【解析】因为当时,f(x)=x3. 所以当,f(x)=f(2x)=(2x)3,
当时,g(x)=xcos;当时,g(x)= xcos,注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数,且f(0)= g(0), f(1)= g(1),,作出函数f(x)、 g(x)的大致图象,函数h(x)除了0、1这两个零点之外,分别在区间上各有一个零点,共有6个零点,故选B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大。
16.【2012高考真题江西理2】下列函数中,与函数定义域相同的函数为
A. B. C.y=xex D.
【答案】D
【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。
【解析】函数的定义域为。的定义域为,的定义域为,函数的定义域为,所以定义域相同的是D,选D.
17.【2012高考真题江西理3】若函数,则f(f(10)=
A.lg101 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。
【解析】,所以,选B.
18.【2012高考真题江西理10】如右图,已知正四棱锥所有棱长都为1,点E是侧棱上一动点,过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为
【答案】A
【解析】(定性法)当时,随着的增大,观察图形可知,单调递减,且递减的速度越来越快;当时,随着的增大,观察图形可知,单调递减,且递减的速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有A图象符合.故选A.
【点评】对于函数图象的识别问题,若函数的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.
19.【2012高考真题湖南理8】已知两条直线 :y=m 和: y=(m>0),与函数的图像从左至右相交于点A,B ,与函数的图像从左至右相交于C,D
.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像如下图,
由= m,得,= ,得.
依照题意得.
,.
【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像,结合图像可解得.
20.【2012高考真题湖北理9】函数在区间上的零点个数为
A.4 B.5
C.6 D.7
【答案】C
【解析】,则或,,又,
所以共有6个解.选C.
21.【2012高考真题广东理4】下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是
A.y=ln(x+2) B.y=- C.y=()x D.y=x+
【答案】A
【解析】函数y=ln(x+2)在区间(0,+∞)上为增函数;函数y=-在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=()x在区间(0,+∞)上为减函数;函数y=x+在区间(0,+∞)上为先减后增函数.故选A.
22.【2012高考真题福建理7】设函数则下列结论错误的是
A.D(x)的值域为{0,1}
B. D(x)是偶函数
C. D(x)不是周期函数D.
D(x)不是单调函数
【答案】C.
【解析】根据解析式易知A和D正确;若是无理数,则和也是无理数,若是有理数,则和也是有理数,所以,从而可知B正确,C错误.故选C.
23.【2012高考真题福建理10】函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①f(x)在[1,3]上的图像时连续不断的;
②f(x2)在[1,]上具有性质P;
③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有
其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【答案】D.
【解析】若函数在时是孤立的点,如图,则①可以排除;函数具有性质p,而函数不具有性质p,所以②可以排除;设,则,
即,又,所以,因此③正确;
所以④正确.故选D.
二、填空题
24.【2012高考真题福建理15】对于实数a和b,定义运算“﹡”:,
设,且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是_________________.
【答案】.
【命题立意】本题属于新概念型题目,考查了根据条件确定分段函数解析式的能力,以及数形结合的思想和基本推理与计算能力,难度较大.
【解析】由新定义得,所以可以画出草图,若方程有三个根,则,且当时方程可化为,易知;当时方程可化为,可解得,所以,又易知当时有最小值,所以,即.
25.【2012高考真题上海理7】已知函数(为常数)。若在区间上是增函数,则的取值范围是 。
【答案】
【解析】令,则在区间上单调递增,而为增函数,所以要是函数在单调递增,则有,所以的取值范围是。
26.【2012高考真题上海理9】已知是奇函数,且,若,则 。
【答案】
【解析】因为为奇函数,所以,所以,,
所以。
27.【2012高考江苏5】(5分)函数的定义域为 ▲ .
【答案】。
【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
。
28.【2012高考真题北京理14】已知,,若同时满足条件:
①,或;
②, 。
则m的取值范围是_______。
【答案】
【解析】根据,可解得。由于题目中第一个条件的限制,或成立的限制,导致在时必须是的。当时,不能做到在时,所以舍掉。因此,作为二次函数开口只能向下,故,且此时两个根为,。为保证此条件成立,需要,和大前提取交集结果为;又由于条件2:要求,0的限制,可分析得出在时,恒负,因此就需要在这个范围内有得正数的可能,即应该比两根中小的那个大,当时,,解得,交集为空,舍。当时,两个根同为
,舍。当时,,解得,综上所述.
29.【2012高考真题天津理14】已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是_________.
【答案】或
【解析】函数,当时,,当时,,综上函数,做出函数的图象(蓝线),要使函数与有两个不同的交点,则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外,如图,则此时当直线经过,,综上实数的取值范围是且,即或。
30.【2012高考江苏10】(5分)设是定义在上且周期为2的函数,在区间上,
其中.若,
则的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数,∴,即①。
又∵,,
∴②。
联立①②,解得,。∴。
三、解答题
31.【2012高考真题江西理22】 (本小题满分14分)
若函数h(x)满足
(1)h(0)=1,h(1)=0;
(2)对任意,有h(h(a))=a;
(3)在(0,1)上单调递减。
则称h(x)为补函数。已知函数
(1)判函数h(x)是否为补函数,并证明你的结论;
(2)若存在,使得h(m)=m,若m是函数h(x)的中介元,记时h(x)的中介元为xn,且,若对任意的,都有Sn< ,求的取值范围;
(3)当=0,时,函数y= h(x)的图像总在直线y=1-x的上方,求P的取值范围。
【答案】
【点评】本题考查导数的应用、函数的新定义,函数与不等式的综合应用以及分类讨论,数形结合的数学思想. 高考中,导数解答题一般有以下几种考查方向:一、导数的几何意义,求函数的单调区间;二、用导数研究函数的极值,最值;三、用导数求最值的方法证明不等式.来年需要注意用导数研究函数最值的考查.
32.【2012高考真题上海理20】(6+8=14分)已知函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数()的反函数.
【答案】
【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识.考查数形结合思想,熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质,属于中档题.
33.【2012高考真题上海理21】(6+8=14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标.若此时两船恰好会合,求
救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
【答案】
34.【2012高考真题陕西理21】 (本小题满分14分)
设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意,有,求的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性。
【答案】
35.【2012高考江苏17】(14分)如图,建立平面直角坐标系,轴在地平面上,轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上,其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标
不超过多少时,
炮弹可以击中它?请说明理由.
【答案】解:(1)在中,令,得。
由实际意义和题设条件知。
∴,当且仅当时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
(2)∵,∴炮弹可以击中目标等价于存在,使成立,
即关于的方程有正根。
由得。
此时,(不考虑另一根)。
∴当不超过6千米时,炮弹可以击中目标。
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【解析】(1)求炮的最大射程即求与轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。
(2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。
36.【2012高考真题湖南理20】(本小题满分13分)
某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【答案】解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
由题设有
期中均为1到200之间的正整数.
(Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为
易知,为减函数,为增函数.注意到
于是
(1)当时, 此时
,
由函数的单调性知,当时取得最小值,解得
.由于
.
故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为.
(2)当时, 由于为正整数,故,此时易知为增函数,则
.
由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.由于
此时完成订单任务的最短时间大于.
(3)当时, 由于为正整数,故,此时由函数的单调性知,
当时取得最小值,解得.类似(1)的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为,大于.
综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数
分别为44,88,68.
【解析】【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.