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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)
选择题部分(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013浙江,文1)设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=( ).
A.[-4,+∞) B.(-2,+∞) C.[-4,1] D.(-2,1]
2.(2013浙江,文2)已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ).
A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i
3.(2013浙江,文3)若α∈R,则“α=0”是sin α<cos α”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2013浙江,文4)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ).
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
5.(2013浙江,文5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ).
A.108 cm3 B.100 cm3 C.92 cm3 D.84 cm3
6.(2013浙江,文6)函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是( ).
A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2
7.(2013浙江,文7)已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则( ).
A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0
8.(2013浙江,文8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是( ).
9.(2013浙江,文9)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( ).
A. B. C. D.
10.(2013浙江,文10)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:
a∧b=a∨b=
若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( ).
A.a∧b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2
C.a∨b≥2,c∧d≤2 D.a∨b≥2,c∨d≥2
非选择题部分(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.(2013浙江,文11)已知函数f(x)=.若f(a)=3,则实数a=__________.
12.(2013浙江,文12)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于__________.
13.(2013浙江,文13)直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于__________.
14.(2013浙江,文14)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值等于__________.
15.(2013浙江,文15)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=__________.
16.(2013浙江,文16)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=__________.
17.(2013浙江,文17)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夹角为,则的最大值等于__________.
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(2013浙江,文18)(本题满分14分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.
19.(2013浙江,文19)(本题满分14分)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
20.(2013浙江,文20)(本题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成的角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
21.(2013浙江,文21)(本题满分15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
22.(2013浙江,文22)(本题满分14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(浙江卷)
选择题部分(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:D
解析:集合S与集合T都表示连续的实数集,此类集合的运算可通过数轴直观表示出来.,故S∩T={x|-2<x≤1},故选D.
2.
答案:C
解析:(2+i)(3+i)=6+5i+i2,因为i2=-1,所以(2+i)(3+i)=5+5i,故选C.
3.
答案:A
解析:当α=0时,sin α<cos α成立;若sin α<cos α,α可取等值,所以“α=0”是“sin α<cos α”的充分不必要条件.故选A.
4.
答案:C
解析:A选项中直线m,n可能平行,也可能相交或异面,直线m,n的关系是任意的;B选项中,α与β也可能相交,此时直线m平行于α,β的交线;D选项中,m也可能平行于β.故选C.
5.
答案:B
解析:由三视图可知,该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥,故几何体的体积是6×3×6-××3×42=100(cm3).故选B.
6.
答案:A
解析:由y=sin xcos x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=,因为ω=2,所以T==π,又观察f(x)可知振幅为1,故选A.
7.
答案:A
解析:由f(0)=f(4)知二次函数f(x)=ax2+bx+c对称轴为x=2,即.所以4a+b=0,又f(0)>f(1)且f(0),f(1)在对称轴同侧,故函数f(x)在(-∞,2]上单调递减,则抛物线开口方向朝上,知a>0,故选A.
8.
答案:B
解析:由导函数图象知,函数f(x)在[-1,1]上为增函数.当x∈(-1,0)时f′(x)由小到大,则f(x)图象的增长趋势由缓到快,当x∈(0,1)时f′(x)由大到小,则f(x)的图象增长趋势由快到缓,故选B.
9.
答案:D
解析:椭圆C1中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=.又四边形AF1BF2为矩形,∴∠F1AF2=90°,∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,∴|AF1|=,|AF2|=,∴双曲线C2中,2c=,2a=|AF2|-|AF1
|=,故,故选D.
10.
答案:C
解析:由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由ab≥4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d≤4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选C.
非选择题部分(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.答案:10
解析:由f(a)==3,得a-1=9,故a=10.
12.答案:
解析:从3男,3女中任选两名,共有15种基本情况,而从3女中任选2名女同学,则有3种基本情况,故所求事件的概率为.
13.答案:
解析:圆的圆心为(3,4),半径是5,圆心到直线的距离,可知弦长.
14.
答案:
解析:该程序框图为循环结构.
当k=1时,S=1+=;
当k=2时,;
当k=3时,;
当k=4时,,循环结束,输出.
15.答案:2
解析:满足条件的区域D如图阴影部分所示,且A(2,3),B(4,4),C(2,0).作直线l0:y=-kx,当k>0时,y=-kx为减函数,在B处z最大,此时k=2;当k<0时,y=-kx为增函数,当-k∈时,在B处z取最大值,此时k=2(舍去);当-k>时,在A处取得最大值,(舍去),故k=2.
16.答案:-1
解析:令x=1,得0≤1-1+a+b≤0,
整理,得a+b=0,①
令x=-1,得0≤1-(-1)-a+b≤0,
整理,得a-b=2,②
解①②组成的方程组,得
∴ab=-1.
17.答案:2
解析:因为b≠0,所以b=xe1+ye2,x≠0,y≠0.
又|b|2=(xe1+ye2)2=x2+y2+xy,,不妨设,则,当时,t2+t+1取得最小值,此时取得最大值,所以的最大值为2.
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.
解:(1)由2asin B=b及正弦定理,得sin A=.
因为A是锐角,所以.
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.
又b+c=8,所以.
由三角形面积公式S=bcsin A,得△ABC的面积为.
19.
解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,
即d2-3d-4=0.
故d=-1或d=4.
所以an=-n+11,n∈N*或an=4n+6,n∈N*.
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,因为d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=.
当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=+110.
综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
20.
解:(1)设点O为AC,BD的交点.
由AB=BC,AD=CD,得BD是线段AC的中垂线.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面APC.
(2)连结OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面APC所成的角.
由题意得OG=PA=.
在△ABC中,
AC=
=,
所以OC=AC=.
在直角△OCD中,OD==2.
在直角△OGD中,tan∠OGD=.
所以DG与平面APC所成的角的正切值为.
(3)连结OG.因为PC⊥平面BGD,OG平面BGD,所以PC⊥OG.
在直角△PAC中,得PC=.
所以GC=.
从而PG=,
所以.
21.
解:(1)当a=1时,f′(x)=6x2-12x+6,
所以f′(2)=6.
又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.
(2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).
令f′(x)=0,得到x1=1,x2=a.
当a>1时,
x
0
(0,1)
1
(1,a)
a
(a,2a)
2a
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
0
单调递增
极大值3a-1
单调递减
极小值a2(3-a)
单调
递增
4a3
比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=
当a<-1时,
x
0
(0,1)
1
(1,-2a)
-2a
f′(x)
-
0
+
f(x)
0
单调递减
极小值3a-1
单调递增
-28a3-24a2
得g(a)=3a-1.
综上所述,f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值为g(a)=
22.
解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则,
所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
从而|x1-x2|=4.
由
解得点M的横坐标.
同理点N的横坐标xN=.
所以|MN|=|xM-xN|
=
=
=.
令4k-3=t,t≠0,则.
当t>0时,|MN|=.
当t<0时,|MN|=.
综上所述,当,即时,|MN|的最小值是.