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- 2021-05-13 发布
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2016 年吉林省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(九)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则 A∩(∁RB)=( )
A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)
2.已知命题 p:∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0,则¬p 是( )
A.∃x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))
(x2﹣x1)≤0
C.∃x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))
(x2﹣x1)<0
3.若复数 z 满足 z(2﹣i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( )
A.3+5iB.3﹣5iC.﹣3+5iD.﹣3﹣5i
4.已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0
5.已知 x,y 满足约束条件 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( )
A.3B.2C.﹣2D.﹣3
6.阅读如图所示的程序图,运行相应的程序输出的结果 s=( )
A.1B.4C.9D.16
7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分
布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为( )
A.100B.1000C.90D.900
8.关于正态曲线性质的叙述:
①曲线关于直线 x=μ 对称,这个曲线在 x 轴上方;
②曲线关于直线 x=σ 对称,这个曲线只有当 x∈(﹣3σ,3σ)时才在 x 轴上方;
③曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数;
④曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定;
⑥σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”.
上述说法正确的是( )
A.①④⑤⑥B.②④⑤C.③④⑤⑥D.①⑤⑥
9.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且
都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩
灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是( )
A. B. C. D.
10.抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是( )
A. B. C.1D.
11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于______cm2.( )
A.16B.18C.24D.26
12.函数 f(x)= ﹣cosx 在[0,+∞)内 ( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 夹角为 45°,且 ,则 = .
14.(1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 .
15. sinxdx= .
16.已知半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正方体的表面积之比
是 .
三、解答题:(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0,
).
(1)若 ⊥ ,求 tanx 的值;
(2)若 与 的夹角为 ,求 x 的值.
18.在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选
出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的歌
迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没
有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率;
(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列和数学期望.
19.如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中
点.
(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值;
(2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.
20.如图,点 P(0,﹣1)是椭圆 C1: + =1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是
圆 C2:x2+y2=4 的直径,l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A、B 两
点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.
(1)求椭圆 C1 的方程;
(2)求△ABD 面积的最大值时直线 l1 的方程.
21.设 x1,x2(x1≠x2)是函数 f(x)=ax3+bx2﹣a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若 x1=﹣1,x2=2,求函数 f(x)的解析式;
(2)若 ,求 b 的最大值.
(3)若 x1<x<x2,且 x2=a,g(x)=f'(x)﹣a(x﹣x1),求证:
.
请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修
4-1:几何证明选讲]
22.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.
(1)证明:△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC 的面积 S= AD•AE,求∠BAC 的大小.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).在极坐标系
(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,
圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ.
(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, ),求|PA|+|PB|.
[选修 4-5:不等式选讲]
24.例 3.设 a>0,b>0,解关于 x 的不等式:|ax﹣2|≥bx.
2016 年吉林省实验中学高考数学模拟试卷(理科)(九)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
1.设集合 A={x|1<x<4},集合 B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则 A∩(∁RB)=( )
A.(1,4)B.(3,4)C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由题意,可先解一元二次不等式,化简集合 B,再求出 B 的补集,再由交的运算
规则解出 A∩(∁RB)即可得出正确选项
【解答】解:由题意 B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3},故∁RB={x|x<﹣1 或 x>3},
又集合 A={x|1<x<4},
∴A∩(∁RB)=(3,4)
故选 B
2.已知命题 p:∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0,则¬p 是( )
A.∃x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))
(x2﹣x1)≤0
C.∃x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))
(x2﹣x1)<0
【考点】命题的否定.
【分析】由题意,命题p 是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定
作结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项
【解答】解:命题 p:∀x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)≥0 是一个全称命题,其否
定是一个特称命题,
故¬p:∃x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0.
故选:C.
3.若复数 z 满足 z(2﹣i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( )
A.3+5iB.3﹣5iC.﹣3+5iD.﹣3﹣5i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】等式两边同乘 2+i,然后化简求出 z 即可.
【解答】解:因为 z(2﹣i)=11+7i(i 为虚数单位),
所以 z(2﹣i)(2+i)=(11+7i)(2+i),
即 5z=15+25i,
z=3+5i.
故选 A.
4.已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( )
A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】由 a3,a4,a8 成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断 a1d 和 dS4 的符号.
【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,
由 a3,a4,a8 成等比数列,得 ,整理得:
.
∵d≠0,∴ ,
∴ ,
= <0.
故选:B.
5.已知 x,y 满足约束条件 ,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a=( )
A.3B.2C.﹣2D.﹣3
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z 的
最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
则 A(2,0),B(1,1),
若 z=ax+y 过 A 时取得最大值为 4,则 2a=4,解得 a=2,
此时,目标函数为 z=2x+y,
即 y=﹣2x+z,
平移直线 y=﹣2x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 4,满足条件,
若 z=ax+y 过 B 时取得最大值为 4,则 a+1=4,解得 a=3,
此时,目标函数为 z=3x+y,
即 y=﹣3x+z,
平移直线 y=﹣3x+z,当直线经过 A(2,0)时,截距最大,此时 z 最大为 6,不满足条件,
故 a=2,
故选:B
6.阅读如图所示的程序图,运行相应的程序输出的结果 s=( )
A.1B.4C.9D.16
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 n,s,a 的值,当 n=3 时,不满足条件 n
<3,退出循环,输出 s 的值为 9.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
a=1,s=0,n=1
s=1,a=3
满足条件 n<3,n=2,s=4,a=5
满足条件 n<3,n=3,s=9,a=7
不满足条件 n<3,退出循环,输出 s 的值为 9,
故选:C.
7.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分
布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为( )
A.100B.1000C.90D.900
【考点】用样本的频率分布估计总体分布.
【分析】根据频率直方图的意义,由前三个小组的频率可得样本在[50,60)元的频率,计
算可得样本容量.
【解答】解:由题意可知:前三个小组的频率之和=(0.01+0.024+0.036)×10=0.7,
∴支出在[50,60)元的频率为 1﹣0.7=0.3,
∴n 的值= ;
故选 A.
8.关于正态曲线性质的叙述:
①曲线关于直线 x=μ 对称,这个曲线在 x 轴上方;
②曲线关于直线 x=σ 对称,这个曲线只有当 x∈(﹣3σ,3σ)时才在 x 轴上方;
③曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数;
④曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定;
⑥σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高瘦”.
上述说法正确的是( )
A.①④⑤⑥B.②④⑤C.③④⑤⑥D.①⑤⑥
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
【分析】根据正态曲线的性质,分析选项,即可得出结论.
【解答】解:根据正态曲线的性质,曲线关于直线x=μ 对称,当 x∈(﹣∞,+∞)时,正态
曲线全在 x 轴上方,故①正确,②不正确;
只有当 μ=0 时,正态曲线才关于 y 轴对称,故③不正确;
曲线关于直线 x=μ 对称,曲线在 x=μ 时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐
渐降低,故④正确;
曲线的对称轴由 μ 确定,曲线的形状由 σ 确定;σ 越大,曲线越“矮胖”,σ 越小,曲线越“高
瘦”.故⑤⑥正确.
故选:A.
9.节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且
都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩
灯同时通电后,它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,由题意可得 0≤x≤4,0≤y≤4,要满足条
件须|x﹣y|≤2,作出其对应的平面区域,由几何概型可得答案.
【解答】解:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,
由题意可得 0≤x≤4,0≤y≤4,
它们第一次闪亮的时候相差不超过 2 秒,则|x﹣y|≤2,
由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,
由图可知所求的概率为: =
故选 C
10.抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是( )
A. B. C.1D.
【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】根据抛物线的标准方程,算出抛物线的焦点 F(1,0).由双曲线标准方程,算出
它的渐近线方程为 y=± x,化成一般式得: ,再用点到直线的距离公式即可
算出所求距离.
【解答】解:∵抛物线方程为 y2=4x
∴2p=4,可得 =1,抛物线的焦点 F(1,0)
又∵双曲线的方程为
∴a2=1 且 b2=3,可得 a=1 且 b= ,
双曲线的渐近线方程为 y=± ,即 y=± x,
化成一般式得: .
因此,抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= =
故选:B
11.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于______cm2.( )
A.16B.18C.24D.26
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图得出该几何体是直三棱柱,去掉一个底面相同的三棱锥,求出它的体积
即可.
【解答】解:根据几何体的三视图得:
该几何体是底面为直角三角形,高为 5 的直三棱柱,
去掉一个底面为相同的直角三角形,高为 3 的三棱锥,
∴该几何体的体积为:V 几何体=V 三棱柱﹣V 三棱锥
= ×4×3×5﹣ × ×4×3×3=24
故选:C.
12.函数 f(x)= ﹣cosx 在[0,+∞)内 ( )
A.没有零点 B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】根据余弦函数的最大值为 1,可知函数在[π,+∞)上为正值,在此区间上函数没
有零点,问题转化为讨论函数在区间[0,π)上的零点的求解,利用导数讨论单调性即可.
【解答】解:f′(x)= +sinx
①当 x∈[0.π)时, >0 且 sinx>0,故 f′(x)>0
∴函数在[0,π)上为单调增
取 x= <0,而 >0
可得函数在区间(0,π)有唯一零点
②当 x≥π 时, >1 且 cosx≤1
故函数在区间[π,+∞)上恒为正值,没有零点
综上所述,函数在区间[0,+∞)上有唯一零点
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 夹角为 45°,且 ,则 = 3 .
【考点】平面向量数量积的运算;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【分析】由已知可得, = ,代入|2 |=
= = = 可求
【解答】解:∵ , =1
∴ =
∴|2 |= = = =
解得
故答案为:3
14.(1+x)8(1+y)4 的展开式中 x2y2 的系数是 168 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据(1+x)8 和(1+y)4 的展开式的通项公式可得 x2y2 的系数.
【解答】解:根据(1+x)8 和(1+y)4 的展开式的通项公式可得,x2y2 的系数为
C82•C42=168,
故答案为:168
15. sinxdx= 0 .
【考点】定积分.
【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可.
【解答】解: sinxdx=﹣cosx| =0,
故答案为:0
16.已知半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是 3π:
4 .
【考点】球的体积和表面积.
【分析】将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体,构成的
长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.
【解答】解:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体,构
成的长方体刚好是这个球的内接长方体,那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为 a,球的半径是 R,则根据长方体的对角线性质,得(2R)2=a2+a2+(2a)
2,即 4R2=6a2,∴R=frac{sqrt{6}}{2}a
从而 S 半球的表面积=3πR2= πa2,S 正方体=6a2,
因此 S 半球的表面积:S 正方体=3π:4,
故答案为:3π:4.
三、解答题:(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤)
17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0,
).
(1)若 ⊥ ,求 tanx 的值;
(2)若 与 的夹角为 ,求 x 的值.
【考点】平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角.
【分析】(1)若 ⊥ ,则 • =0,结合三角函数的关系式即可求 tanx 的值;
(2)若 与 的夹角为 ,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求 x 的值.
【解答】解:(1)若 ⊥ ,
则 • =( ,﹣ )•(sinx,cosx)= sinx﹣ cosx=0,
即 sinx= cosx
sinx=cosx,即 tanx=1;
(2)∵| |= ,| |= =1, • =
( ,﹣ )•(sinx,cosx)= sinx﹣ cosx,
∴若 与 的夹角为 ,
则 • =| |•| |cos = ,
即 sinx﹣ cosx= ,
则 sin(x﹣ )= ,
∵x∈(0, ).
∴x﹣ ∈(﹣ , ).
则 x﹣ =
即 x= + = .
18.在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选
出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号歌手的歌
迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没
有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率;
(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列和数学期望.
【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
【分析】(I)设事件 A 表示:“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”,观众甲选中
3 号歌手的概率为 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1﹣ = ,利用互斥事件的概率公
式,即可求得结论;
(II)由题意,X 可取 0,1,2,3,求出相应的概率,即可得到 X 的分布列与数学期望.
【解答】解:(Ⅰ)设事件 A 表示:“观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手”,
观众甲选中 3 号歌手的概率为 ,观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1﹣ = ,
∴P(A)= ,
∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 ;
(Ⅱ) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3.
观众甲选中 3 号歌手的概率为 ,观众乙选中 3 号歌手的概率为 ,
当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0,P(X=0)=(1﹣ )(1﹣ )2= ,
当观众甲、乙、丙只有一人选中 3 号歌手时,这时 X=1,
P(X=1)= (1﹣ )2+(1﹣ ) (1﹣ )+(1﹣ )(1﹣ ) = ,
当观众甲、乙、丙只有二人选中 3 号歌手时,这时 X=2,
P(X=2)= • (1﹣ )+(1﹣ ) • + (1﹣ ) = ,
当观众甲、乙、丙都选中 3 号歌手时,这时 X=3,
P(X=3)= •( )2= ,
X 的分布列如下:
X 0 1 2 3
P
∴数学期望 EX=0× +1× +2× +3× = .
19.如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中
点.
(1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值;
(2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.
【考点】与二面角有关的立体几何综合题;异面直线及其所成的角.
【分析】(1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,利用向量
法能求出异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值.
(2)分别求出平面 ABA1 的法向量和平面 ADC1 的法向量,利用向量法能求出平面 ADC1
与 ABA1 所成二面角的余弦值,再由三角函数知识能求出平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的
正弦值.
【解答】解:(1)以{ }为单位正交基底建立空间直角坐标系 A﹣xyz,
则由题意知 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),
A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4),
∴ , =(1,﹣1,﹣4),
∴cos< >= = = ,
∴异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 .
(2) 是平面 ABA1 的一个法向量,
设平面 ADC1 的法向量为 ,
∵ ,
∴ ,取 z=1,得 y=﹣2,x=2,
∴平面 ADC1 的法向量为 ,
设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为 θ,
∴cosθ=|cos< >|=| |= ,
∴sinθ= = .
∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值为 .
20.如图,点 P(0,﹣1)是椭圆 C1: + =1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是
圆 C2:x2+y2=4 的直径,l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A、B 两
点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.
(1)求椭圆 C1 的方程;
(2)求△ABD 面积的最大值时直线 l1 的方程.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由题意可得 b=1,2a=4,即可得到椭圆的方程;
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意可知:直线 l1 的斜率存在,设为 k,
则直线 l1 的方程为 y=kx﹣1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心 O 到直线
l1 的距离和弦长|AB|,又 l2⊥l1,可得直线 l2 的方程为 x+kx+k=0,与椭圆的方程联立即可得
到点 D 的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形 ABD 的面积,利用基本不等式的性质即
可得出其最大值,即得到 k 的值.
【解答】解:(1)由题意可得 b=1,2a=4,即 a=2.
∴椭圆 C1 的方程为 ;
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
由题意可知:直线 l1 的斜率存在,设为 k,则直线 l1 的方程为 y=kx﹣1.
又圆 的圆心 O(0,0)到直线 l1 的距离 d= .
∴|AB|= = .
又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0,联立 ,消去 y 得到(4+k2)
x2+8kx=0,解得 ,
∴|PD|= .
∴三角形 ABD 的面积 S△= = ,
令 4+k2=t>4,则 k2=t﹣4,
f(t)= = = ,
∴S△= ,当且仅 ,即 ,当 时取等号,
故所求直线 l1 的方程为 .
21.设 x1,x2(x1≠x2)是函数 f(x)=ax3+bx2﹣a2x(a>0)的两个极值点.
(1)若 x1=﹣1,x2=2,求函数 f(x)的解析式;
(2)若 ,求 b 的最大值.
(3)若 x1<x<x2,且 x2=a,g(x)=f'(x)﹣a(x﹣x1),求证:
.
【考点】函数在某点取得极值的条件;函数解析式的求解及常用方法;一元二次方程的根的
分布与系数的关系.
【分析】(1)求导函数,根据 x1=﹣1,x2=2 是函数 f(x)的两个极值点,即可求得函数 f
(x)的解析式;
(2)根据 x1,x2 是函数 f(x)的两个极值点,可知 x1,x2 是方程 3ax2+2bx﹣a2=0 的两根,
从而 ,利用 ,可得 b2=3a2(6﹣a),令
h(a)=3a2(6﹣a),利用导数,即可求得 b 的最大值;
(3)根据 x1,x2 是方程 3ax2+2bx﹣a2=0 的两根,可得 f'(x)=3a(x﹣x1)(x﹣x2),根据
,可得 ,进而有 =
,利用配方法即可得出结论.
【解答】解:(1)求导函数,可得 f′(x)=3ax2+2bx﹣a2,
∵x1=﹣1,x2=2 是函数 f(x)的两个极值点,
∴f'(﹣1)=0,f'(2)=0,
∴3a﹣2b﹣a2=0,12a+4b﹣a2=0,
解得 a=6,b=﹣9.
∴f(x)=6x3﹣9x2﹣36x.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2)∵x1,x2 是函数 f(x)的两个极值点,∴f'(x1)=f'(x2)=0.
∴x1,x2 是方程 3ax2+2bx﹣a2=0 的两根,故有△=4b2+12a3>0 对一切 a>0,b∈R 恒成立.
∴ ,
∵a>0,∴x1•x2<0,
∴
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由 得 ,
∴b2=3a2(6﹣a).
∵b2≥0,∴3a2(6﹣a)≥0,∴0<a≤6.
令 h(a)=3a2(6﹣a),则 h′(a)=36a﹣9a2.
当 0<a<4 时,h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)内是增函数;
当 4<a<6 时,h′(a)<0,∴h(a)在(0,4)内是减函数;
∴当 a=4 时,h(a)是极大值为 96,
∴h(a)在(0,6)上的最大值是 96,∴b 的最大值是 .…
(3)∵x1,x2 是方程 3ax2+2bx﹣a2=0 的两根.∴f'(x)=3a(x﹣x1)(x﹣x2)
∵ ,∴
∴ …
∵x1<x<x2,
∴ ═
=﹣3a
请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修
4-1:几何证明选讲]
22.如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.
(1)证明:△ABE∽△ADC;
(2)若△ABC 的面积 S= AD•AE,求∠BAC 的大小.
【考点】圆內接多边形的性质与判定.
【分析】(1)要判断两个三角形相似,可以根据三角形相似判定定理进行证明,但注意观察
已知条件中给出的是角的关系,故采用判定定理 1 更合适,故需要再找到一组对应角相等,
由圆周角定理,易得满足条件的角.
(2)根据(1)的结论,我们可得三角形对应对成比例,由此我们可以将△ABC 的面积
转化为 S= AB•AC,再结合三角形面积公式,不难得到∠BAC 的大小.
【解答】证明:(1)由已知△ABC 的角平分线为 AD,
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角,
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC.
解:(2)因为△ABE∽△ADC,
所以 ,
即 AB•AC=AD•AE.
又 S= AB•ACsin∠BAC,
且 S= AD•AE,
故 AB•ACsin∠BAC=AD•AE.
则 sin∠BAC=1,
又∠BAC 为三角形内角,
所以∠BAC=90°.
[选修 4-4:坐标系与参数方程]
23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数).在极坐标系
(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,
圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ.
(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;
(Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, ),求|PA|+|PB|.
【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(I)由⊙C 的方程 可得: ,利用极坐标化为直
角坐标的公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可得出..
(II)把直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入⊙C 的方程得到关于 t 的一元二
次方程,即可得到根与系数的关系,根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出.
【解答】解:(I)由⊙C 的方程 可得: ,化为
.
(II)把直线 l 的参数方程 (t 为参数)代入⊙C 的方程得
=0,化为 .
∴ .(t1t2=4>0).
根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= .
[选修 4-5:不等式选讲]
24.例 3.设 a>0,b>0,解关于 x 的不等式:|ax﹣2|≥bx.
【考点】绝对值不等式.
【分析】首先分析题目由 a>0,b>0,解关于 x 的不等式:|ax﹣2|≥bx,去绝对值号得到
ax﹣2≥bx 或 ax﹣2≤﹣bx,对于不等式 ax﹣2≤﹣bx,可直接解得.对于不等式 ax﹣2≥bx,需
要分别讨论当 a>b>0 时,当 a=b>0 时,当 0<a<b 时的解集,然后取它们的并集即得到
答案.
【解答】解:原不等式|ax﹣2|≥bx 可化为 ax﹣2≥bx 或 ax﹣2≤﹣bx,
(1)对于不等式 ax﹣2≤﹣bx,即(a+b)x≤2 因为 a>0,b>0 即: .
(2)对于不等式 ax﹣2≥bx,即(a﹣b)x≥2①
当 a>b>0 时,由①得 ,∴此时,原不等式解为: 或 ;
当 a=b>0 时,由①得 x∈ϕ,∴此时,原不等式解为: ;
当 0<a<b 时,由①得 ,∴此时,原不等式解为: .
综上可得,当 a>b>0 时,原不等式解集为 ,
当 0<a≤b 时,原不等式解集为 .
2016 年 7 月 19 日