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- 2021-05-13 发布
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2009年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数学(文史类)
一、 选择题:本大题12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M=﹛x|-3<x5﹜,N=﹛x|x<-5或x>5﹜,则MN=
(A) ﹛x|x<-5或x>-3﹜ (B) ﹛x|-5<x<5﹜
(C) ﹛x|-3<x<5﹜ (D) ﹛x|x<-3或x>5﹜
(2)已知复数,那么=
(A) (B)
(C) (D)
(3)已知为等差数列,且-2=-1, =0,则公差d=
(A)-2 (B)- (C) (D)2
(4)平面向量a与b的夹角为,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |=
(A) (B)2 (C)4 (D)12
(5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为
(A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25
(6) 已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=
(A) (B) (C) (D)
(7) 已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C
的方程为
(A) (B)
(C) (D)
(8)已知,则
(A) (B) (C) (D)
(9)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为
(A) (B) (C) (D)
(10)某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据,,。。。,其中收入记为正数,支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V,那么在图中空白的判断框和处理框中,应分别填入下列四个选项中的
(A)A>0,V=S-T (B) A<0,V=S-T
(C) A>0, V=S+T (D)A<0, V=S+T
(11)下列4个命题
㏒1/2x>㏒1/3x
㏒1/2x ㏒1/3x
其中的真命题是
(A) ( B) (C) (D)
(12)已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x 取值范围是
(A)(,) (B) [,) (C)(,) (D) [,)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)在平面直角坐标系xoy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为___________.
(14)已知函数的图象如图所示,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则 =
(15)若函数在处取极值,则
(16)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)。 则该几何体的体积为
三.解答题:本大题共6小题,共70分。解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)
等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)求-=3,求 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(18)(本小题满分12分)
如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(19)(本小题满分12分)
如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点。
(I)若CD=2,平面ABCD ⊥平面DCEF,求直线MN的长;
(II)用反证法证明:直线ME 与 BN 是两条异面直线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(20)(本小题满分12分)
某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件,量其内径尺寸,的结果如下表:
(1) 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2) 由于以上统计数据填下面列联表,并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。
甲 厂
乙 厂
合计
优质品
非优质品
合计
附: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(21)(本小题满分12分)
设,且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行。
(I) 求a的值,并讨论f(x)的单调性;
(II) 证明:当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(22)(本小题满分12分)
已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
参考答案及其解析
一、 选择题:本大题12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.
【答案】A
(2)【解析】=
【答案】C
(3)【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 Þ d=-
【答案】B
(4)【解析】由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12
∴
【答案】B
(5)【解析】设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°=R
而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.
【答案】C
(6) 已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=
(A) (B) (C) (D)
【解析】∵3<2+log23<4,所以f(2+log23)=f(3+log23)
且3+log23>4
∴=f(3+log23)
=
【答案】A
(7) 【解析】圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.
【答案】B
(8)【解析】
==
【答案】D
(9)【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为
因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2=
取到的点到O的距离大于1的概率为
【答案】B
(10)【解析】月总收入为S,因此A>0时归入S,判断框内填A>0
支出T为负数,因此月盈利V=S+T
【答案】C
(11)【解析】取x=,则㏒1/2x=1,㏒1/3x=log32<1,p2正确
当x∈(0,)时,()x<1,而㏒1/3x>1.p4正确
【答案】D
(12)【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(|x|)
∴得f(|2x-1|)<f(),再根据f(x)的单调性
得|2x-1|< 解得<x<
【答案】A
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。
(13)【解析】平行四边形ABCD中,
∴=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2)
即D点坐标为(0,-2)
【答案】(0,-2)
(14)【解析】由图象可得最小正周期为
∴T= Þ ω=
【答案】
(15)【解析】f’(x)=
f’(1)==0 Þ a=3
【答案】3
(16)【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3,
体积等于×2×4×3=4
【答案】4
三.解答题:本大题共6小题,共70分。解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分10分)
解: (Ⅰ)依题意有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由于 ,故
又,从而 5分
(Ⅱ)由已知可得
故
从而 10分
(18)(本小题满分12分)
解: 在中,=30°,=60°-=30°,
所以CD=AC=0.1
又=180°-60°-60°=60°,
故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA 5分
在中,,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
即AB=
因此,
故B、D的距离约为0.33km。 12分
(19)(本小题满分12分)
解 (Ⅰ)取CD的中点G连结MG,NG.
因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,
所以MG⊥CD,MG=2,.
因为平面ABCD⊥平面DCEF,
所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG.
所以 ……6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面, …..8分
则平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN,
由已知,两正方形不共面,故平面DCEF.
又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,
所以AB∥EN.
又AB∥CD∥EF,
所以EN∥EF,这与矛盾,故假设不成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以ME与BN不共面,它们是异面直线。 ……..12分
(20)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)甲厂抽查的产品中有360件优质品,从而甲厂生产的零件的优质品率估计为; ……6分
乙厂抽查的产品中有320件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为
(Ⅱ)
甲厂
乙厂
合计
优质品
360
320
680
非优质品
140
180
320
合计
500
500
1000
……8分
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 ……12分
(21)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ).有条件知,
,故. ………2分
于是.
故当时,<0;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时,>0.
从而在,单调减少,在单调增加. ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调增加,故在的最大值为,
最小值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
从而对任意,,有. ………10分
而当时,.
从而 ………12分
(22)(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
因为A在椭圆上,所以,解得=3,=(舍去)。
所以椭圆方程为 . ......4分
(Ⅱ)设直线AE方程:得,代入得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设E(,),F(,).因为点A(1,)在椭圆上,所以
,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
。 .......8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以代,可得
,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值,其值为。 .......12分