高考数学文科试卷全国1卷内含答案新课标卷卷 13页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 ‎(1)设集合U=,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】本题主要考查集合交并补运算.‎ ‎【解析】‎ ‎(2)函数的反函数为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本题主要考查反函数的求法.‎ ‎【解析】由原函数反解得,又原函数的值域为,所以函数的反函数为.‎ ‎(3)设向量满足,,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.‎ ‎【解析】,所以 ‎(4)若变量x，y满足约束条件，则的最小值为 ‎（A）17 （B）14 （C）5 （D）3‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.‎ ‎【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.‎ ‎(5)下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.‎ ‎【解析】即寻找命题,使,且推不出,逐项验证知可选A.‎ ‎(6)设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.‎ ‎【解析】解法一，解得.‎ 解法二: ，解得.‎ ‎(7)设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.‎ ‎【解析】由题意将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍,得,解得,又,令,得.‎ ‎(8)已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂 C A B D 足,若，则 ‎（A） 2 （B） （C） （D）1‎ ‎【答案】C ‎【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.‎ ‎【解析】因为是直二面角, ,∴平面,‎ ‎,又,‎ ‎(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 ‎(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 ‎【答案】B ‎【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.‎ ‎【解析】第一步选出2人选修课程甲有种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有种选法，根据分步计数原理，有种选法.‎ ‎(10) 设是周期为2的奇函数，当时，,则 ‎(A) - (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值.‎ ‎【解析】由是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得: ‎ ‎(11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=‎ ‎ (A)4 (B) (C)8 (D) ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.‎ ‎【解析】由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为,则,即,所以由两点间的距离公式可求出.‎ ‎(12)已知平面α截一球面得圆，过圆心且与α成二面角的平面β截该球面得圆.若该球面的半径为4，圆的面积为4，则圆的面积为 ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.‎ ‎【解析】如图所示,由圆的面积为4知球心到圆的距离,在中,, ∴,故圆的半径,∴圆的面积为. ‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。‎ ‎3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.‎ ‎ (注意：在试卷上作答无效)‎ ‎(13)的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .‎ ‎【答案】0‎ ‎【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.‎ ‎【解析】由得的系数为,的系数为,所以的系数与的系数之差为0.‎ ‎(14)已知,,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符号.‎ ‎【解析】,,则.‎ ‎(15)已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE与BC所成的角.‎ ‎【解析】取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，.‎ ‎(16)已知、分别为双曲线: 的左、右焦点，点，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质.‎ ‎【解析】为的平分线，∴ ∴‎ 又点，由双曲线的第一定义得.‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 设等比数列的前n项和为.已知求和.‎ ‎【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。‎ ‎【解析】设的公比为q,由题设得 ‎ …………………………………3分 解得或， …………………………………6分 当时，；‎ 当时， ……………………………10分 ‎(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知.‎ ‎ (Ⅰ)求B；‎ ‎（Ⅱ）若.‎ ‎【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。‎ ‎（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解.‎ ‎【解析】(I)由正弦定理得…………………………3分 由余弦定理得.‎ 故，因此 .…………………………………6分 ‎（II）‎ ‎ …………………………………8分 故 ‎ ‎.…………………………………12分 ‎(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.‎ ‎ (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎ (II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.‎ ‎【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎【解析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：‎ B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。‎ C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；‎ D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；‎ E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买.‎ ‎(I), , ……………………………3分 ‎ ……………………………6分 ‎(II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分 P(E)=. ……………………………12分 ‎(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 如图，四棱锥中， ∥,，侧面为等边三角形.. ‎ (I) 证明：‎ (II) 求AB与平面SBC所成角的大小。‎ ‎【分析】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。‎ ‎(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。‎ ‎【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.‎ 解法一：(Ⅰ)取中点，连结，则四边形为矩形，，连结，则，.‎ 又,故,‎ 所以为直角. ………………3分 由,,,得平面,所以.‎ 与两条相交直线、都垂直.‎ 所以平面. ………………6分 另解:由已知易求得,于是.可知,同理可得,又.所以平面. ………………6分 ‎(Ⅱ)由平面知，平面平面.‎ 作,垂足为,则平面ABCD,.‎ 作,垂足为,则.‎ 连结.则.‎ 又,故平面,平面平面.……9分 作,为垂足,则平面.‎ ‎,即到平面的距离为.‎ 由于,所以平面,到平面的距离也为.‎ 设与平面所成的角为,则,.……12分 解法二：以为原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设,则、.‎ 又设,则.‎ ‎(Ⅰ),‎ 由得 ‎,‎ 故.‎ 由得,‎ 又由得,‎ 即,故. ………………3分 于是,‎ ‎.‎ 故,又,‎ 所以平面. ………………6分 ‎(Ⅱ)设平面的法向量,‎ 则.‎ 又,‎ 故 ………………9分 取得,又 ‎.‎ 故与平面所成的角为. ………………12分 ‎(21)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)证明：曲线 ‎（Ⅱ）若求a的取值范围.‎ ‎【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程.‎ ‎(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.‎ 解：（I） .………………2分 由得曲线在x=0处的切线方程为 ‎ ‎ 由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2） .………………6分 ‎（II）由得.‎ ‎（i）当时，没有极小值； .………………8分 ‎(ii)当或时，由得 故.由题设知，‎ 当时，不等式无解；‎ 当时，解不等式得 综合(i)(ii)得的取值范围是 ..………………12分 ‎(22)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.‎ ‎(I)证明：点在上；‎ ‎(II)设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上.‎ ‎【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。‎ ‎【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来.从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上;(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角公式.‎ 思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.‎ ‎【解析】(I),的方程为,代入并化简得 ‎. …………………………2分 设,‎ 则 ‎ 由题意得 所以点的坐标为.‎ 经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分 ‎(II)由和题设知，，的垂直平分线的方程为 ‎. ①‎ 设的中点为,则,的垂直平分线的方程为 ‎. ②‎ 由①、②得、的交点为. …………………………9分 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故 ,‎ 又 , ,‎ 所以 ,‎ 由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上. ……………12分 ‎（II）法二： ‎ 同理 所以互补，‎ 因此A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ ‎【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度.‎ ‎ 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题.方法确定以后计算量其实比往年少.‎