高考数学立体几何复习指要含模拟考全国考试题分析和强化练习及答案 8页

立体几何高考复习指要 立体几何高考试题选择、填空题主要考查立几中的计算型问题和多重判断问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理问题, 解答题一般为一证一算型或先证后算型问题.在一些同时选用A、B版本教材的省市，立体几何解答题还兼顾传统几何法或向量法两种方法，因此所选的载体往往比较规则.从近几年的各地考题来看, 以多面体为载体的线面位置关系的论证、角与距离的探求仍是常考常新的重点.我们在复习备考中既要抓住这些重点知识和方法的复习，又要留意对重点知识考查的不同命题角度，同时不要忽视可以命制一些小、巧、活试题的知识点的演练.‎ 在立体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本的问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，提高逻辑思维能力和空间想象能力．‎ 空间的角和距离是空间图形中最重要的数量关系.空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决．空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值． ‎ 例1 对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是 （A） 如果、是异面直线，那么 （B） 如果、是异面直线，那么与相交 （C） 如果、共面，那么 （D） 如果、.‎ 解析：本题考查空间直线与平面位置关系的判定，涉及到异面直线，直线与平面的三种位置关系，两条直线平行的判定等内容，体现出文字语言、符号语言转化为图形语言的能力，判断几何命题真假的方法与能力，体现出思维能力与空间想像能力的综合，属于中等题.在解决这类问题时，读题画图是关键，往往采用举例排除的方法进行判断.‎ 首先要读懂题，将文字语言、符号语言转化为图形语言进行研究.在选项（A）（B）中，包含两种情况，或与只有一个交点，这两种情况都可以使、为异面线，因此（A）和（B）都不正确.选项（C）恰是由线面平行推出线线平行定理的语言符号表述，是正确的.于是选项（D）肯定不正确，就不用再判断了.‎ ‎ 在立几重点知识中，直线与平面垂直在距离与角度的计算中占有尤其重要的地位，二面角知识也成为重中之重.请看下例：‎ 例2　如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°. ‎ ‎（I）求点P到平面ABCD的距离； ‎ ‎（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小. ‎ ‎　本题反映的是目前全国各地高考中常见的的命题形式：先证后算或一证一算.考查的内容是立体几何的主干知识：平行与垂直、距离与角度. 直线与平面垂直在（I）中固然要用，在（II）中作二面角的平面角也是必不可少的.面二面角的知识既成为本题中的条件，也成为（II）中待求的结果.‎ 解析：（I）求点到平面的距离思路有三：一是直接作点到平面的垂线段，一般需要找到或构造互相垂直的两平面，利用两平面垂直的性质定理在一个平面内作垂直于交线的直线，也可通过特殊三棱锥顶点在底面内的射影是底面的外心或内心、垂心等性质作图，然后进行计算；二是借助三棱锥利用等积法求高；三是通过建立空间坐标系，求已知点P与平面上任意一点A所连的向量在平面的一个法向量上的投影长.本小题作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE.可证∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，可求出点P到平面ABCD的距离PO为.‎ ‎（II）二面角的求解方法是丰富多彩的.设法找到或作出一个半平面的垂线段，利用三垂线定理作出二面角的平面角是最重要的方法.也可根据二面角的平面角的定义直接作图，或作二面角的棱的垂面找出交线，然后进行计算.而不需直接作出二面角的平面角，通过建立空间坐标系或面积射影法求二面角也是切实可行的方法.本小题取PB的中点G，PC的中点F，则∠AGF是所求二面角的平面角，所求二面角的大小为π－arctan.也可建立直角坐标系，设PB的中点为G，可证等于所求二面角的平面角，于是所以所求二面角的大小为 . ‎ 立体几何的重点知识在高考中可能以开放性试题的面目出现，突出考查创新能力.‎ 开放性试题虽然没有固定的解题模式可套，解法灵活多样，但在解立体几何开放性试题中，我们可以通过执果索因、猜想证明、设未知数解方程等方法进行探究.‎ 例3　如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，.‎ ‎（Ⅰ）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；‎ ‎（Ⅱ）、在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论.‎ 解析：（Ⅰ）把通常的给定点的位置计算夹角，变为给出直线与平面所成角求点P的位置，应属执果索因，题中给出了未知数（否则应设出），渗透了方程的思想.本小题用几何法或向量法易得m＝.‎ ‎　（II）可以先推测点Q应当是AICI的中点O1，通过证明D1O1⊥平面ACC1A1， D1O1⊥AP.根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直.也可在空间坐标系中，设在A1C1上存在这样的点Q，此点的横坐标为，依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP即Q为A1C1的中点时，满足题设要求.‎ 在立体几何的复习中，一类被称为“隐棱”二面角的知识应引起我们的高度重视.在二面角的计算中，若用传统几何方法往往需要通过垂线法和垂面法过棱上一点，分别在两个半平面内作出垂直于棱的射线，从而得到二面角的平面角，然后进行计算.若所要求的二面角的棱处于”隐蔽”状态怎么办？‎ 对于这种“隐棱”的二面角，一是通过两个半平面内两线平行，利用线面平行的性质定理找棱；二是通过两个半平面内两线相交，通过这两线的交点找棱，找到棱后就问题就转化为常规问题了.‎ 这种题型若应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算解决求角、证明的问题，空间向量更显现出解题的优势.‎ 例4　如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，‎ ‎∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.‎ ‎（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；‎ ‎（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.‎ 解析：（Ⅰ）可求得VS—ABCD＝·SA·SABCD＝.‎ ‎（Ⅱ）延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.又DA⊥平面SAB，过A点作SE的垂线交于F.由三垂线定理可证得∠DFA为二面角的平面角.∴tanDFA＝即所求二面角的正切值.‎ 可以思考：本题若将ABCD改为矩形，如何在（II）中找出二面角的棱进而作出二面角的平面角求解？本题（II）还可通过建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角的公式求出二面角的大小.‎ 利用等积法将点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高是常用的解题方法.但利用等积法求线面角对很多同学来说就不是很习惯了.‎ 例5　已知棱长为的正方体，E为BC的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线DC和平面所成的角的正弦值.‎ 解析：（1）设的中点为O，连EO，设的中点为F，连OF、CF，易证平面，从而得出平面平面.‎ ‎（2）设C到平面的距离为，则有，解得.设点C在面上的射影为H，则∠CDH是直线DC和平面所成的角,其正弦值为.‎ 立体几何中的一些问题虽不成为知识的主干，但体现了高考注重“考查能力，在知识交汇点命制试题”的思想，应引起足够的注意.如图形的翻折与展开问题、与球面上两点间的距离相关的问题、立体几何中的轨迹问题都在成为高考命题新的热点.‎ 例6‎ ‎ 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点之间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解析：由球面上两点间的距离的定义知，在四面体中，， 又OA＝OB＝OC＝1，可用等积法求出O到平面ABC的距离为.选（B）.　‎ 例7如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ‎(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线 解析：由于，连，有，则P到点C1与P到直线BC的距离相等，由平面解析几何知识知点P的轨迹是抛物线.选（D）.‎ 例8　如图，在正三棱柱ABC=A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：‎ ‎（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；‎ ‎（II）PC和NC的长；‎ ‎（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）.‎ 解析：（I）正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.‎ ‎（II）将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线. PC =2.，NC=.‎ ‎（III）连接PP1，则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP1于H，由三垂线定理证得∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），其大小为arctan.‎ 随着新课程的实验和新教材的使用，立体几何正从复习耗时较多而考试得分偏低的题型变为得分较高的题型. 只要依据课本, 熟化知识, 掌握基本方法,构建空间思维网络,突出重点, 我们在解答立体几何题时定会成竹在胸.‎ 巩固练习：‎ ‎1．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是 ‎ ‎（A）若则　　　　（B）若则 ‎（C）若则　　　　（D）若、与所成的角相等，则 ‎　2．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎　3．已知球的半径是，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，两点的球面距离是，则二面角的大小是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎　4．如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是 ‎(A)　　　(B) 　　(C) (D)‎ ‎　5．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎6．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为 ‎　　（A）　　（B）　　　　　（C）　　　（D）‎ ‎　　7．把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ‎ （A）90O 　（B）60O　　　　 （C） 45O （D） 30O ‎8．若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成图形可能是 A B C P B C A P A B C P A B C P ‎　　　　　　（A）　　　　　　　　　　　　　　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　　　　　　　　　　　　　　（D）‎ ‎9．设P是的二面角内一点，PA⊥平面，PB⊥平面 ，A、B为垂足，则AB的长为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________‎ ‎11.在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为_____________．‎ ‎12．在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且是边的中点，则与平面所成角的大小是________________（用反三角函数表示）‎ ‎13．四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB＝.‎ ‎（I）求证：BC⊥SC；‎ ‎（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；‎ ‎（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.‎ ‎14．如图所示的多面体是由底面ABCD为菱形的直平行六面体被平面AEFG所截而得的，其中∠BAD＝60O，AB＝4，BE＝2，CF＝3.　（I）求证：EG⊥AC；‎ ‎（II）求截面AEFG与底面ABCD所成锐二面角的大小；‎ ‎（III）求点C到截面AEFG的距离.‎ ‎15．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．‎ ‎ (Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；‎ ‎(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；‎ ‎ (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？‎ ‎16．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.‎ ‎（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.‎ 答案：‎ ‎1．C　　2.A　　　3.C　　4.B　　5.C　　6.B　　7.C　　8.D　　9.C　10．　11． 　12． 　　13.（II）45O　;（III）90O ‎14.（II）; (III) 15．（II）arcsin;（III）k=1　‎ ‎16．（I）;（II）1，‎