高考数学试题 江西卷 14页

‎2003年高考数学试题（江西卷 理工农医类）‎ ‎●试题部分 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎1.等于（ ） A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于（ ）‎ A. B.－ C. D.－‎ ‎3.设函数f（x）=若f（x0）>1，则x0的取值范围是（ ）‎ A.（－1，1） B.（－1，+∞）‎ C.（－∞，－2）∪（0，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，+∞）‎ ‎4.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）‎ A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 ‎5.函数y=ln，x∈（1，+∞）的反函数为（ ）‎ A.y=，x∈（0，+∞） B.y=，x∈（0，+∞）‎ C.y=，x（－∞，0） D.y=，x∈（－∞，0）‎ ‎6.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（ ）‎ A.［0，］ B.［0，］ C.［0，||］ D.［0，||］‎ ‎8.已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则 ‎|m－n|等于（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若10，求函数f（x）=－ln（x+a ‎）（x∈（0，+∞））的单调区间.‎ ‎20.（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：‎ 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.‎ ‎（Ⅰ）求ξ、η的概率分布；‎ ‎（Ⅱ）求Eξ，Eη.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎22.（本小题满分14分）设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N+）.‎ ‎（Ⅰ）证明对任意n≥1，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0；‎ ‎（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围.‎ ‎●答案解析 ‎1.答案：B 解析：‎ ‎.‎ ‎ 2.答案：D 解法一：∵x∈（－，0），cosx=，∴sinx=－，tanx=－，∴tan2x=.‎ 解法二：在单位圆中，用余弦线作出cosx=，x∈（－，0），判断出2x∈Ⅳ且tan2x=AT<－1.‎ ‎3.答案：D 解法一：因为f（x0）>1，当x≤0时，，∴x0<－1，当x0>0时，‎ ‎ >1，∴x0>1.综上，所以x0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.‎ 解法二：首先画出函数y=f（x）与y=1的图象.由图中易得f（x）>1时，所对应的x的取值范围.‎ ‎4.答案：B 解析:设为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为∠BAC的角平分线的方向.‎ 又λ∈［0，+∞］，∴λ（）的方向与的方向相同.‎ 而，∴点P在上移动，∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.‎ ‎5.答案：B 解法一：y=ln=ly，∴x=，又而x>1，‎ ‎∴>1，∴ln>0，因此y=ln的反函数为y=（x>0）‎ 解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y=.因此排除A、C，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.‎ ‎6.答案：C 解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，‎ 而AB2=（）2+（）2=a2，∴V八面体=.‎ ‎7.答案：B 解析：f（x）的导数为f′（x）=2ax+b，由已知y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］.因此有0≤2ax0+b≤1.而P到曲线y=f（x）的对称轴的距离为.‎ ‎8.答案：C 解析：设a1=，a2=+d，a3=+2d，a4=+3d，而方程x2－2x+m=0中的两根之和为2，x2－2x+n=0中的两根之和也是2.∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4，∴d=，∴a1=，a4=是一个方程的两个根，a2=，a3=是一个方程的两个根，∴为m或n.∴|m－n|=.‎ ‎9.答案：D 解法一：设所求双曲线方程为由 得，（7－a2）x2－a2（x－1）2=a2（7－a2）‎ 整理得：（7－2a2）x2+2a2x－8a2+a4=0.又MN中点横坐标为－，‎ ‎∴x0=即3a2=2（7－2a2），∴a2=2.‎ 故所求双曲线方程为.‎ 解法二：因所求双曲线与直线y=x－1的交点的中点横坐标为－<0，故双曲线的渐近线的斜率（k>0）时，为k>1，因此，排除B、C.经检验的交点的中点横坐标为－.‎ 解法三：由已知MN中点横坐标x0=－，可得中点纵坐标y0=x0－1=－，设MN与双曲线交点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），则有=1 ①，=1 ②‎ 则②－①得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎10.答案：C 解析：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，所以tanθ==x，又tanθ==x，‎ ‎∴CP2=－1，而tanθ=，‎ ‎∴DP3=x（3－）=3x－1，又tanθ==x，‎ ‎∴AP4=－3，依题设10）.‎ 当a>0，x>0时，f′（x）>0x2+（2a－4）x+a2>0，‎ f′（x）<0x2+（2a－4）x+a2<0.‎ ‎（i）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a－4）x+a2>0，‎ 即f′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.‎ ‎（ii）当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2>0，‎ 即f′（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.‎ 又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.‎ ‎（iii）当00，即x2+（2a－4）x+a2>0，‎ 解得x<2－a－2，或x>2－a+2.‎ 因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.‎ 令f′（x）<0，即x2+（2a－4）x+a2<0，‎ 解得2－a－2an－1（n∈N+）等价于（－1）n－1（5a0－1）<（）n－2（n∈N+）. ①‎ ‎（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－2（5a0－1）<（）2k－3，‎ 即为a0<（）2k－3+. ②‎ ‎②式对k=1，2，…都成立，有a0<×（）－1+=.‎ ‎（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－1（5a0－1）<（）2k－2，‎ 即为a0>－×（）2k－2+. ③‎ ‎③式对k=1，2，…都成立，有 a0>－×（）2×1－2+=0.‎ 综上，①式对任意n∈N+成立，有0an－1（n∈N+）成立，特别取n=1，2有a1－a0=1－3a0>0，‎ a2－a1=6a0>0，因此00.‎ 由an通项公式5（an－an－1）=2×3n－1+（－1）n－13×2n－1+（－1）n5×3×2n－1a0.‎ ‎（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，‎ ‎5（an－an－1）=2×3n－1+3×2n－1－5×3×2n－1a0>2×2n－1+3×2n－1－5×2n－1=0.‎ ‎（ii）当n=2k，k=1，2，…时，‎ ‎5（an－an－1）=2×3n－1－3×2n－1+5×3×2n－1a0>2×3n－1－3×2n－1≥0.‎