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  • 2021-05-13 发布

拉格朗日中值定理与高考数学

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拉格朗日中值定理与高考数学 ‎ ‎ ‎ ‎ 拉格朗日中值定理:若函数满足如下条件:‎ ‎(i)在闭区间上连续;‎ ‎(ii)在开区间内可导;‎ 则在内至少存在一点,使得 .‎ ‎1、证明或成立(其中)‎ 例:(2007年高考全国卷I第20题)‎ 设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:的导数;‎ ‎(Ⅱ)证明:若对所有,都有 ,则的取值范围是.‎ ‎(Ⅰ)略.‎ ‎(Ⅱ)证明:(i)当时,对任意的,都有 ‎(ii)当时,问题即转化为对所有恒成立.‎ 令,由拉格朗日中值定理知内至少存在一点(从而),使得,即,由于,故在上是增函数,让 得,所以的取值范围是.‎ 评注:第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令,再分和 两种情况讨论.其中,又要去解方程 ‎.但这有两个缺点:首先,为什么的取值范围要以为分界展开.其次,方程求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论,省去麻烦.‎ 二、证明成立 例:(2004年四川卷第22题)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最大值;‎ ‎(Ⅱ)设,证明:.‎ ‎(Ⅰ)略; ‎ ‎(Ⅱ)证明:依题意,有 ‎ 由拉格朗日中值定理得,存在,使得 ‎ ‎ ‎ ‎ 评注:对于不等式中含有的形式,我们往往可以把和,分别对和两次运用拉格朗日中值定理.‎ 三、证明成立 例: (2OO6年四川卷理第22题)‎ 已知函数的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:‎ ‎(1)当时,‎ ‎(2)当时,.‎ 证明:(1)不妨设,即证.由拉格朗日中值定理知,存在,则且 ‎,又, .当时,.所以是一个单调递减函数,故从而成立,因此命题获证.‎ ‎(2)由得,,令则由拉格朗日中值定理得:‎ 下面只要证明:当时,任意,都有,则有,即证时,恒成立.这等价于证明的最小值大于.‎ 由于,当且仅当时取到最小值,又,故时,恒成立.‎ 所以由拉格朗日定理得:.‎ 评注:这道题用初等数学的方法证明较为冗长,而且技巧性较强.因而思路较为突兀,大多数考生往往难以想到.相比之下,用拉格朗日中值定理证明,思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性,说明了学习高等数学的重要性.‎ 四、证明或成立 例:(2008年全国卷Ⅱ22题)设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.‎ ‎(Ⅰ)略; ‎ ‎(Ⅱ)证明:当时,显然对任何,都有;当时, ‎ 由拉格朗日中值定理,知存在,使得.由(Ⅰ)知,从而.令得,;令得,.所以在上,的最大值在 上,的最大值.从而函数在上的最大值是.由知,当时,的最大值为.所以,的最大值.为了使恒成立,应有.所以的取值范围是.‎ 评注:这道题的参考答案的解法是令,再去证明函数的最小值.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数,要对参数进行分类讨论;其次为了判断的单调性,还要求和的解,这个求解涉及到反余弦,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦,省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.‎ 五、证明成立,(其中)‎ 例:(2007年安徽卷18题) ‎ 设.‎ ‎(Ⅰ)令,讨论在内的单调性并求极值;‎ ‎(Ⅱ)求证:当时,恒有.‎ ‎(Ⅰ)略;‎ ‎(Ⅱ)证明:即证,由于,则.由拉格朗日中值定理得,存在,使得.由(Ⅰ)的解题过程知,所以.令得,.令得,.故在上最小值 ‎.所以.从而.又,则成立,从而当时,成立.‎ ‎ 评注:这道题的参考答案是用(Ⅰ)中在内的极小值得到.又,所以.从而在上单调递增,故的最小值,所以.但是如果没有(Ⅰ),很难想到利用来判断的单调性.而用拉格朗日中值定理证明,就不存在这个问题.‎ 六、证明或(其中)‎ 例:(2009年辽宁卷理21题)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)证明:若,则对任意,,有.‎ ‎(Ⅰ)略;‎ ‎(Ⅱ).由(Ⅰ)得,.所以要证成立,即证.下面即证之.‎ 令,则.由于 ‎,所以.从而在恒成立.也即.又,,故.则,即,也即.‎ ‎ 评注:这道题(Ⅱ)小题存在两个难点:首先有两个变量;其次的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数.为什么考虑函数?很多考生一下子不易想到.而且的放缩也不易想到.‎ ‎ 拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来,不少高考压轴题以导数命题,往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然,这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时,用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性,有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系,增加学习的兴趣.‎ 从以上六道题目与参考答案不同的解法中,我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年,高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.‎ 参考文献 ‎[1] 华东师范大学数学系编.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2007‎ ‎[2] 陈素贞.一道高考题的别解[J].福建中学数学,2009(4)‎ ‎[3] 李惟峰. 拉格朗日中值定理在中学数学中的应用[J]. 数学教学通讯,2008(8)‎ ‎[4] 管雪冲,王颖. 站”高”再看高考题[J]. 高等数学研究,2009(1) ‎