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- 2021-05-13 发布
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2013年江苏高考数学模拟试卷(四)
第1卷(必做题,共160分)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.
1.设,且为正实数,则的值为 .
2.抛物线上的一点到其焦点的距离为3,则 .
3.函数是奇函数,则实数 .
4.已知全集,集合,,则中最大的元素是 .
5.若向量,满足,,且,则与的夹角为 .
I←2
S←0
While I<m
S←S+I
I←I+3
End While
Print S
End
6.下面求的值的伪代码中,正整数的最大值为 .
7.设曲线在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为,
则的值为 .
8.若0<x<,则函数y=的最大值为 .
9.在棱长为2的正方体中,点为底面的中心,在正方 (第6题图)
体内随机取一点 ,则点到点的距离大于1的概率为 .
10.在中,两中线与相互垂直,则的最大值为 .
11.某同学为研究函数的性质,构造了如右
图所示的两个边长为1的正方形和,点是边上的一个动点,
(第11题图)
设,则. 请你参考这些信息,推知函数
的零点的个数是 .
12.在平面直角坐标系xOy中,直线l:x-y+3=0与圆O:x2+y2=r2(r>0)相交于A,B
两点.若+2=,且点C也在圆O上,则圆O的方程为 .
13.设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{}都是等差数列,且公差相等,则a1= .
14.对于函数,若存在区间,当时的值域为,则称为倍值函数.若是倍值函数,则实数的取值范围是 .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.
15. (本小题满分14分)已知锐角中的三个内角分别为.
⑴设,求证是等腰三角形;
⑵设向量,,且∥,若,求的值.
(第16题)
16. (本小题满分14分)如图,四棱锥的底面是边长为的正方形, 平面,点是 的中点.
⑴求证:∥平面;
⑵求证:平面平面.
17.(本小题满分14分如图一块长方形区域ABCD,AD=2(),AB=1().在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为,设∠AOE=α,探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.
(1)当0≤α<时,写出S关于α的函数表达式;
G
a
F
E
D
C
B
A
O
(第17题)
(2)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且∠AOG=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.
18.(本小题满分16分) 已知椭圆和圆,A,B,F分别为椭圆C1左顶点、下顶点和右焦点.
⑴点P是曲线C2上位于第二象限的一点,若△APF的面积为,求证:AP⊥OP;
⑵点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点,且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍,证
明直线MN恒过定点.
19.(本小题满分16分)对于函数y=f(x),若存在开区间D,同时满足:①存在t∈D,当x<t时,函数f(x)单调递减,当x>t时,函数f(x)单调递增;②对任意x>0,只要t-x,t+x∈D,都有f(t-x)>f(t+x),则称y=f(x)为D内的“勾函数”.
(1)证明:函数y=为(0,+∞)内的“勾函数”;
(2)若D内的“勾函数”y=g(x)的导函数为y=g¢(x),y=g(x)在D内有两个零点x1,x2,求证:
g¢()>0;
(3)对于给定常数l,是否存在m,使函数h(x)=lx3-l2x2-2l3x+1在(m,+∞)内为“勾
函数”?若存在,试求出m的取值范围,若不存在,说明理由.
20.(本小题满分16分)已知数列中,,,数列的前n项和为,且满足.
⑴求证:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
⑵数列中存在若干项,按从小到大的的顺序排列组成一个以S1首项,3为公比的等比数列.
①求这个等比数列的项数与n的关系式;
②记,求证:.
第Ⅱ卷(附加题,共40分)
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题,每小题10分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
(第21-A题)
A
B
P
F
O
E
D
C
·
A.(选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC, DE交AB于点F.求证:△PDF∽△POC.
B.(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵,向量,求向量,使得.
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)椭圆中心在原点,焦点在轴上,离心率为,点是椭圆上的一个动点,若的最大值为,求椭圆的标准方程.
D.(选修4-5:不等式选讲)已知x,y,z均为正数.求证:.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.
22.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,
比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
(1)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;
(2)求比赛局数X的分布列和数学期望E(X).
23.已知fn(x)=(1+2)n,n∈N*.
(1) 若g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x),求g(x)中含x2项的系数;
(2) 若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{an}是各项都大于1的数组成
的数列,试用数学归纳法证明:.