2012高考最新总结排列组合和概率 9页

排列组合和概率 ‎【两年真题重温】‎ ‎【2011新课标全国】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知播种了1000粒，没有发芽的种子数服从二项分布，即,而，则.应选B.‎ ‎【2010年高考课标全国文】设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由0≤f(x)≤1可知曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝1，y＝0围成了一个曲边梯形．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形的面积为1，共有N对数，即有N个点，且满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的有N1个点，即在函数f(x)图象上及下方有N1个点，所以由几何概型的概率公式得：曲线y＝f(x)与x＝0，x＝1，y＝0围成的面积为×1＝‎ 命题意图：本题主要考查二项分布的期望以及随机变量的性质，考查解决应用问题的能力.‎ ‎【命题意图猜想】‎ ‎1. ‎ ‎2011年高考题主要考查等可能事件的概率、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．基础题目，难度较低，分清事件是什么事件是解题的关键；2010年理科高考题考查二项分布，也是基础题，清晰二项分布的分辨能力和公式是解题的关键.；2010年文科高考题同教材P140的例4相类似，试题从表面来看难度较大，考生感到无从下手，其实很简单，面积比就等于点数比．通过这两年的试题分析我们可以看出：本热点的排列组合和概率问题往往结合在一起考查，且以概率问题为主，单纯考查排列组合较少，试题难度不大，为中低档题。‎ ‎2.排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一．从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现，题型为选择题、填空题，题量多是一道，分值为4～5分，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主．题目难度与课本习题难度相当，但也有个别题目难度较大，重点考查分析、解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法．预测2012年高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．‎ ‎3.猜想：在2012年的高考题很可能考查单纯排列组合问题，而概率问题放在解答题中涉及，试题难度不大，理科难度稍微比文科难度要大一些，命题方向为以分类思想为主。‎ ‎【最新考纲解读】‎ ‎【回归课本整合】‎ ‎1.排列数中、组合数中.‎ ‎(1)排列数公式 ‎ ‎；。 ‎ ‎(2)组合数公式 ‎；规定，.‎ ‎(3)排列数、组合数的性质：①；②；③；④；⑤；⑥.‎ ‎2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．‎ ‎3.解排列组合问题的方法有：‎ ‎（1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。‎ ‎（2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）‎ ‎（3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。‎ ‎9、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) .提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P().‎ ‎10、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率(是二项展开式的第k+1项)，其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率.‎ 提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质.在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件.（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答.‎ ‎11.古典概型：‎ 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型：‎ ‎(1)有限性：在一次试验中，可能出现的不同的基本事件只有有限个；‎ ‎(2)等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．‎ 古典概型中事件的概率计算如果一次试验的等可能基本事件共有n个，随机事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝.‎ ‎12．几何概型 区域A为区域Ω的一个子区域，如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型．几何概型的概率P(A)＝，其中μA表示构成事件A的区域长度(面积或体积)．μΩ表示试验的全部结果所构成区域的长度(面积或体积)．‎ ‎13、解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：‎ ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质 即所给的问题归结为四类事件中的某一种.‎ 第二步，判断事件的运算 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.‎ 第三步，运用公式求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.‎ ‎3.解排列、组合的综合应用问题，要按照“先选后排”的原则进行，即一般是先将符合要求的元素取出(组合)，再对取出的元素进行排列，常用的分析方法有：元素分析法、位置分析法、图形分析法．要根据实际问题探索分类、分步的技巧，做到层次清楚，条理分明．‎ ‎4.事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么？它包含的基本事件有多少．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．‎ ‎5．几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”．即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件所占的总面积(总体积、长度)”之比来表示．‎ ‎【考场经验分享】‎ ‎1．切实理解“完成一件事”‎ 的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．分类时要做到不重不漏．对于复杂的计数问题，可以分类、分步综合应用．‎ ‎2．解决排列、组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列、组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．‎ ‎3．要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．‎ ‎4.几何概型求解时应注意：‎ ‎(1)对于一个具体问题能否应用几何概型概率公式计算事件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基础上，将试验的每一个结果一一对应于该坐标系中的一个点，使得全体结果构成一个可度量区域．‎ ‎(2)由概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．‎ ‎5.如果题设条件比较复杂，且备选答案数字较小，可考虑利用穷举法求解；如果试题难度较大并和其它知识联系到一起，感觉不易求解，一般不要花费过多的时间，可通过排除法模糊确定，一般可考虑去掉数字最大和最小的答案.‎ ‎【新题预测演练】‎ ‎1.【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测】‎ 如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，现有4种不同的花供选种，‎ 要求在每块里种1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为 ‎ A.48 B‎.60 C.72 D.84‎ ‎【答案】 D ‎ ‎【解析】当A与C 同色时有4×3×3=36种不同的涂法，‎ 当A与C 不同色时有4×3×2×2=48种不同的涂法，∴共有36+48=84.‎ ‎2.【2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】‎ 一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，求第一次为白球第二次为黑球的概率为 A． B． C． D．‎ ‎3.【保定市2011—2012学年度第一学期高三期末调研考试】‎ 已知点满足，集合，在集合中任取一点，则恰好取到点的概率为 A、 B、 C、 D、1‎ ‎【答案】B ‎【解析点所在正方形的面积为2，集合所表示的圆的面积为，所以所求概率为 ‎.‎ ‎4.【2012年高中毕业年级第一次质量预测理】‎ 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 A． B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎5.【湖北省孝感市2011-2012学年度高中三年级第一次统一考试】‎ 如图所示，在AB间有四个焊接点,若焊接点脱落，则导致电路不通.今发现A、B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有（）种.‎ A.9 B. ‎11 C. 13 D. 15‎ ‎【答案】 C ‎【解析】按照脱落的个数多少进行分类.若脱落1个，则有（1）（4）共2种；若脱落2个，有（1、4）（2、3）（1,2）（1,3）（4,2）（4,3）共6种；若脱落3个，有（1,2,3）（1,2,4）（2,3,4）（1,3,4）共4种；若脱落4个，有（1,2,3,4）共1种.综上共有2+6+4+1=13种.‎ ‎6.【浙江省2012年高三调研理科数学测试卷】‎ 袋中共有8个球，其中3个红球、2个白球、3个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个 球中至多有1个红球的概率是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 明确公式中表示为“从8个球取3个球，”的各种情形，表示“至多有1个红球”的各种情形。解题的关键是将“至多有1个红球”分为“有一个红球”和“没有红球”两类.‎ ‎7.[广东省深圳市福田区2012届数学科(理)试题详细解析]‎ 在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).‎ A. B. C. D.w.w.w..c.o.m ‎ ‎【答案】A ‎【解析】:在区间上随机取一个数x,即时,要使的值介于0到 之间,需使或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A. w.w.w..c.o.m ‎ ‎8.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】‎ 五名志愿者去四个不同的社区参加创建文明城市的公益活动，每个社区至少一人，且甲、乙不能分在同一个社区，则不同的分配方法有（ ）‎ A. 240种B. 216种C. 120种D.72种 ‎【答案】B ‎【解析】五名志愿者分成四组，每组至少一人且甲乙不在同一组共有种，再把四组安排到四个社区，共有.‎ ‎9.【河北省正定中学2011—2012学年度高三月考（数学理）】‎ 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区 域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】阴影=,.‎ ‎10.【山西省2012届高三第二次四校联考】‎ 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得 ‎，记．则的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎12.【福州市2012届第一学期期末高三质检】‎ 在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为，由题意有，得，则事件A恰好发生一次的概率为．‎ ‎13.（2012届河北正定中学高三上学期第二次月考）小波通过做游戏的方式来确定周末活 动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此 点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为 ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎14.【唐山市2011—2012学年度高三年级第一学期期末考试】‎ 在具有5个行政区域的地图（如图）上，给这5个区域着色共使用了4种不同的 颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有 种不同的着色方法。‎ ‎【答案】 48‎ ‎【解析】依题意，一共使用了4种不同的颜色，因5块区域，故必有2块颜色相同.分成2类：若1,5块颜色相同，则若2,4颜色相同，同理也有24种，故共有48种不同的着色方法.‎ ‎15.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】‎ 某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为 .（结果有数值表示）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据限制条件进行分类“1男3女”“2男2女”两类情况，然后利用公式进行求解。若“1男3女”则有“2男2女”有故 ‎16.（2012届山东实验中学第一次诊断考试）已知函数若都是在区间[0,4]内任取一个数，则的概率为_______‎ ‎17.（2012届无锡一中高三第一学期期初试卷）从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃‎8”‎，事件B为“抽得为黑桃”，则事件“A＋B”的概率值是_____________（结果用最简分数表示）．‎