北京高考数学第8和14题压轴题汇编与答案 33页

‎1．如图，正方体中，，分别为 ‎ 棱，上的点. 已知下列判断：‎ ‎①平面；②在侧面上 ‎ 的正投影是面积为定值的三角形；③在平面 内总存在与平面平行的直线；④平 ‎ 面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位 置无关. 其中正确判断的个数有 ‎（A）1个 （B）2个 ‎（C）3个 （D）4个（B）‎ ‎2.如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱DD1的中点,F是侧面CDD‎1C1上的动点，且B‎1F//面A1BE，则BF与平面CDD‎1C1 所成角的正切值构成的集合是 C A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎3. 如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命题.‎ ‎①不存在点,使四面体有三个面是直角三角形 ‎②不存在点,使四面体是正三棱锥 O A B D C ‎③存在点,使与垂直并且相等 ‎④存在无数个点,使点在四面体的外接球面上 其中真命题的序号是D ‎（A）①② （B）②③ （C）③ （D）③④‎ ‎4. 在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有 C ‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎5. ‎ 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．平面，，两两互相垂直，点，点到平面，的距离都是，点是上的动点，且满足到的距离是到点距离的倍，则点到平面的距离的最大值是C ‎（A） （B） （C） （D）6 ‎ ‎6.已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为函数．给出下列函数：①；②；③；④是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有　．其中是函数的序号为 C ‎（A）②④　　　 （B）①③　　　 ‎ ‎（C）③④ （D）①②‎ ‎7. 定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中. 设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有 B ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎8. 下图展示了一个由区间到实数集R的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1）；将线段围成一个圆，使两端点、恰好重合（从到是逆时针，如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点的坐标为（如图3），图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作． ‎ 则下列命题中正确的是（ ）C A． B．是奇函数 C．在其定义域上单调递增 D．的图象关于轴对称 ‎9. 用表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数的图象、x轴、直线和直线所围成的封闭图形的面积是A A． ‎ B． ‎ C．‎ D．‎ ‎10. 对于定义域和值域均为[0，1]的函数f(x)，定义，，…，，n=1，2，3，…．满足的点x∈[0，1]称为f的阶周期点．设 则f的阶周期点的个数是C ‎(A) 2n ‎(B) 2(2n-1)‎ ‎(C) 2n ‎(D) 2n2 ‎ ‎11. 定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（ C ）‎ A．‎ B．‎ C． ‎ D．‎ x y O ‎12.对于函数①，②，③，‎ 判断如下两个命题的真假：‎ 命题甲：在区间上是增函数；‎ 命题乙：在区间上恰有两个零点，且.‎ 能使命题甲、乙均为真的函数的序号是D ‎（A）① （B）② （C）①③ （D）①②‎ ‎13. 已知函数，(a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，则实数a的取值范围是 D ‎(A) ‎ ‎(B) ‎ ‎(C) ‎ ‎(D) ‎ ‎14.已知函数则函数的零点个数是 A ‎（A）4 （B）3 （C）2 （D）1‎ ‎15. 已知点是的中位线上任意一点，且，实数，满足 ‎．设，，，的面积分别为，，，， 记，，．则取最大值时，的值为 A ‎ （A） （B） （C） 1 （D）2‎ ‎16. 已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是 D A． B． C． D．‎ ‎17. 设点，，如果直线与线段有一个公共点，那么（A）‎ ‎（A）最小值为 （B）最小值为 ‎（C）最大值为 （D）最大值为 ‎18. 已知数列满足：，定义使 为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为 . ‎ ‎19. 在平面直角坐标系中，为坐标原点.定义、两点之间的“直角距离”为.若点，则= ；已知点，点M是直线上的动点，的最小值为 . ‎ ‎4 ‎ ‎20. 在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”. 则 坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____；‎ 圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是____.‎ ‎，‎ ‎21. 已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　．‎ ‎22. 定义方程的实数根x0叫做函数的“新驻点”，如果函数，，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是 ．>>‎ ‎23．将全体正奇数排成一个三角形数阵：‎ ‎ 1‎ ‎ 3 5‎ ‎ 7 9 11‎ ‎ 13 15 17 19‎ ‎ ……‎ ‎ 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．‎ ‎24.已知函数，则 ，若 ‎，则 （用含有的代数式表示）．，‎ ‎25.已知数列的各项均为正整数，对于，有 当时，______；‎ 若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______.62；1或5‎ ‎26.已知数列，满足：，且当时，‎ ‎，若数列满足对任意，‎ 有，则 ；当时， ．‎ ‎ ‎ ‎27．数列满足，，其中，‎ ‎．‎ ‎①当时，_____；‎ ‎②若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_____.‎ ‎；‎ ‎28．函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，，若，则 ，数列的通项公式为 ．， ‎ ‎29.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则 ．‎ ‎30. 如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=， 的面积为.则的定义域为 ； 的零点是 . ‎ ‎31.已知函数 ‎（1）判断下列三个命题的真假：‎ ‎ ①是偶函数；② ；③当 时，取得极小值. ‎ 其中真命题有____________________；（写出所有真命题的序号）‎ ‎（2）满足的正整数的最小值为___________.①② , 9‎ ‎32．如图所示，∠AOB=1rad，点Al，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M到达An点处所需要的时间为__秒．6，‎ O A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ B1‎ B2‎ B3‎ B4‎ A B ‎33．已知函数，且，则对于任意 ‎ 的，函数总有两个不同的零点的概率是 . ‎ ‎34. 对于各数互不相等的整数数组 (是不小于3的正整数)，对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为 .4；‎ ‎35. 已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：；‎ ‎（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合．‎ ‎(Ⅰ) 证明：依题意有，又，‎ ‎　　　　 因此．‎ ‎　　　　 可得．‎ ‎　　　　 所以．‎ ‎　　　　 即． …………………4分 ‎（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．‎ ‎　　 又，可得，因此．‎ ‎　　 同理，可知．‎ ‎　　 又，可得，‎ ‎　　 所以均成立．‎ ‎　　 当时，取，则，‎ ‎　　 可知．‎ ‎　　 又当时，．‎ ‎　　 所以． …………………9分 ‎（Ⅲ）解：对于任意，，‎ 由可知，‎ ‎，即．‎ 因此，只需对，成立即可．‎ 因为；；；，‎ 因此可设；；；；．‎ 由，可得，取．‎ 由，可得，取．‎ 由，可得，取．‎ 由，可得，取．‎ 所以满足条件的一个集合．……………14分 ‎36. 已知集合.对于A的一个子集S，若存在不大于的正整数m，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称S具有性质P.‎ ‎（Ⅰ）当时，试判断集合和是否具有性质P？并说明理由.‎ ‎（Ⅱ）若时 ① 若集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；‎ ‎②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．‎ 解：（Ⅰ）当时，集合,‎ 不具有性质． ...................................1分 因为对任意不大于10的正整数m，‎ 都可以找到该集合中两个元素与，使得成立．...............2分 集合具有性质． ................................................3分 ‎ 因为可取，对于该集合中任意一对元素，‎ 都有． .....................................................................4分 ‎（Ⅱ）当时，则 ‎①若集合S具有性质，那么集合一定具有性质．...................5分 首先因为，任取 其中，‎ 因为，所以，‎ 从而，即所以. ...........................6分 ‎ 由S具有性质，可知存在不大于1000的正整数m，‎ 使得对S中的任意一对元素，都有．‎ 对于上述正整数m，‎ 从集合中任取一对元素，其中，‎ 则有, ‎ 所以集合具有性质． .............................8分 ‎②设集合S有k个元素．由第①问知，若集合S具有性质，那么集合一定具有性质．‎ 任给，，则与中必有一个不超过1000，‎ 所以集合S与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，‎ 不妨设S中有t个元素不超过1000．‎ 由集合S具有性质，可知存在正整数，‎ 使得对S中任意两个元素，都有，‎ 所以一定有.‎ 又，故, ‎ 即集合中至少有个元素不在子集中， ‎ 因此，所以，得，‎ 当时，‎ 取，则易知对集合S中任意两个元素，‎ 都有，即集合S具有性质，‎ 而此时集合Ｓ中有1333个元素．‎ 因此集合S元素个数的最大值是1333． .....................................14分 ‎37. 已知函数，数列中，，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，，，…；当时，得到常数列2，2，2，…；当时，得到有穷数列，0．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；‎ ‎（Ⅲ）若当时，都有，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）因为 ，且，‎ 所以 ． 同理可得，即． ………………………3分 ‎（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则 ‎；‎ ‎；‎ ‎………‎ ‎；‎ ‎， 即。‎ 故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列． …………8分 ‎（Ⅲ）因为，且，‎ 所以 ．‎ 又因为当时， ，‎ 即，‎ 所以 当时，有． ………………………13分 ‎38. 已知数列，满足，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，且.‎ ‎（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；‎ ‎（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.‎ ‎（Ⅰ）解：当时，有 ‎ …………2分 ‎. ………………3分 又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为对任意的有，……………5分 所以 ‎ ‎，‎ 所以数列为等差数列. ………………7分 ‎（ⅱ）解：对于数列，（，为常数且），有 所以数列均为以7为公差的等差数列. ……………8分 设，（），‎ 所以，当时，对任意的有； ……………9分 当时，‎ ‎①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；‎ ‎②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；‎ ‎………………11分 综上：设集合，‎ 当时，数列中必有某数重复出现无数次.‎ 当时， ‎ 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………13分 ‎39. 如图，，，，‎ 是曲线上的个点，点在轴的正半轴上， 是正三角形(是坐标原点) .‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求出点的横坐标关于的表达式；‎ 解：（Ⅰ）. …………………………… 3分 y x O A0‎ P1‎ P2‎ P3‎ A1‎ A2‎ A3‎ ‎（Ⅱ）依题意，则 ‎，‎ 在正三角形中，有 ‎ .‎ ‎. ………………………… 5分 ‎，‎ ‎ ①， ‎ 同理可得 ②. ‎ ‎②-①并变形得 ‎，‎ ‎ . ‎ ‎∴数列是以为首项，公差为的等差数列.‎ ‎ ， ，‎ ‎. …………… 8分 ‎（Ⅲ）∵， ‎ ‎∴.‎ ‎.‎ ‎∴当时，上式恒为负值，‎ ‎∴当时，，∴数列是递减数列. ‎ ‎ 的最大值为. ……………… 12分 若对任意正整数，当时，不等式恒成立，‎ 则不等式在时恒成立，‎ 即不等式在时恒成立.‎ ‎ 设，则且，‎ ‎∴‎ 解之，得 或，‎ 即的取值范围是. …………………… 14分 ‎（Ⅲ）设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ y x O A0‎ P1‎ P2‎ P3‎ A1‎ A2‎ A3‎ ‎40. 已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，‎ 设 ， .‎ ‎（Ⅰ）设数列，求；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求函数的最小值.‎ 解：（1）根据题设中有关字母的定义，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，‎ 故，即 ① …………………7分 另一方面，设整数，则当时必有，‎ 所以 所以的最小值为. …………………9分 下面计算的值：‎ ‎ …………………12分 ‎∵ ， ∴‎ ‎∴最小值为. …………………13分 ‎41. 定义为有限项数列的波动强度.‎ ‎（Ⅰ）当时，求；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列.‎ ‎42. 对于，定义一个如下数阵：‎ ‎，‎ 其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．‎ ‎（Ⅰ）当时，试写出数阵并计算；‎ ‎（Ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：；‎ ‎（Ⅲ）若，，求证：．‎ ‎（Ⅰ）解：依题意可得，‎ ‎ ． ‎ ‎ ． ………………4分 ‎ （Ⅱ）解：由题意可知，是数阵的第列的和，‎ ‎ 因此是数阵所有数的和．‎ ‎ 而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．‎ ‎ 对任意的，不超过的倍数有，，…，．‎ ‎ 因此数阵的第行中有个１，其余是，即第行的和为．‎ ‎ 所以． ………………9分 ‎ （Ⅲ）证明：由的定义可知，，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 考查定积分，‎ ‎ 将区间分成等分，则的不足近似值为，‎ ‎ 的过剩近似值为．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以． ………………14分 ‎43. 有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）证明 （，是的多项式），并求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，将数列分组如下：‎ ‎(每组数的个数构成等差数列)．‎ 设前组中所有数之和为，求数列的前项和．‎ ‎（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式 成立的所有的值．‎ 解：（Ⅰ）由题意知．‎ ‎，‎ 同理，，，…，‎ ‎ ．‎ 又因为成等差数列，所以.‎ 故，即是公差为的等差数列．‎ 所以，．‎ 令，则，此时． …………4分 ‎（Ⅱ）当时，．‎ 数列分组如下：．‎ 按分组规律，第组中有个奇数，‎ 所以第1组到第组共有个奇数．‎ 注意到前个奇数的和为，‎ 所以前个奇数的和为. ‎ 即前组中所有数之和为，所以．‎ 因为，所以，从而 ．‎ 所以 .‎ ‎.‎ 故 ‎.‎ 所以 ． …………………………………9分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.‎ 故不等式 就是．‎ 考虑函数．‎ 当时，都有，即．‎ 而，‎ 注意到当时，单调递增，故有.‎ 因此当时，成立，即成立．‎ ‎ 所以,满足条件的所有正整数． …………………………14分 ‎44. 已知，或1，，对于，表示U和V中相对应的元素不同的个数．‎ ‎（Ⅰ）令，存在m个，使得，写出m的值；‎ ‎（Ⅱ）令，若，求证：；‎ ‎（Ⅲ）令，若，求所有之和．‎ ‎45. 已知定义在上的函数和数列，，，当且时，，且，其中，均为非零常数．‎ ‎（Ⅰ）若数列是等差数列，求的值；‎ ‎（Ⅱ）令，若，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．‎ 解：（Ⅰ）由已知，，‎ 得 ．‎ 由数列是等差数列，得． ‎ 所以，，，‎ 所以． ………………4分 ‎（Ⅱ）由，可得 且当时，‎ ‎．‎ 所以，当时，‎ ‎， ……………7分 因此，数列是一个首项为，公比为的等比数列．‎ 所以 数列的通项公式是．……………………8分 ‎（Ⅲ）若是等比数列，由（Ⅱ）知，，‎ ‎，‎ ‎． …………………………………………10分 当时，．‎ 上式对也成立，所以，数列的通项公式为：‎ ‎．‎ 所以，当时，数列是以为首项，为公差的等差数列． ‎ 所以，． ……………………………………………………………………12分 当时，． ‎ 上式对也成立，‎ 所以 ‎ 所以 ． ‎ 所以 等式对于任意实数均成立．‎ 所以 ． ……………………………………………………14分 ‎46. 在单调递增数列中，，不等式对任意都成立.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）判断数列能否为等比数列？说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设，，‎ 求证：对任意的，.‎ ‎（Ⅰ）解：因为是单调递增数列，‎ 所以，.‎ 令，，，‎ 所以. ………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：数列不能为等比数列.‎ 用反证法证明：‎ 假设数列是公比为的等比数列，，.‎ 因为单调递增，所以.‎ 因为，都成立.‎ 所以， ①‎ 因为，所以，使得当时，.‎ 因为.‎ 所以，当时，，与①矛盾，故假设不成立.‎ ‎ ………………9分 ‎（Ⅲ）证明：观察： ，，，…，猜想：.‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当时，成立；‎ ‎（2）假设当时，成立；‎ 当时，‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎ 根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.‎ 由已知得，.‎ 所以.‎ 所以当时，.‎ ‎ 因为.‎ 所以对任意，.‎ 对任意，存在，使得，‎ 因为数列{}单调递增，‎ 所以，.‎ 因为，‎ 所以. ………………14分 ‎47. 对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令 ‎.‎ ‎(Ⅰ) 若数列： 求数列；‎ ‎(Ⅱ) 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；‎ ‎(Ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式.‎ 解：(Ⅰ)由变换的定义可得 …………………………………2分 ‎ ……………………………4分 ‎(Ⅱ) 数列中连续两项相等的数对至少有10对 ……………………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，‎ 因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，‎ 所以中至少有10对连续相等的数对. ………………………………………8分 ‎(Ⅲ) 设中有个01数对，‎ 中的00数对只能由中的01数对得到，所以，‎ 中的01数对有两个产生途径：①由中的1得到； ②由中00得到，‎ 由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由可得，‎ 所以，‎ 当时，‎ 若为偶数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 上述各式相加可得，‎ 经检验，时，也满足 若为奇数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 上述各式相加可得，‎ 经检验，时，也满足 所以……………………………………………………………..13分 ‎48. 若为集合且的子集，且满足两个条件：‎ ‎①；‎ ‎②对任意的，至少存在一个，使或.‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 则称集合组具有性质.‎ 如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.‎ ‎（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；‎ 集合组1：；‎ 集合组2：.‎ ‎（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；‎ ‎（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）‎ ‎（Ⅰ）解：集合组1具有性质. ………………1分 ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ 所对应的数表为：‎ ‎……………3分 集合组2不具有性质. ………………4分 因为存在，‎ 有，‎ 与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质. ………………‎ ‎5分 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ……………7分 ‎. ………………8分 ‎ （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）‎ ‎（Ⅲ）设所对应的数表为数表，‎ 因为集合组为具有性质的集合组，‎ 所以集合组满足条件①和②，‎ 由条件①：，‎ 可得对任意，都存在有，‎ 所以，即第行不全为0，‎ 所以由条件①可知数表中任意一行不全为0. ………………9分 由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.‎ 所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同. ………………10分 因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，‎ 所以.‎ 又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.‎ 所以. ………………12分 因为等于表格中数字1的个数，‎ 所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，‎ 而时，在数表中，‎ 的个数为的行最多行；‎ 的个数为的行最多行；‎ 的个数为的行最多行；‎ 的个数为的行最多行；‎ 因为上述共有行，所以还有行各有个，‎ 所以此时表格中最少有个.‎ 所以的最小值为. ………………14分 ‎ ‎49. 用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列． ‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值； ‎ ‎（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．‎ 解：（Ⅰ）由已知知．‎ ‎ 所以． ………………4分 ‎（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，‎ 所以我们可设计如下表格 k m ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎‥‥‎ ‎1‎ ‎‥‥‎ ‎‥‥‎ ‎2‎ ‎‥‥‎ ‎3‎ ‎‥‥‎ ‎‥‥‎ ‎4‎ ‎‥‥‎ ‎‥‥‎ ‎5‎ ‎‥‥‎ ‎‥‥‎ 从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．‎ 且‥‥‎ 所以 ． ………………8分 ‎（Ⅲ）任取，，‎ 若，则必有．‎ 即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．‎ 对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，‎ 则，即，所以，‎ 同理，第二行共有的数不大于，有，‎ ‎ 第行共有的数不大于，有．‎ 所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．……13分 ‎50. 对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，. 特别地，当时，称能整除，记作，已知.‎ ‎（Ⅰ）存在，使得，试求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；‎ ‎（Ⅲ）若，（指集合B 中的元素的个数），且存在，，，则称为“和谐集”. 求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.‎ ‎（Ⅰ）解：因为,‎ 所以. ……………………………………2分 ‎（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.‎ 设，，，，由已知,‎ 由于，所以，.‎ 不妨令，，这里，且，‎ 同理，，且，‎ 因为只有三个元素，所以.‎ 即，但是，与已知矛盾.‎ 因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则. ……………………………………8分 ‎（Ⅲ）当时，记，记，‎ 则，显然对任意，不存在，使得成立. 故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.‎ 因此.　 ……………………………………10分 ‎ 下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.‎ 设，‎ 若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.‎ 现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.‎ 以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.‎ 综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7. ……………………………………14分 ‎51. 已知函数（，，为常数，）.‎ ‎（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），‎ 证明：；‎ ‎（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，‎ 求证：.‎ ‎（Ⅰ）解：依条件有.‎ 因为点在函数的图象上，所以. ‎ 因为， ‎ 所以是首项是，公差为的等差数列. …………………… 1分 所以. ‎ 即数列的前项和. ……………………………… 2分 ‎（Ⅱ）证明：依条件有 即解得 所以. ‎ 所以 ……………………………………… 3分 ‎ 因为=‎ ‎，‎ 又，所以.‎ 即. …………………………………………………… 5分 ‎（Ⅲ）依条件.‎ 因为为奇函数，所以.‎ 即. 解得. 所以.‎ 又，所以.‎ 故. ……………………………………………………………6分 因为，所以. 所以时，有（）.‎ 又，‎ 若，则. 从而. 这与矛盾.‎ 所以. …………………………………………………………… 8分 所以.‎ 所以. ………………10分 所以 ‎. …………………12分 因为，，所以. 所以.‎ 所以. …14分