上海春季高考数学试卷详细答案版最新 12页

‎2014年上海市普通高等学校春季招生统一考试 ‎（暨上海市普通高中学业水平考试）‎ 数学试卷 考生注意：‎ ‎1．本试卷两考合一，春季高考=学业水平考+附加题；‎ ‎ 春季高考，共32道试题，满分150分．考试时间120分钟 ‎ （学业水平考，共29道试题，满分120分．考试时间90分钟；‎ ‎ 其中第30-32题为附加题，满分30分．考试时间30分钟）．‎ ‎2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）‎ 在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．‎ ‎3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚的填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码 贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得3分，否则一律得零分．‎ ‎1．若，则 ． ‎ ‎2．计算： （为虚数单位）．‎ ‎3．、、、、这五个数的中位数是 ．‎ ‎4．若函数为奇函数，则实数 ．‎ ‎5．点到直线的距离是 ．‎ ‎6．函数的反函数为 ．‎ ‎7．已知等差数列的首项为，公差为，则该数列的前项和 ．‎ ‎8．已知，则 ．‎ ‎9．已知、。若，则的最大值是 ．‎ ‎10．在件产品中，有件次品，从中随机取出件，则恰含件次品的概率是 （结果用数值表示）．‎ ‎11．某货船在处看灯塔在北偏东方向，它以每小时海里的速度向正北方向航行，经过分 ‎ 钟到达处，看到灯塔在北偏东方向，此时货船到灯塔的距离为 海里．‎ ‎12．已知函数与的图像相交于、两点.若动点满足，‎ 则的轨迹方程为 ．‎ 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，‎ 将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．‎ ‎13．两条异面直线所成的角的范围是（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎14．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎15．右图是下列函数中某个函数的部分图像，则该函数是（ ）‎ ‎；；；‎ ‎16．在的二项展开式中，项的系数为（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎17．下列函数中，在上为增函数的是（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎18．（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎19．设为函数的零点，则（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎20．若，，则下列不等式中恒成立的是（ ）‎ ‎； ； ； ‎ ‎21．若两个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（ ）‎ ‎ ‎ ‎22．已知数列是以为公比的等比数列．若，则数列是（ ）‎ 以为公比的等比数列； 以为公比的等比数列；‎ 以为公比的等比数列； 以为公比的等比数列 23． 若点的坐标为，曲线的方程为，则“”是“点在曲线上”的( ) ‎ 充分非必要条件； 必要非充分条件； 充分必要条件； 既非充分又非必要条件 ‎24．如图，在底面半径和高均为的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是 母线的中点．已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，‎ 则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为（ ）‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎25．（本题满分7分）‎ ‎ 已知不等式的解集为，函数的定义域为集合，求．‎ ‎26．（本题满分7分）‎ ‎ 已知函数.若，求的最大值和最小值.‎ ‎27．（本题满分8分）‎ 如图，在体积为的三棱锥中，与平面垂直，，，‎ ‎、分别是、的中点.求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.‎ ‎28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分．‎ ‎ 已知椭圆的左焦点为，上顶点为.‎ ‎（1）若直线的一个方向向量为，求实数的值；‎ ‎（2）若，直线与椭圆相交于、两点，且，求实数的值．‎ ‎29．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.‎ ‎ 已知数列满足，双曲线.‎ ‎（1）若，双曲线的焦距为，，求的通项公式；‎ ‎（2）如图，在双曲线的右支上取点，过作轴的垂线，在第一象限内交的 ‎ 渐近线于点，联结，记的面积为.若，求.‎ ‎ （关于数列极限的运算，还可参考如下性质：若，则）‎ ‎30．（本题满分8分）‎ 已知直角三角形的两直角边、的边长分别为，如图，过边的等分点 作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为．‎ 是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数，点都在这条曲线上？说明理由．‎ ‎31．（本题满分8分）‎ 某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131º和147º，在某时刻 测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为887.64千米。假设地球赤道是一个半径 为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01º）．‎ ‎32．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.‎ ‎ 如果存在非零常数，对于函数定义域上的任意，都有成立，‎ 那么称函数为“函数”.‎ ‎（1）求证：若是单调函数，则它是“函数”；‎ ‎（2）若函数时“函数”，求实数满足的条件．‎ 参考答案 一、填空题（第1题至第12题）‎ ‎1、2 2、 3、2 4、0 5、 6、 ‎ ‎ 7、 8、 9、 10、 11、 12、 ‎ 二、选择题（第13题至第24题）‎ ‎ 13、B 14、A 15、 16、 17、D 18、C ‎ 19、C 20、D 21、 22、 23、C 24、D 三、解答题（第25题至第29题）‎ ‎25、解：的解集是；由，即；因此，．‎ ‎26、解：由，得，，‎ 因为当时，单调递减；当时，单调递增；‎ 由于，所以当时，，．‎ ‎27、解：由得，‎ ‎ 因为，所以异面直线与所成的角为，‎ ‎ 由直角三角形，则，异面直线EF与PC所成角为．‎ ‎28、解：（1）易知，所以 ‎ 又因为是直线的一个方向向量，所以，因为，所以．‎ ‎（2）由，知，联立．‎ ‎ 设，则 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得或，又因为，故．‎ ‎29、（1）由题意， 则；两式相减得：‎ ‎ 所以是以1为首项，4为公差的等差数列，得；‎ ‎ 是以2为首项，4为公差的等差数列，得；‎ ‎ 所以 ‎（2）由题意，则，所以 双曲线的渐近线，所以 ‎ ，‎ ‎ 所以 ‎ ；‎ ‎ 所以=．‎ ‎30、解：以A为坐标原点，AC方向为轴，过A作的垂线为轴建立直角坐标系；‎ ‎ 则，，；：，：；‎ ‎ 存在满足条件的圆锥曲线（抛物线）．‎ ‎31、解：如图，建立赤道截面平面图，其中为球心，分别为甲、乙监测点，为卫星所在位置，‎ ‎ 为卫星在地赤道上的投影（由于题目中未说明的位置，且，故有以下三种情况）．‎ ‎ ‎ ‎ 易得，，，‎ ‎ 在中，；‎ ‎ 在中，最大，即、都是锐角，所以选择第三张图；‎ ‎ ；‎ ‎ 在中，；‎ ‎ ，即卫星高度为；‎ ‎ 又在中，；‎ ‎ 即卫星位于赤道上东经．‎ ‎32、解：‎ ‎（1）[证明]‎ ‎① 当函数是单调递增函数时，则对任意恒成立；‎ ‎ 存在非零常数，使得对任意都有成立；‎ ‎ 是“函数”；‎ ‎② 当函数是单调递减函数时，则对任意恒成立；‎ ‎ 存在非零常数，使得对任意都有成立；‎ ‎ 是“函数”；‎ ‎（2）由题意，若函数是“函数”，则存在非零常数，对于定义域上的任意，‎ ‎ 都有恒成立，即；‎ ‎ 化简后，得恒成立；‎ ‎ 则 ‎ 化简后，得或 ‎ 只需满足条件．‎