三角函数高考常见题型 14页

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  • 2021-05-13 发布

三角函数高考常见题型

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三角函数高考常见题型 三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题,试题难度一般不大,但其战略意义重大,所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷,可以发现,三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起,且向量为辅,三角为主,主要有以下五类:‎ ‎ 一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。‎ ‎ 例题1.(2012全国卷大纲7)已知为第二象限角,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】.‎ ‎ 例题2.【2012高考真题山东理7】若,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】‎ ‎ 例题3.(2011浙江)(6)若,,,,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】‎ 例4. 已知向量。‎ ‎(1)若,求的取值范围;‎ ‎(2)函数,若对任意,恒有,求的取值范围。‎ 解:(1),‎ 即。‎ ‎(2)。‎ ‎,‎ 又 ‎【习题1】‎ ‎1.【2012高考真题辽宁理7】已知,(0,π),则=‎ ‎(A) 1 (B) (C) (D) 1 【答案】‎ ‎2.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=‎ A. B. C. D. 【答案】‎ ‎3.【2012高考重庆文5】‎ ‎(A)(B)(C) (D) 【答案】‎ ‎4.【2012高考真题四川4】如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )‎ A、 B、 C、 D、 【答案】‎ ‎5.(2012考江苏11)为锐角,若,则的值为 ▲ ;‎ 若,则等于 .‎ ‎6.已知a∈(,),sinα=,则tan2α= 【答案】‎ ‎ 二、运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对称中心。‎ ‎ 例题1.【2012高考真题新课标理9】已知,函数在上单调递减.则的取值范围是( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为,要使函数在上单调递减,则有恒成立,‎ 则,‎ 即,‎ 所以,‎ 当时,,又,所以有,‎ 解得,即,选A.‎ 例题2.【2012高考新课标文9】已知ω>0,,直线和是函数图像的两条相邻的对称轴,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎【答案】A ‎【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴,所以,即.又,所以,所以,因为是函数的对称轴所以,所以,因为,所以,检验知此时也为对称轴,所以选A.‎ 例题3.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于( ) (A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8‎ 解:函数和函数 的图像有公共的对称中心,且函数的周期为2,做出两个函数在同一坐标系内的图像,在区间上有两个交点,根据对称性,在上也有两个交点,故所有交点横坐标之和为4,选。‎ 例题4 若,在函数的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当时,的最大值为1。‎ ‎(1)求函数的解析式; (2)若,求实数的值。‎ 解:由题意得,‎ ‎(1)∵对称中心到对称轴的最小距离为,∴的最小正周期,‎ ‎。‎ 当时,,。‎ ‎。‎ ‎(2)由,得,由,得。‎ 故。‎ ‎【习题2】‎ ‎1.已知函数的图像与一条与 轴平行的直线有三个交点,其中横坐标分别为,则 【答案】‎ 2. 已知函数为常数,的图像关于对称,‎ 则函数是( )‎ ‎(A)偶函数且它的图象关于点对称 (B)偶函数且它的图象关于点对称 ‎(C)奇函数且它的图象关于点对称(D)奇函数且它的图象关于点对称 ‎【答案】‎ ‎3.(2006年湖南文)设点P是函数的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值,则的最小正周期是( )‎ A.2π     B. π     C.     D. ‎ ‎【答案】‎ 4. ‎(2012年全国卷.理科14)函数取最大值时, ‎ ‎【答案】.‎ ‎5.已知对于任意实数都有成立,且,则实数的值为 .【答案】或.‎ ‎ 三、三角函数的图像及性质 ‎【例题】1.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是 ‎【答案】‎ ‎【例题】2.函数的图象如图,则的解析式和的值分别为( )‎ ‎ A. , ‎ ‎ B. , ‎ ‎ C. , ‎ ‎ D. , ‎ ‎【答案】‎ ‎【例题3】(2012宁波市十校联考.文科)矩形中,轴,且矩形恰好完全覆盖的一个完整周期的图像,当变化时,矩形周长的最小值为        ;‎ ‎【答案】‎ ‎【例题】4.(江西2009年卷.理科18) 如图,函数的图象与轴交于点,且在该点处切线的斜率为.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值.‎ 解:(1)将,代入函数得,‎ 因为,所以.又因为,,,所以,‎ 因此.‎ ‎(2)因为点,是的中点,,‎ 所以点的坐标为.‎ 又因为点在的图象上,所以.‎ 因为,所以,‎ 从而得或.即或.‎ ‎【习题3】‎ ‎1.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数,若的最小正周期是,且当时,,则的值为 ( D )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2.函数的部分图象是( D )‎ ‎3.① 存在使 ‎② 存在区间(a,b)使为减函数而<0‎ ‎③ 在其定义域内为增函数 ‎④ 既有最大、最小值,又是偶函数 ‎⑤ 最小正周期为π 以上命题错误的为____________.①②③⑤ ‎ ‎ ‎ ‎4.右图为的图象的一段,求其解析式。‎ 解析 法1以M为第一个零点,则A=,‎ 所求解析式为 点M(在图象上,由此求得 ‎ 所求解析式为 法2. 由题意A=,,则 图像过点 ‎ 即 取 所求解析式为 ‎ 四、 三角函数的定义域、值域、最值问题 ‎ 【例题1】求下列函数的定义域 ‎ 1.;【答案】,‎ ‎ 2.. 【答案】 ‎ ‎ 【例题2】(1)已知的定义域为____________.‎ ‎【答案】,()‎ ‎(2)设的定义域为_____________. 【答案】.‎ ‎ 【例题3】求下列函数的值域 ‎ (1); 【答案】‎ ‎ (2); 【答案】‎ ‎ (3); 【答案】‎ ‎ (4); 【答案】‎ ‎ ‎ ‎ 【 例题4】.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为 ‎ (A)   (B)0   (C)-1   (D)‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】因为,所以,,即 ‎,所以当时,最小值为,当时,最大值为,所以最大值与最小值之和为,选A.‎ ‎【习题4】‎ ‎1、函数的定义域为[﹣,],则的定义域为(  )‎ A、[﹣,] B、[,]‎ C、[2kπ+,2kπ+](k∈Z) ‎ D、[2kπ﹣,2kπ+]∪[2kπ+,2kπ+](k∈Z)‎ ‎2.若θ为锐角,则的取值范围是 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.α在第三、四象限,的取值范围是 ( )‎ ‎ A.(-1,0) B.(-1,) C.(-1,) D.(-1,1)‎ ‎4.函数的值域是 ( )‎ A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,2] D.[0,1]‎ ‎5.若函数的最大值为,试确定常数的值.‎ ‎ 五、解三角形问题,判断三角形形状,正余弦定理的应用 ‎【例题1】【2012高考浙江文18】(本题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,且。‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1),由正弦定理可得,即得,.‎ ‎(2),由正弦定理得,由余弦定理,,解得,.‎ ‎【例题2】【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.‎ ‎【答案】本题主要考查三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。‎ ‎(Ⅰ)∵=>0,∴sinA=,‎ 又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA 整理得:tanC=.‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=,.‎ 又由正弦定理知:,故.‎ ‎ ‎ ‎∴ABC的面积为:S=.‎ ‎【例题3】(2011浙江卷.理科18)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为.‎ 已知且.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的值;‎ ‎(Ⅱ)若角为锐角,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)由题设,并利用正弦定理得 ,‎ 解得 或 ;‎ ‎(Ⅱ) 由余弦定理,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 即,由于,‎ ‎ 所以 ‎【例题4】(2011江西)△的角的对分别是,已知.‎ ‎(1) 求的值;‎ ‎(2)若,求的值。‎ 解:(1)由已知得 即 由 同边平方得:‎ ‎ (2)由,‎ 即 由 由余弦定理得 ‎ 【例题5】(2012年宁波高考一模.理科18)已知,,且满足。‎ ‎ (1)将表示为的函数,并求的最小正周期;‎ ‎ (2)已知分别是的三个内角对应的边长,若对所以的恒成立,且,求的取值范围。‎ 解:(1),的最小正周期是;‎ ‎ ,‎ 由余弦定理,得 ‎,‎ 又,所以的取值范围是.‎ ‎【习题5】‎ ‎1、在△中角所对的边分别是,且满足.‎ (1) 求角的大小;‎ (2) 求的最大值,并求取得最大值时角的大小。‎ ‎2(2011年全国大纲卷.理17)在△中角所对的边分别是已知 ‎=90°,,求角。‎ ‎3、(2012浙江省高考命题研究专家原创卷四.18)在在△中,角所对的边分别是,向量,,且⊥。‎ (1) 求角 的大小;‎ (2) 求的取值范围。‎ ‎4、(2009年安徽理科.18)△中,.‎ (1) 求的值;‎ (1) 设,求△的面积。‎ ‎5、(2012浙江省高考命题研究专家原创卷七.18)在△中角所对的边分别是,已知,,△的面积为.‎ (1) 求角的大小;‎ (2) 求的值。‎ ‎6、(2012浙江省高考命题研究专家原创卷九.18)在△中角所对的边分别是,角为锐角,向量,,且∥.‎ (1) 求角的大小;‎ (2) 如果,求△的面积的最大值。‎ ‎7、(2012浙江省高考命题研究专家原创卷十.18)设为△的三个内角,向量,,且向量的和向量与差向量的数量积为.‎ (1) 求角的大小;‎ (2) 求的取值范围。‎ ‎8、在△中角所对的边分别是,且三边上的高分别是满足.‎ (1) 若在△的面积为,用表示面积;‎ (2) 用表示,并求角的值.‎ ‎9、(金丽衢十二校高三第二次联考.18)已知.‎ (1) 求的值;‎ (1) 在中,角所对的边分别是,若,且,求的值.‎ ‎ ‎ ‎10、(2012年宁波二模.18)已知函数,设的最小内角为,满足.‎ (1) 求角的大小;‎ (2) 若边上的中线长为,求面积的最大值.‎