2015高考数学（理）（平面向量及其线性运算）一轮复习学案 11页

学案25　平面向量及其线性运算 导学目标： 1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ 自主梳理 ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量的定义：既有______又有______的量叫做向量．‎ ‎（2）表示方法：用 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示．‎ ‎(3)模：向量的______叫向量的模，记作________或_______．‎ ‎(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．‎ ‎(5)单位向量：长度为____单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.‎ ‎(6)平行向量：方向______或______的______向量；平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量______．‎ ‎(7)相等向量：长度______且方向______的向量．‎ ‎2．向量的加法运算及其几何意义 ‎（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的 ，记作 ，即 =+= ，这种求向量和的方法叫做向量加法的 . ‎（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 . ‎ ‎(3)加法运算律 a＋b＝________ (交换律)；‎ ‎(a＋b)＋c＝____________(结合律)．‎ ‎3．向量的减法及其几何意义 ‎(1)相反向量 与a____________、____________的向量，叫做a的相反向量，记作______．‎ ‎(2)向量的减法 ‎①定义a－b＝a＋________，即减去一个向量相当于加上这个向量的____________．‎ ‎②如图，＝a，，＝b，则＝ ，＝____________.‎ ‎4．向量数乘运算及其几何意义 ‎(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：‎ ‎①|λa|＝______；‎ ‎②当λ>0时，λa与a的方向______；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝______.‎ ‎(2)运算律 设λ，μ是两个实数，则 ‎①λ(μa)＝________.(结合律)‎ ‎②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)‎ ‎③λ(a＋b)＝__________.(第二分配律)‎ ‎(3)两个向量共线定理：向量b与a (a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎5．重要结论 ＝(＋＋)⇔G为△ABC的________；‎ ＋＋＝0⇔P为△ABC的________．‎ 自我检测 ‎1.（2010·四川）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，＝16，|，|则||等于 (　　)‎ A．8 B．‎4 ‎ C．2 D．1‎ ‎2．下列四个命题：‎ ‎①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；‎ ‎②对于实数m和向量a，b (m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；‎ ‎③若ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则m＝n；‎ ‎④若a＝b，b＝c，则a＝c，‎ 其中正确命题的个数为 (　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎3.在ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则等于 (　　)‎ A．－a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b ‎4.（2010·湖北）已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m，成立，则m等于 (　　)‎ A．2 B．‎3 ‎ C．4 D．5‎ ‎5.（2009·安徽）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.‎ 探究点一　平面向量的有关概念辨析 例1　①有向线段就是向量，向量就是有向线段；‎ ‎②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；‎ ‎④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.‎ 以上命题中正确的个数为 (　　)‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．0‎ 变式迁移1　下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．‎ ‎①|a|＝|b|⇒a＝b；‎ ‎②若a＝b，b＝c，则a＝c；‎ ‎③|a|＝0⇒a＝0；‎ ‎④若A、B、C、D是不共线的四点，则＝⇔四边形ABCD是平行四边形．‎ 探究点二　向量的线性运算 例2（2011·开封模拟）已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：＝(＋)．‎ 变式迁移2（2011·深圳模拟）如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示，，＋.‎ 探究点三　共线向量问题 例3 如图所示，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.‎ 变式迁移3　设两个非零向量e1和e2不共线．‎ ‎(1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；‎ ‎（2）如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．‎ ‎1.若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则＝(＋)．如图所示．‎ ‎2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．‎ ‎3．三点共线的性质定理：‎ ‎（1）若平面上三点A、B、C共线，则＝λ.‎ ‎（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 (　　)‎ A.＝＋ Ｂ.＝－ Ｃ.＝－＋ D. ＝－－ ‎2.设a，b为不共线向量， ＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，则下列关系式中正确的是 (　　)‎ A.＝ B.＝2 C.＝－ D.＝－2 ‎3．(2011·杭州模拟)设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：‎ ‎①若a与b共线，则b＝λa；‎ ‎②若b＝－λa，则a与b共线；‎ ‎③若a＝λb，则a与b共线；‎ ‎④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.‎ 其中正确的结论有 (　　)‎ A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④‎ ‎4.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于 (　　)‎ A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c ‎5.（2010·广东中山高三六校联考）在△ABC中，已知D是AB边上一点，＝2，＝＋λ，则λ等于 （ ）‎ A. B. C．－ D．－ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6.（2009·湖南）如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝______，y＝__________.‎ ‎7.已知＝a，＝b，＝λ，则＝_________.‎ ‎8. （2011·青岛模拟）O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ＝时，则·(＋)的值为________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？‎ ‎10.(12分)在△ABC中，BE与CD交于点P，且＝a，＝b，用a，b表示.‎ ‎11．(14分)(2011·黄山模拟)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．‎ ‎（1）求＋＋；‎ ‎（2）若PQ过△ABO的重心G，且，＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.‎ 答案 自主梳理 ‎1.（1）大小 方 向 （2）有向线段 （3）长度 |a||‎ ‎(4)任意的　(5)1个　±　(6)相同　相反　非零　共线向量　平行　(7)相等　相同　2.(1)和　a＋b　a＋b　　三角形法则　(2)平行四边形法则　(3)b＋a　a＋(b＋c)　3.(1)长度相等　方向相反　－a　(2)①(－b)　相反向量　②a＋b　a－b　4.(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0　(2)①(λμ)a　②λa＋μa　③λa＋λb　5.(1)重心　(2)重心 自我检测 ‎1.‎ ‎2．C　[①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．]‎ ‎3.A [由＝3得4＝3＝3(a＋b)，‎ 又＝a＋b，所以＝(a＋b)－ ‎＝－a＋b.]‎ ‎4．B　[由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，‎ 则＝，①‎ 因为AD为中线，＋＝2＝m，‎ 即2＝m，②‎ 联立①②可得m＝3.]‎ ‎5. 解析 设＝a，＝b，‎ 那么＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，‎ ＝(＋)，即λ＝μ＝，‎ ‎∴λ＋μ＝.‎ 课堂活动区 例1　D　[①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；‎ ‎②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；‎ ‎③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；‎ ‎④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．‎ 所以应选D.]‎ 变式迁移1　②③④‎ 解析　①模相同，方向不一定相同，‎ 故①不正确；‎ ‎②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；‎ ‎③只有零向量的模才为0，故③正确；‎ ‎④＝，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．‎ 故应选②③④.‎ 例2　证明　方法一　如图所示，‎ 在四边形CDEF中，＋＋＋＝0.①‎ 在四边形ABFE中，＋＋＋＝0.②‎ ‎①＋②得 ‎(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝0.‎ ‎∵E、F分别是AD、BC的中点，‎ ‎∴＋＝0，＋＝0.‎ ‎∴2＝－－＝＋，‎ 即＝(＋)．‎ 方法二　取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．‎ ‎∵E为AD的中点，∴＝.‎ ‎∵F是BC的中点，∴＝（＋)．‎ 又＝＋，‎ ‎∴＝（＋＋)＝（＋)＋ ‎＝（＋)＋ ‎∴＝－＝（＋)．‎ 即＝（＋)．‎ 变式迁移2　 解 ＝＋＋ 例3　解题导引　(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．‎ ‎(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．‎ 证明 在△ABD中＝－.‎ 因为＝a, ＝b，所以＝b－a.‎ ①‎ ②‎ 由共线向量定理知：∥，‎ 又∵与有公共点C，∴M、N、C三点共线．‎ 变式迁移3 （1）证明∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，‎ ‎∴＝＋＝e1－e2＋3e1＋2e2‎ ‎＝4e1＋e2＝（－8e1－2e2) ＝．‎ ‎∴与共线．‎ 又∵与有公共点C，∴A、C、D三点共线．‎ ‎（2）＝＋＝（e1＋e2)＋（2e1－3e2) ＝3e1－2e2，∵A、C、D三点共线，∴与共线．‎ 从而存在实数λ使得＝λ 即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)．‎ 由平面向量的基本定理得 解之，得∴k的值为.‎ 课后练习区 ‎1．B　[由减法的三角形法则知＝－.]‎ ‎3．D　[题目考查两向量共线的充要条件，此定理应把握好两点：(1)与λ相乘的向量为非零向量，(2)λ存在且唯一．故②③④正确．]‎ ‎ ‎ ‎5.‎ ‎ ‎ ‎6．1＋　 解析　‎ 作DF⊥AB交AB的延长线于F，设AB＝AC＝1⇒BC＝DE＝，∵∠DEB＝60°，∴BD＝.‎ 由∠DBF＝45°，‎ 得DF＝BF＝×＝，‎ 所以＝＝，‎ 所以＝＋＋＝（）＋.‎ ‎7.a＋b ‎＝a＋(b－a)＝a＋b.‎ ‎8．0‎ 解析 由＝＋λ(＋)，λ＝，得－（＋)，即点P为△ABC中BC边的中点，‎ ‎∴＋＝0.‎ ‎∴·(＋)＝·0＝0.‎ ‎9．解 设＝a，＝tb，＝(a＋b)，‎ ‎∴＝－＝－a＋b，……………………………………………………………(4分)‎ ＝－＝tb－a.……………………………………………………………………(6分)‎ 要使A、B、C三点共线，只需＝λ，‎ 即－a＋b＝λtb－λa，……………………………………………………………………(8分)‎ ‎∴　∴……………………………………………………(11分)‎ ‎∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．……………………………………………(12分)‎ ‎10．解　‎ 取AE的三等分点M，‎ 使|AM|＝|AE|，连结DM.‎ 设|AM|＝t，则|ME|＝2t.‎ 又|AE|＝|AC|，‎ ‎∴|AC|＝12t，|EC|＝9t，‎ ＝＝，…………………………………………………………………………(4分)‎ ‎∴DM∥BE，∴＝＝＝.‎ ‎∴|DP|＝|DC|.…………………………………………………………………………(8分)‎ ‎∴＝＋＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋ ‎＝＋＝a＋b.……………………………………………………………(12分)‎ ‎11．(1)解　∵点G是△ABO的重心，‎ ‎∴＋＋＝0.……………………………………………………………………(2分)‎ ‎(2)证明　∵M是AB边的中点，∴＝(a＋b)．‎ ‎∵G是△ABO的重心，∴＝＝(a＋b)．‎ ‎∵P、G、Q三点共线，∴∥，‎ 且有且只有一个实数λ,使＝λ.…………………………………………………(5分)‎ ‎，‎ ‎∴(－m)a＋b＝λ[－a＋(n－)b]．…………………………………………………(8分)‎ 又因为a、b不共线，所以 ，……………………………………………………………………(10分)‎ 消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.……………………………………………(14分)‎