解密高考2015高考数学人教A版一轮作业29函数模型及其综合应用 7页

时间：45分钟　满分：100分　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2014·江西五校联考)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利(　　)‎ A．25元 B．20.5元 ‎ C．15元 D．12.5元 解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．‎ 答案：D ‎2．(2014·宁夏育才中学月考)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为(　　)‎ A．2800元 B．3000元 C．3800元 D．3818元 解析：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y＝ 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，‎ ‎∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.‎ 答案：C ‎3．(2014·延边质检)已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是(　　)‎ A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝ 解析：到达B地需要＝2.5小时，‎ 所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；‎ 当2.5＜t≤3.5时，x＝150；‎ 当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．‎ 答案：D ‎4．(2014·枣庄期末)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为(　　)‎ A．5 h B．10 h ‎ C．15 h D．30 h 解析：假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是，细菌B的数量是，令，解得x＝10.‎ 答案：B ‎5．(2014·哈尔滨月考)在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：‎ x ‎－2.0‎ ‎－1.0‎ ‎0‎ ‎1.00‎ ‎2.00‎ ‎3.00‎ y ‎0.24‎ ‎0.51‎ ‎1‎ ‎2.02‎ ‎3.98‎ ‎8.02‎ 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)‎ A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b D．y＝a＋ 解析：在坐标系中将点(－2,0.24)，(－1,0.51)，(0,1)，(1,2.02)，(2,3.98)，(3,8.02)画出，观察可以发现这些点大约在一个指数型函数的图象上，因此x与y的函数关系与y＝a＋bx最接近．‎ 答案：B ‎6．(2014·福州二模)某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是P＝，Q＝(a＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元，则a的最小值应为(　　)‎ A. B．5 ‎ C．3 D. 解析：设对乙商品投入资金x万元，则投入甲商品的资金为(20－x)万元(0≤x≤20)．‎ 则纯利润S(x)＝＋，‎ 依题意应有S(x)≥5恒成立，‎ 即＋≥5，即a≥，‎ 由于0≤x≤20，∴的最大值为＝，‎ ‎∴a≥，即a的最小值为.‎ 答案：A 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)‎ ‎7．(2014·豫南九校联考)地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝(lgE－11.4).2008年5月12日，中国汶川发生了8.0级特大地震，而1989年旧金山海湾区域地震的震级为6.0级，那么2008年地震的能量是1989年地震能量的________倍．‎ 解析：据题意可知8＝(lgE1－11.4)⇒lgE1＝23.4，又6＝(lgE2－11.4)⇒lgE2＝20.4，故有lgE1－lgE2＝23.4－20.4＝3⇒lg＝3⇒＝1000，即2008年地震的能量是1989年的1000倍．‎ 答案：1000‎ ‎8．(2014·兖州二模)‎ 一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)．‎ 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是________．‎ 解析：由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6，故应两个进水口进水，不出水，故①正确．‎ 由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位，故1个进水1个出水，故②错误．‎ 由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变，故两个进水一个出水，故③错误．‎ 答案：①‎ ‎9．(2014·济南统考)一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件，则月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数解析式为________(不必写出x的取值范围)．‎ 解析：根据题意中的等量关系，直接列出解析式：y＝20＋2×(40－x)＝－2x＋100.‎ 答案：y＝－2x＋100‎ ‎10．(2014·郑州质检)将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．‎ 解析：设剪成的小正三角形的边长为x，‎ 则：S＝＝·(0＜x＜1)‎ 令3－x＝t，t∈(2,3)，∈(，)‎ 则：S＝· ‎＝·.‎ 故当＝，x＝时，S的最小值是.‎ 答案： 三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)‎ ‎11．(2014·东北三校联合模拟)某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李．如果超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示．‎ ‎(1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克？‎ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.‎ 由题图可知，当x＝60时，y＝6；‎ 当x＝80时，y＝10.‎ ‎∴，解得：.‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝x－6(x≥30)．‎ ‎(2)y＝x－6(x≥30)中y的值为0时，x的值为最多可免费携带行李的质量，应是函数图象与x轴交点的横坐标．‎ 当y＝0时，x＝30.‎ ‎∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.‎ ‎12．(2014·开封二模)某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为12.7万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为m%的管理费(即销售100元要征收m元)，于是该商品每件的定价提高%，预计年销售量将减少m万件．‎ ‎(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元，则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少？‎ ‎(3)第二年，商场在所收管理费不少于21万元的前提下，求使厂家获得最大销售金额时的m的值．‎ 解：(1)依题意，第二年该商品年销售量为(12.7－m)万件，每件销售价格为：‎ ‎70(1＋%)＝，‎ ‎∴年销售收入为(12.7－m)万元．‎ 则商场该年对该商品征收的总管理费为 (12.7－m)m%万元．‎ 故所求函数为y＝(12.7－m)m，‎ 由12.7－m＞0及m＞0得其定义域为{m|0＜m＜12.7}．‎ ‎(2)由y≥21得(12.7－m)m≥21，‎ 化简得m2－13m＋30≤0，‎ 即(m－3)(m－10)≤0，‎ 解得3≤m≤10，‎ 故当比率在[3%,10%]内时，商场收取的管理费将不少于21万元．‎ ‎(3)第二年，当商场收取的管理费不少于21万元时，厂家的销售收入为g(m)＝(12.7－m)(3≤m≤10)，‎ ‎∵g(m)＝(12.7－m)＝700(10＋)为减函数，‎ ‎∴g(m)max＝g(3)＝700(万元)，‎ 故当m＝3时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于21万元．‎ ‎13．(2014·江苏模拟)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎(1)求炮的最大射程；‎ ‎(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ 解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，‎ 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，‎ 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．‎ ‎(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标 ‎⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ‎⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ‎⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0‎ ‎⇔a≤6.‎ 所以当a不超过6(千米)时，可击中目标．‎