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- 2021-05-13 发布
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2012高考试题分类汇编:三角函数
一、选择题
1.【2012高考安徽文7】要得到函数的图象,只要将函数的图象
(A) 向左平移1个单位 (B) 向右平移1个单位
(C) 向左平移 个单位 (D) 向右平移个单位
【答案】C
【解析】 左+1,平移。
2.【2012高考新课标文9】已知ω>0,,直线和是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴,则φ=
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】因为和是函数图象中相邻的对称轴,所以,即.又,所以,所以,因为是函数的对称轴所以,所以,因为,所以,检验知此时也为对称轴,所以选A.
3.【2012高考山东文8】函数的最大值与最小值之和为
(A) (B)0 (C)-1 (D)
【答案】A
【解析】因为,所以,,即,所以当时,最小值为,当时,最大值为,所以最大值与最小值之和为,选A.
4.【2012高考全国文3】若函数是偶函数,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】函数,因为函数为偶函数,所以,所以,又,所以当时,,选C.
5.【2012高考全国文4】已知为第二象限角,,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】因为为第二象限,所以,即,所以,选B.
6.【2012高考重庆文5】
(A)(B)(C) (D)
【答案】C
【解析】
,选C.
7.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移 1个单位长度,得到的图像是
【答案】A
【解析】由题意,y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即解析式为y=cosx+1,向左平移一个单位为y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为y=cos(x-1),利用特殊点变为,选A.
8.【2012高考上海文17】在△中,若,则△的形状是( )
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
【答案】A
【解析】根据正弦定理可知由,可知,在三角形中,所以为钝角,三角形为钝角三角形,选A.
9.【2012高考四川文5】如图,正方形的边长为,延长至,使,连接、则( )
(1) B、 C、 D、
【答案】B
【解析】 ,
,
,
由正弦定理得,
所以.
10.【2012高考辽宁文6】已知,(0,π),则=
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A
【解析】故选A
【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题。
11.【2012高考江西文4】若,则tan2α=
A. - B. C. - D.
【答案】B
【解析】由,得,即。又,选B.
12.【2012高考江西文9】已知若a=f(lg5),则
A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1
【答案】C
【解析】先化简函数,所以,,所以,选C。
13.【2012高考湖南文8】 在△ABC中,AC= ,BC=2,B =60°,则BC边上的高等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设,在△ABC中,由余弦定理知,
即,又
设BC边上的高等于,由三角形面积公式,知
,解得.
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.
14.【2012高考湖北文8】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA,则sinA∶sinB∶sinC为
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
【答案】D
【解析】因为为连续的三个正整数,且,可得,所以①;又因为已知,所以②.由余弦定理可得③,则由②③可得④,联立①④,得,解得或(舍去),则,.故由正弦定理可得,.故应选D.
【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值,明显是要利用正弦定理转化为边长的比值,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.
15.【2012高考广东文6】在△中,若,,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据正弦定理,,则.
16.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-)的图像的一条对称轴是
A.x= B.x= C.x=- D.x=-
【答案】C.
【解析】因为的对称轴为,所以的对称轴为,即,当时,一条对称轴是.故选C.
17.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin(其中>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点(,0),则的最小值是
(A) (B)1 C) (D)2
【答案】D
【解析】函数向右平移得到函数,因为此时函数过点,所以,即所以,所以的最小值为2,选D.
二、填空题
18.【2012高考江苏11】(5分)设为锐角,若,则的值为 ▲ .
【答案】。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】∵为锐角,即,∴。
∵,∴。∴。
∴。
∴
。
19.【2102高考北京文11】在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C的大小为_________。
【答案】
【解析】在△ABC中,利用正弦定理,可得
,所以。再利用三角形内角和,可得.
20.【2102高考福建文13】在△ABC中,已知∠BAC=60°,∠ABC=45°,,则AC=_______.
【答案】.
【解析】由正弦定理得,所以.
21.【2012高考全国文15】当函数取得最大值时,___________.
【答案】
【解析】函数为,当时,,由三角函数图象可知,当,即时取得最大值,所以.
22.【2012高考重庆文13】设△的内角 的对边分别为,且,则
【答案】
【解析】由余弦定理得,所以。所以,即.
23.【2012高考上海文3】函数的最小正周期是
【答案】
【解析】函数,周期,即函数的周期为。
24.【2012高考陕西文13】在三角形ABC中,角A,B,C所对应的长分别为a,b,c,若a=2
,B=,c=2,则b= .
【答案】2.
【解析】由余弦定理知,.
25.【2012高考江西文15】下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是_________。
【答案】3
【解析】第一次循环有,第二次循环有,第三次循环有,第四次循环有,第五次循环有,此时不满足条件,输出,
三、解答题
26.【2012高考浙江文18】(本题满分14分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB。
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.
【答案】
【解析】(1)bsinA=acosB,由正弦定理可得,即得,.
(2)sinC=2sinA,由正弦定理得,由余弦定理,,解得,.
27.【2012高考安徽文16】(本小题满分12分)
设△的内角所对边的长分别为,且有
。
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ) 若,,为的中点,求的长。
【答案】
【解析】
28.【2012高考山东文17】(本小题满分12分)
在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.
(Ⅰ)求证:成等比数列;
(Ⅱ)若,求△的面积S.
【答案】 (I)由已知得:
,
,
,
再由正弦定理可得:,
所以成等比数列.
(II)若,则,
∴,
,
∴△的面积.
29.【2012高考湖南文18】(本小题满分12分)
已知函数的部分图像如图5所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
【答案】
【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期.
因为点在函数图像上,所以.
又即.
又点在函数图像上,所以,故函数f(x)的解析式为
(Ⅱ)
由得
的单调递增区间是
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出,从而求出f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得.
.30【2012高考四川文18】(本小题满分12分)
已知函数。
(Ⅰ)求函数的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若,求的值。
命题立意:本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识,考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想.
【解析】
31.【2012高考广东文16】(本小题满分12分)
已知函数,,且
(1)求的值;
(2)设,,,求的值.
【答案】(1),解得。
(2),即,
,即。
因为,所以,,
所以。
32.【2012高考辽宁文17】(本小题满分12分)
在中,角A、B、C的对边分别为a,b,c。角A,B,C成等差数列。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)边a,b,c成等比数列,求的值。
【答案】
【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果。
33.【2012高考重庆文19】(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)设函数
(其中 )在处取得最大值2,其图象与轴的相邻两个交点的距离为(I)求的解析式; (II)求函数的值域。
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
因,且
故 的值域为
34.【2012高考新课标文17】(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c = asinC-ccosA
(1) 求A
(2) 若a=2,△ABC的面积为,求b,c
【答案】
35.【2102高考北京文15】(本小题共13分)
已知函数。
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递减区间。
【答案】
。
(1)原函数的定义域为,最小正周期为.
(2)原函数的单调递增区间为,。
36.【2012高考陕西文17】(本小题满分12分)
函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为,
(1)求函数的解析式;
(2)设,则,求的值。
【答案】
37.【2012高考江苏15】(14分)在中,已知.
(1)求证:;
(2)若求A的值.
【答案】解:(1)∵,∴,即。
由正弦定理,得,∴。
又∵,∴。∴即。
(2)∵ ,∴。∴。
∴,即。∴。
由 (1) ,得,解得。
∵,∴。∴。
【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。
【解析】(1)先将表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
(2)由可求,由三角形三角关系,得到,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A的值。
38.【2012高考天津文科16】(本小题满分13分)
在中,内角A,B,C所对的分别是a,b,c。已知a=2.c=,cosA=.
(I)求sinC和b的值;
(II)求cos(2A+)的值。
【答案】
39.【2012高考湖北文18】(本小题满分12分)
设函数f(x)=的图像关于直线x=π对称,其中为常数,且
1. 求函数f(x)的最小正周期;
2. 若y=f(x)的图像经过点,求函数f(x)的值域。
【答案】
【解析】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量的范围确定函数的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.
40.【2012高考全国文17】(本小题满分10分) (注意:在试题卷上作答无效)
中,内角、、成等差数列,其对边、、满足,求。
【答案】