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  • 2021-05-13 发布

高考数学总复习解三角形精品题库共12章

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第五章 平面向量、解三角形 第二节 解三角形 第一部分 五年高考荟萃 ‎2009年高考题 ‎1.(2009年广东卷文)已知中,的对边分别为若且,则 ( )‎ A.2 B.4+ C.4— D.‎ 答案 A 解析 ‎ 由可知,,所以,‎ 由正弦定理得,故选A ‎2.(2009全国卷Ⅱ文)已知△ABC中,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 D 解析 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由cotA=知A为钝角,cosA<0排 除A和B,再由.‎ ‎3.(2009全国卷Ⅱ理)已知中,, 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案 D 解析 已知中,,.‎ ‎ 故选D.‎ ‎4.(2009湖南卷文)在锐角中,则的值等于 ,‎ 的取值范围为 . ‎ 答案  2 ‎ 解析 设由正弦定理得 由锐角得,‎ 又,故,‎ ‎5.(2009全国卷Ⅰ理)在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且 求b ‎ 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:.又由已知.解得. ‎ 解法二:由余弦定理得: .又,.‎ 所以 ①‎ 又,‎ ‎,即 由正弦定理得,故 ②‎ 由①,②解得.‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练。 ‎ ‎6.(2009浙江理)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,且满足,. ‎ ‎(I)求的面积; (II)若,求的值.‎ 解 (1)因为,,又由 得, ‎ ‎(2)对于,又,或,由余弦定理得 ‎, ‎ ‎7.(2009浙江文)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,且满足,. ‎ ‎(I)求的面积; (II)若,求的值.‎ 解(Ⅰ) ‎ 又,,而,所以,所以的面积为:‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,而,所以 所以 ‎8.(2009北京理) 在中,角的对边分别为,。‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的面积.‎ ‎【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力.‎ 解(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,‎ ‎ 又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得 ‎∴.‎ ‎∴△ABC的面积.‎ ‎9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.‎ (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.‎ (2) 设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,,且C为锐角,求sinA.‎ 解 (1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=‎ 所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. ‎ ‎(2)==-, 所以, 因为C为锐角, 所以,‎ 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 ‎ ‎.‎ ‎10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2在处取最小值.‎ ‎(1)求.的值;‎ ‎(2)在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,‎ 求角C.‎ 解 (1)‎ ‎ ‎ 因为函数f(x)在处取最小值,所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 ‎ ‎(2)因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,‎ 因为,所以或.‎ 当时,;当时,.‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.‎ ‎10.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,,,求B.‎ 解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约,并利用正弦定理得到sinB=(负值舍掉),从而求出B=。‎ 解:由 cos(AC)+cosB=及B=π(A+C)得 cos(AC)cos(A+C)=,‎ ‎ cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=,‎ ‎ sinAsinC=.‎ 又由=ac及正弦定理得 ‎ 故 ,‎ ‎ 或 (舍去),‎ 于是 B= 或 B=.‎ 又由 知或 所以 B=。‎ ‎11.(2009安徽卷理)在ABC中,, sinB=.‎ ‎(I)求sinA的值;‎ ‎ (II)设AC=,求ABC的面积.‎ 解:(Ⅰ)由,且,∴,∴,‎ A B C ‎∴,又,∴‎ ‎(Ⅱ)如图,由正弦定理得 ‎∴,又 ‎∴ ‎ ‎12.(2009安徽卷文)(本小题满分12分) 在ABC中,C-A=, sinB=。‎ ‎(I)求sinA的值;(II)设AC=,求ABC的面积。‎ ‎【思路】(1)依据三角函数恒等变形可得关于的式子,这之中要运用到倍角公式;‎ ‎(2)应用正弦定理可得出边长,进而用面积公式可求出.‎ 解(1)∵∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ 又 ∴‎ ‎(2)如图,由正弦定理得∴‎ ‎∴. ‎ ‎13.(2009江西卷文)在△中,所对的边分别为,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求,,.‎ 解:(1)由 得 ‎ ‎ 则有 =‎ ‎ 得 即.‎ ‎(2) 由 推出 ;而,‎ 即得,‎ ‎ 则有 解得 ‎ ‎14.(2009江西卷理)△中,所对的边分别为,,.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求. ‎ 解:(1) 因为,即,‎ 所以,‎ 即 ,‎ 得 . 所以,或(不成立).‎ 即 , 得,所以.‎ 又因为,则,或(舍去) ‎ 得 ‎(2), ‎ ‎ 又, 即 , ‎ 得 ‎15.(2009天津卷文)在中,‎ ‎(Ⅰ)求AB的值。‎ ‎(Ⅱ)求的值。‎ ‎(1)解:在 中,根据正弦定理,,于是 ‎(2)解:在 中,根据余弦定理,得 于是=,‎ 从而 ‎【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和余弦,两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。‎ ‎16.(2009四川卷文)在中,为锐角,角所对的边分别为,且 ‎(I)求的值;‎ ‎(II)若,求的值。‎ 解(I)∵为锐角, ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎(II)由(I)知,∴ ‎ ‎ 由得 ‎,即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎17.(2009全国卷Ⅱ理)设的内角、、的对边长分别为、、,,,求 分析:由,易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得;又由,利用正弦定理进行边角互化,得,进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验,事实上,当时,由,进而得,矛盾,应舍去。‎ 也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。‎ 评析:本小题考生得分易,但得满分难。‎ ‎18.(2009辽宁卷文)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=‎0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到‎0.01km,1.414,2.449) ‎ 解:在中,=30°,=60°-=30°,‎ 所以CD=AC=0.1‎ 又=180°-60°-60°=60°,‎ 故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA 5分 在中,, ‎ 即AB=‎ 因此,‎ 故B、D的距离约为‎0.33km。 12分 ‎19.(2009辽宁卷理)如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=‎0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到‎0.01km,1.414,2.449) ‎ 解:在△ABC中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30,‎ 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线,所以BD=BA,        ‎ 在△ABC中,‎ 即AB=‎ 因此,BD=‎ 故B,D的距离约为‎0.33km。  ‎ ‎20.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图),飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤。‎ 解:方案一:①需要测量的数据有:A 点到M,N点的俯角;B点到M,‎ N的俯角;A,B的距离 d (如图所示) . ‎ ‎②第一步:计算AM . 由正弦定理 ;‎ 第二步:计算AN . 由正弦定理 ;‎ 第三步:计算MN. 由余弦定理 .‎ 方案二:①需要测量的数据有:‎ A点到M,N点的俯角,;B点到M,N点的府角,;A,B的距离 d (如图所示).‎ ‎ ②第一步:计算BM . 由正弦定理 ;‎ 第二步:计算BN . 由正弦定理 ; ‎ 第三步:计算MN . 由余弦定理 ‎21.(2009四川卷文)在中,为锐角,角所对的边分别为,且 ‎(I)求的值;‎ ‎(II)若,求的值。 ‎ 解(I)∵为锐角, ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎(II)由(I)知,∴ ‎ 由得 ‎,即 又∵ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎22.(2009湖北卷文) 在锐角△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且 ‎(Ⅰ)确定角C的大小: ‎ ‎(Ⅱ)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值。‎ 解(1)由及正弦定理得, ‎ 是锐角三角形,‎ ‎(2)解法1:由面积公式得 由余弦定理得 ‎ 由②变形得 解法2:前同解法1,联立①、②得 消去b并整理得解得 所以故 ‎ ‎23.(2009宁夏海南卷文) 如图,为了解某海域海底构造,‎ 在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知, ,于A处测得水深,于B处测得水深 ,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值。 ‎ 解:作交BE于N,交CF于M. , ‎ ‎,‎ ‎. ‎ 在中,由余弦定理,‎ ‎. 24.(2009湖南卷理). 在,已知 ‎,求角A,B,C的大小.‎ 解 设 由得,所以 又因此 ‎ 由得,于是 所以,,因此 ‎,既 由A=知,所以,,从而 或,既或故 或。‎ ‎25..(2009天津卷理)(在⊿ABC中,BC=,AC=3,sinC=2sinA ‎ ‎(I) 求AB的值: ‎ ‎(II) 求sin的值 ‎ ‎(Ⅰ)解:在△ABC中,根据正弦定理, ‎ 于是AB=‎ ‎(Ⅱ)解:在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=‎ 于是 sinA=‎ ‎ 从而sin‎2A=2sinAcosA=,cos‎2A=cos‎2A-sin‎2A= ‎ ‎ 所以 sin(‎2A-)=sin2Acos-cos2Asin=‎ ‎26.(2009四川卷理)在中,为锐角,角所对应的边分别为,且 ‎(I)求的值; ‎ ‎(II)若,求的值。‎ 解:(Ⅰ)、为锐角,,‎ 又, ‎ ‎,,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,. ‎ ‎ 由正弦定理得 ‎,即, ‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎27.(2009上海卷文) 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,‎ ‎  , .‎ (1) 若//,求证:ΔABC为等腰三角形; ‎ (2) 若⊥,边长c = 2,角C = ,求ΔABC的面积 .‎ 证明:(1)‎ 即,其中R是三角形ABC外接圆半径, ‎ 为等腰三角形 解 (2)由题意可知 由余弦定理可知, ‎ ‎ ‎ ‎2005—2008年高考题 一、选择题 ‎1.(2008福建)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,‎ 则角B的值为 ( )‎ A. B. C.或 D.或 答案 D ‎2.(2008海南)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 D ‎3.(2008陕西)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,‎ 则等于 ( )‎ A. B.‎2 ‎ C. D.‎ 答案 D ‎4.(2007重庆)在中,,,,则 (  )‎ A. B. C. D.‎ 答案 A ‎5.(2007山东)在直角中,是斜边上的高,则下列等式不成立的是(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 C ‎6.(2006年全卷I) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,‎ 且c=2a,则cosB= ( )‎ A. B. C. D.‎ 答案 B 二、填空题 ‎7.(2005福建)在△ABC中,∠A=90°,的值是 .‎ 答案 ‎ ‎8.(2008浙江)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若,则_________.‎ 答案 ‎ ‎9.(2008湖北)在△中,三个角的对边边长分别为,则 的值为 .‎ 答案 ‎ ‎10.(2007北京)在中,若,,,则 .‎ 答案 ‎ ‎11.(2007湖南)在中,角所对的边分别为,若,b=,,则 .‎ 答案 ‎ ‎12.(2007重庆)在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC= .‎ 答案 ‎ 三、解答题 ‎14.(2008湖南)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=,)且与点A相距10海里的位置C.‎ ‎(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);‎ ‎(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.‎ 解 (I)如图,AB=40,AC=10,‎ 由于,所以cos=‎ 由余弦定理得BC=‎ 所以船的行驶速度为(海里/小时).‎ ‎(II)解法一 如图所示,以A为原点建立平面直角坐 ‎ 标系,‎ 设点B、C的坐标分别是B(x1,y2), C(x1,y2),‎ BC与x轴的交点为D.‎ 由题设有,x1=y1= AB=40,‎ x2=ACcos,‎ y2=ACsin 所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.‎ 又点E(0,-55)到直线l的距离d=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ 解法二 如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.‎ 在△ABC中,由余弦定理得,‎ ‎==.‎ 从而 在中,由正弦定理得,‎ AQ=‎ 由于AE=55>40=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.‎ 过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt中,PE=QE·sin ‎=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ ‎14.(2007宁夏,海南)如图,测量河对岸的塔高时,‎ 可以选与塔底在同一水平面内 的两个侧点与.现测得,‎ 并在点测得塔顶 的仰角为,求塔高.‎ 解 在中,.‎ 由正弦定理得.‎ 所以.‎ 在Rt△ABC中,.‎ ‎15.(2007福建)在中,,.‎ ‎(Ⅰ)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)若最大边的边长为,求最小边的边长.‎ 解 (Ⅰ),‎ ‎.又,.‎ ‎(Ⅱ),边最大,即.‎ 又∵tanA<tanB,A、B角最小,边为最小边.‎ 由且,‎ 得.由得:BC=AB·.‎ ‎16.(2007浙江)已知的周长为,且.‎ ‎(I)求边的长;‎ ‎(II)若的面积为,求角的度数.‎ 解 (I)由题意及正弦定理,得,,‎ 两式相减,得.‎ ‎(II)由的面积,得,‎ 由余弦定理,得cosC=‎ ‎=,‎ 所以.‎ ‎17.(2007山东)20(本小题满分12分)如图,甲船以每小时海里 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处 时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距‎20海里.当甲 船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方 向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?‎ 解 方法一 如图所示,连结A1B2,由已知A2B2=, A‎1A2=,∴A‎1A2=A2B2, 又∠A1A2B2=180°-120°=60° ‎∴△A1A2B2是等边三角形, ‎∴A1B2=A1A2=. 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1中,由余弦定理, ‎=+-·A1B2·cos45° ‎=202+()2-2×20××=200. ‎∴B1B2=. 因此,乙船的速度的大小为 ‎×60=(海里/小时). 答 乙船每小时航行海里. ‎19.(2007全国Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.‎ ‎(Ⅰ)求B的大小;‎ ‎(Ⅱ)若,,求b.‎ 解:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,‎ 由为锐角三角形得.‎ ‎(Ⅱ)根据余弦定理,得.‎ 所以,‎ ‎20.(2007全国Ⅱ)在中,已知内角,边.设内角,周长为.‎ ‎(1)求函数的解析式和定义域;‎ ‎(2)求的最大值.‎ 解:(1)的内角和,由得.‎ 应用正弦定理,知 ‎,‎ ‎.‎ 因为,‎ 所以,‎ ‎(2)因为 ‎,‎ 所以,当,即时,取得最大值 第二部分 三年联考题汇编 ‎2009年联考题 一、选择题 ‎1.(2009岳阳一中第四次月考).已知△中,,,,,,则 ( ) ‎ A.. B . C. D. 或 答案 C ‎2.(2009河北区一模)在中,则( )‎ A.-9 B.‎0 ‎‎ C.9 D.15‎ 答案 C ‎3.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试)已知a,b,c为△ABC的三内角A,B,C的对边,向量,若,且的大小分别为 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ 答案 C 二、填空题 ‎4.(2009长郡中学第六次月考)△ABC的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为 答案 ‎ 三、解答题 ‎5.(2009宜春)已知向量,,,且、‎ ‎、分别为的三边、、所对的角。‎ (1) 求角C的大小;‎ (2) 若,,成等差数列,且,求边的长。‎ 解:(1) ‎ 对于,‎ ‎ ‎ 又,‎ ‎ ‎ ‎(2)由,‎ 由正弦定理得 ‎ ‎,‎ 即 ‎ 由余弦弦定理, ‎ ‎, ‎ ‎6.(辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试) 在△ABC中,设A、B、C的对 边分别为a、b、c向量 ‎ (1)求角A的大小;‎ ‎ (2)若的面积.‎ 解(1)‎ 又 ‎(2)‎ 为等腰三角形,‎ ‎ ‎ ‎7.(2009东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)在锐角中,已知内角、、所对的边分别为、、,向量,且向量,共线。‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(Ⅱ)如果,求的面积的最大值。‎ 解:(1)由向量共线有: ‎ 即, 2分 又,所以,‎ 则=,即 4分 ‎(Ⅱ)由余弦定理得则 ‎,‎ 所以当且仅当时等号成立 9分 所以。 10分 ‎8.(广东省广州市2009年模拟)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a=2, cosB=.‎ ‎(1)若b=4,求sinA的值; (2) 若△ABC的面积S△ABC=4,求b,c的值.‎ 解:(1) ∵cosB=>0,且01,∴t=1时,取最大值.‎ 依题意得,-2+4k+1=5,∴k=‎ ‎5. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 ‎(Ⅰ)判断△ABC的形状; (Ⅱ)若的值.‎ ‎ 解:(I)‎ 即 为等腰三角形.‎ ‎(II) 由(I)知