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- 2021-05-13 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
(浙江卷)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设函数,则实数=
A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2
2.把复数的共轭复数记作,i为虚数单位,若=
A.3-i B.3+i C.1+3i D.3
3.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是
4.下列命题中错误的是
A.如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面α不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面,平面,,那么
D.如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面
5.设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是
A.14 B.16 C.17 D.19
6.若,,,,则
A. B. C. D.
7.若为实数,则“”是的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则
A. B. C. D.
9.有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率
A. B. C. D
10.设a,b,c为实数,f(x)=(x+a).记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是
A.=1且=0 B.
C.=2且=2 D. =2且=3
非选择题部分(共100分)
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.若函数为偶函数,则实数 = 。
12.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k的值是 。
13.设二项式(x-)6(a>0)的展开式中X的系数为A,常数项为B,
若B=4A,则a的值是 。
14.若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的
平行四边形的面积为,则α与β的夹角的取值范围是 。
15.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙丙公司面试的概率为,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若
,则随机变量X的数学期望
16.设为实数,若则的最大值是 .。
17.设分别为椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 .
三、解答题;本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)在中,角所对的边分别为a,b,c.
已知且.
(Ⅰ)当时,求的值;
(Ⅱ)若角为锐角,求p的取值范围;
19.(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项为a(),设数列的前n项和为,且,,成等比数列
(1)求数列的通项公式及
(2)记,,当时,试比较与的大小.
20.(本题满分15分)
如图,在三棱锥中,,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)证明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由。
21.(本题满分15分)
已知抛物线:=,圆:的圆心为点M
(Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离;
(Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点),过点P作圆的两条切线,交抛物线于A,B两点,若过M,P两点的直线垂直于AB,求直线的方程
22.(本题满分14分)
设函数
(I)若的极值点,求实数;
(II)求实数的取值范围,使得对任意的,恒有成立,注:为自然对数的底数。
参考答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。
BADDBCACBD
(1)设函数,则实数=
(A)-4或-2 (B)-4或2 (C)-2或4 (D)-2或2
【答案】B
【解析】当时,;
当时,.
(2)把复数的共轭复数记作,为虚数单位,若,则
(A)3-i (B)3+i (C)1+3i (D)3
【答案】A
【解析】∵,∴,∴.
(3) 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是
【答案】D
【解析】由正视图可排除A、B选项;由俯视图可排除C选项.
(4)下列命题中错误的是
(A)如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面
(B)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
(C)如果平面,平面,,那么
(D)如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面
【答案】D
【解析】因为若这条线是的交线L,则交线L在平面内,明显可得交线L在平面内,所以交线L不可能垂直于平面,平面内所有直线都垂直于平面是错误的
(5)设实数满足不等式组若为整数,则的最小值是
(A)14 (B)16 (C)17 (D)19
【答案】B
【解析】可行域如图所示
o
x
y
2x+y-7=0
联立,解之得,又∵边界线为虚线取不到,且目标函数线的斜率为,∴当过点(4,1)时,有最小值16.
(6)若,,,,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】∵,,∴,又∵,,∴,∴===.
(7)若为实数,则“”是的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时,由两边同除可得成立;当时,两边同除以可得成立,∴“”是“或”的充会条件,反过来,由或得不到.
(8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点,的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点,若恰好将线段三等分,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】 C
【解析】由双曲线=1知渐近线方程为,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,
∴椭圆方程可化为+=,联立直线与椭圆方程消得,
,又∵将线段AB三等分,∴,
解之得.
(9)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率[
(A) (B) (C) D
【答案】B
【解析】由古典概型的概率公式得.
(10)设a,b,c为实数,.记集合S=若,分别为集合元素S,T的元素个数,则下列结论不可能的是
(A)=1且=0 (B)
(C)=2且=2 (D)=2且=3
【答案】D
【解析】当时,且 ;当且时,且;当且b=a+c(例如a=1 c=3,b=4)时, 且.
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。
11.0 12.5 13.2 14. 15. 16. 17.
(11)若函数为偶函数,则实数 。
【答案】0
【解析】∵为偶函数,∴,
即∴.
(12)若某程序图如图所示,则该程序运行后输出的k的值是 。
【答案】5
【解析】时,=64,=84,;
时,=256,=256,;
时,=256,=625,.
(13)设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是 。
【答案】2
【解析】由题意得,
∴,,又∵,
∴,解之得,又∵,∴.
(14)若平面向量α,β满足|α|≤1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的面积为,则α与β的夹角的取值范围是 。
【答案】
【解析】由题意得:,∵,,∴,
又∵,∴.
(15)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为,得到乙公司面试的概率为,且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若,则随机变量X的数学期望
【答案】
【解析】∵ ,∴.
∴,
,
,
∴.
(16)设为实数,若则的最大值是 .。
【答案】
【解析】∵,∴,即,
∴,解之得:,即.
(17)设分别为椭圆的焦点,点在椭圆上,若;则点的坐标是 .
【答案】
【解析】设直线的反向延长线与椭圆交于点,又∵,由椭圆的对称性可得,设,,
又∵, ,
∴解之得,∴点A的坐标为.
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
18.本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
(I)解:由题设并利用正弦定理,得
解得
(II)解:由余弦定理,
因为,
由题设知
19.本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想。满分14分。
(I)解:设等差数列的公差为d,由
得
因为,所以所以
(II)解:因为,所以
因为,所以
当,
即
所以,当
当
20.本题主要考查空是点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
方法一:
(I)证明:如图,以O为原点,以射线OP为z轴的正半轴,
建立空间直角坐标系O—xyz
则,
,由此可得,所以
,即
(II)解:设
设平面BMC的法向量,
平面APC的法向量
由
得
即
由即
得
由
解得,故AM=3。
综上所述,存在点M符合题意,AM=3。
方法二:
(I)证明:由AB=AC,D是BC的中点,得
又平面ABC,得
因为,所以平面PAD,
故
(II)解:如图,在平面PAB内作于M,连CM,
由(I)中知,得平面BMC,
又平面APC,所以平面BMC平面APC。
在
在,
在
所以
在
又
从而PM,所以AM=PA-PM=3。
综上所述,存在点M符合题意,AM=3。
21.本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为:
所以圆心M(0,4)到准线的距离是
(II)解:设,
则题意得,
设过点P的圆C2的切线方程为,
即 ①
则
即,
设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以
将①代入
由于是此方程的根,
故,所以
由,得,
解得
即点P的坐标为,
所以直线的方程为
22.本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用,不等式等基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。
(I)解:求导得
因为的极值点,
所以
解得经检验,符合题意,
所以
(II)解:①当时,对于任意的实数a,恒有成立;
②当时,由题意,首先有,
解得,
由(I)知
令
且
又内单调递增
所以函数内有唯一零点,
记此零点为
从而,当时,
当
当时,
即内单调递增,在内单调递减,
在内单调递增。
所以要使恒成立,只要
成立。
由,知
(3)
将(3)代入(1)得
又,注意到函数内单调递增,
故。
再由(3)以及函数内单调递增,可得
由(2)解得,
所以
综上,a的取值范围是