安徽省高考数学试卷理科 22页

‎2013年安徽省高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 ‎1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（　　）‎ A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（　　）‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 ‎6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}‎ C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}‎ ‎7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　）‎ A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2‎ C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1‎ ‎8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得=…=，则n的取值范围是（　　）‎ A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}‎ ‎9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上 ‎11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=　　　　．‎ ‎12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　　　．‎ ‎13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为　　　　．‎ ‎14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是　　　　．‎ ‎15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　　　　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①当0＜CQ＜时，S为四边形 ‎②当CQ=时，S为等腰梯形 ‎③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=‎ ‎④当＜CQ＜1时，S为六边形 ‎⑤当CQ=1时，S的面积为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 ‎16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．‎ ‎17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}‎ ‎（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；‎ ‎（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．‎ ‎18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上 ‎（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．‎ ‎19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，‎ ‎（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；‎ ‎（2）求cos∠COD．‎ ‎20．（13分）（2013•安徽）设函数fn（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：‎ ‎（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足fn（xn）=0；‎ ‎（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．‎ ‎21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．‎ ‎（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；‎ ‎（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．‎ ‎　‎ ‎2013年安徽省高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 ‎1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（　　）‎ A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．‎ ‎【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，‎ 由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），‎ 整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．‎ 则，解得．‎ 所以z=1+i．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是计算并输出S=++的值 ‎∵S=++=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（　　）‎ A．平行于同一个平面的两个平面平行 B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ‎【分析】根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．‎ ‎【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；‎ 而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了公理的意义，比较简单．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．‎ ‎【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．‎ 当a＜0时，，‎ 结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．‎ 若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图 它在区间（0，+∞）内有增有减，‎ 从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．‎ ‎∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（　　）‎ A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 ‎【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]求解即可．‎ ‎【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．‎ 五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，‎ 方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．‎ 五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，‎ 方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．‎ 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}‎ C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}‎ ‎【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．‎ ‎【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，‎ 故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，‎ 由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，‎ 而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，‎ 由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2‎ 故选：D ‎【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（　　）‎ A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2‎ C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1‎ ‎【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．‎ 故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得=…=，则n的取值范围是（　　）‎ A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}‎ ‎【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．‎ ‎【解答】解：令y=f（x），y=kx，‎ 作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，‎ 故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．‎ 故n的取值范围为2，3，4．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．‎ ‎【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||2=（﹣）2=﹣2•+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．‎ 不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．‎ 由，得：．‎ 所以，解得①．‎ 由|λ|+|μ|≤1．‎ 所以①等价于或或或．‎ 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，‎ 则区域面积为．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．‎ ‎【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，‎ 由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），‎ 如下示意图象：‎ 如图有三个交点，‎ 故选A．‎ ‎【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上 ‎11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=　　．‎ ‎【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由通项公式Tr+1==，‎ ‎∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=　　．‎ ‎【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．‎ ‎【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，‎ ‎∴a=‎ ‎∵b+c=2a，‎ ‎∴c=‎ ‎∴cosC==﹣‎ ‎∵C∈（0，π）‎ ‎∴C=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为　[1，+∞）　．‎ ‎【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．‎ ‎【解答】解：如图所示，可知A，B，‎ 设C（m，m2），，．‎ ‎∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，‎ ‎∴=．‎ 化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．‎ ‎∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．‎ ‎∴a 的取值范围为[1，+∞）．‎ 故答案为[1，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是　　．‎ ‎【分析】设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到an．‎ ‎【解答】解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，‎ ‎∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．‎ 故梯形AnBnBn+1An+1的面积=3S．‎ ‎∵所有AnBn相互平行，∴所有△OAnBn（n∈N*）都相似，∴，，，…，‎ ‎∵，∴，，…．‎ ‎∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．‎ ‎∴．‎ 因此数列{an}的通项公式是．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是　①②③⑤　（写出所有正确命题的编号）．‎ ‎①当0＜CQ＜时，S为四边形 ‎②当CQ=时，S为等腰梯形 ‎③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=‎ ‎④当＜CQ＜1时，S为六边形 ‎⑤当CQ=1时，S的面积为．‎ ‎【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．‎ ‎【解答】解：如图 当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，‎ 故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；‎ 由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，‎ 即可得截面为四边形APQM，故①正确；‎ ‎③当CQ=时，如图，‎ 延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，‎ 可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；‎ ‎④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；‎ ‎⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，‎ 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．‎ 故答案为：①②③⑤．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 ‎16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．‎ ‎【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；‎ ‎（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx ‎=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，‎ 所以 T==π，∴ω=1．‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，‎ 因为0≤x≤，所以≤2x+≤，‎ 当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，‎ 当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，‎ 所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}‎ ‎（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；‎ ‎（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，‎ 故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，‎ 因此区间I=（0，），区间长度为；‎ ‎（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，‎ 令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，‎ 故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，‎ 因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，‎ 而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），‎ 因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．‎ ‎【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上 ‎（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；‎ ‎（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．‎ 故椭圆E的方程为．‎ ‎（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．‎ 由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．‎ 故直线F2P的方程为．‎ 令x=0，解得．即点Q．‎ 因此直线F1Q的斜率=．‎ ‎∵F1Q⊥F1P，∴=．‎ 化为．‎ 联立，及x0＞0，y0＞0，‎ 解得，．‎ 即点P在定直线x+y=1上．‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，‎ ‎（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；‎ ‎（2）求cos∠COD．‎ ‎【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；‎ ‎（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．‎ ‎【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则 ‎∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD ‎∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l ‎∵AB在底面上，l在底面外 ‎∴l与底面平行；‎ ‎（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF 由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD ‎∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD ‎∵OP∩OF=O ‎∴CD⊥平面OPF ‎∵CD⊂平面PCD ‎∴平面OPF⊥平面PCD ‎∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF ‎∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角 由题设，∠OPF=60°‎ 设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=‎ ‎∵∠OCP=22.5°，∴‎ ‎∵tan45°==1‎ ‎∴tan22.5°=‎ ‎∴OC==‎ 在Rt△OCF中，cos∠COF===‎ ‎∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2013•安徽）设函数fn（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：‎ ‎（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足fn（xn）=0；‎ ‎（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．‎ ‎【分析】（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得fn（1）＞0，fn（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．‎ ‎（2）由题意可得fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0，由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，故xn﹣xn+p＞0．用 fn（x）的解析式减去fn+p （xn+p）的解析式，变形可得xn﹣xn+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．‎ ‎【解答】证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数fn（x）=﹣1+x+），可得 f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．‎ 由于f1（x1）=0，当n≥2时，fn（1）=++…+＞0，即fn（1）＞0．‎ 又fn（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•‎ ‎=﹣+×=﹣•＜0，‎ 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的xn，满足fn（xn）=0．‎ ‎（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}，当x＞0时，∵fn+1（x）=fn（x）+＞fn（x），‎ ‎∴fn+1（xn）＞fn（xn）=fn+1（xn+1）=0．‎ 由 fn+1（x） 在（0，+∞）上单调递增，可得 xn+1＜xn，即 xn﹣xn+1＞0，故数列{xn}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，xn﹣xn+p＞0．‎ 由于 fn（xn）=﹣1+xn+++…+=0 ①，‎ fn+p （xn+p）=﹣1+xn+p+++…++[++…+]②，‎ 用①减去②并移项，利用 0＜xn+p≤1，可得 xn﹣xn+p=+≤≤＜=＜．‎ 综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．‎ ‎（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；‎ ‎（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．‎ ‎【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；‎ ‎（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．‎ ‎【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，‎ 因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=‎ ‎（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1‎ 当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为 P（X=m）==‎ 当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣‎ 假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，‎ k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；‎ 当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），‎ 下面证明k≤2k﹣＜t 因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0‎ 而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k 因此k≤2k﹣＜t 综上得，符合条件的m=2k﹣[]‎ ‎【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分 ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；minqi5；沂蒙松；lincy；豫汝王世崇；wyz123；刘长柏；caoqz；xintrl（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年9月12日