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- 2021-05-13 发布
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第33炼 向量的模长问题——代数法
一、基础知识:
利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式
1、模长平方:通过可得:,将模长问题转化为数量积问题,从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方
2、坐标运算:若,则。某些题目如果能把几何图形放入坐标系中,则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长
3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题
二、典型例题
例1:在中,为中点,若,则 _____
思路:题目条件有,进而可求,且可用表示,所以考虑模长平方转化为数量积问题
解:为中点 可得:
代入可求出:
答案:
例2:若均为单位向量,且,则的最大值为( )
A. B. C. D.
思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将平方,转化为数量积问题,再求最值。
解: ①
①转化为
答案:B
例3:平面上的向量满足,且,若,则的最小值为___________
思路:发现所给条件均与相关,且可以用表示,所以考虑进行模长平方,然后转化为的运算。从而求出最小值
解:
,代入可得:
答案:
例4:已知平面向量满足,且与的夹角为,则的最小值是( )
A. B. C. D.
思路:题目所给条件围绕着与,所以考虑所求向量用这两个向量进行表示:,从而模长平方变成数量积问题,可得:,将视为一个整体,则可配方求出最小值
解:
答案:A
小炼有话说:本题的关键在于选好研究对象,需要把已知的两个向量视为整体,而不是
例5:已知平面向量的夹角,且,若,则的取值范围是__________
思路:由和夹角范围即可得到的范围,从而可想到将模长平方,再利用转变为关于的问题,从而得到关于夹角的函数,求得范围。
解:
答案:
例6:已知,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
思路:由条件可得,所以考虑将模长平方,从而转化为数量积问题,代入的值可得到关于的二次函数,进而求出最小值
解:
答案:D
例7:已知直角梯形中,∥,为腰上的动点,则的最小值为__________
思路:所求难以找到其几何特点,所以考虑利用代数手段,在直角梯形中依直角建系,点的纵坐标与梯形的高相关,可设高为,,,则,所以,,即
答案:
例8:如图,在边长为的正三角形中,分别是边上的动点,且满足,其中,分别是的中点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
思路:等边三角形三边已知,故可以考虑用三边的向量将进行表示,从而模长平方后可写成关于的表达式,再利用即可消元。
解:
答案:C
例9:已知与的夹角为,,,且,, 在时取到最小值。当时,的取值范围是( )
A. B. C. D.
思路:本题含两个变量,且已知范围求的范围,所以考虑建立和的关系式,
,从而考虑模长平方,向靠拢,可得:
,所以当达到最小值时,,由可得解得,即
解:
时,取得最小值
,所以不等式等价于:
答案:C
例10:已知中,,点是线段(含端点)上的一点,且,则的范围是__________
思路:本题由垂直和模长条件可考虑建系,从而用坐标来使用数量积的条件。如图建系,设,则,设,则由可得,已知条件,所求模长平方后可得,所以问题转化为已知求的最大值。考虑,,寻找两个式子的联系,有,所以
,即,从而,而另一方面:由及(符合直线的方程)可得:,所以(时取等号),所以综上可得:
答案:
三、历年好题精选(模长综合)
1、点是的重心,若,则的最小值为__________
2、已知是两个互相垂直的单位向量,且,则对任意的正实数,的最小值为_________
3、已知是单位向量,且,若满足,则的范围是_______
4、在中,,如果不等式恒成立,则实数的取值范围是_____________
5、设直角的三个顶点都在单位圆上,点,则的最大值是( )
A. B. C. D.
6、已知向量满足 与的夹角为,,则的最大值为( )
A. B. C. D.
7、(2016,上海五校联考)在平面直角坐标系中,已知圆,点在圆上,且,则的取值范围是_________
8、(2015,湖南)已知点在圆上运动,且,若点的坐标为
,则的最大值为( )
A. B. C. D.
9、已知为非零向量,,若,当且仅当时,取到最小值,则向量的夹角为_______
10、(2016,重庆万州二中)已知单位向量满足,且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、(2016,贵阳一中四月考)已知点是的重心,若,,则的最小值是( )
A. B. C. D.
习题答案:
1、答案:
解析:
为的重心,延长交于,则是中线
2、答案:
解析:,代入已知条件可得:
3、答案:
解析:设,因为是单位向量,且,所以为模长是的向量,由已知可得,所以数形结合可知:,从而的范围是
4、答案:
解析:由余弦定理可得:
5、答案:C
解析:由题意,,当且仅当共线同向时,取等号,即取得最大值,最大值是,
6、答案:D
解析:设;
以所在直线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,
∵与的夹角为,
则,设
∵
即 表示以为圆心,以1为半径的圆,
表示点A,C的距离即圆上的点与点的距离;
∵圆心到B的距离为,
∴的最大值为.
7、答案:
解析:设,中点
由圆可得:
在以为圆心,半径的圆上
即
8、答案:B
解析:由可知为直径,因为该圆为圆心在原点的单位圆,所以关于原点对称,设,则,设,所以可得:,所以,则,因为在圆上,所以,代入可得,故
9、答案:
解析:,设,因为时,取得最小值,所以的对称轴,所以,所以夹角为
10、答案:D
解析:以为基底建立直角坐标系,可知,设
即到的距离和为,
在线段上,直线方程为
,即线段上动点到定点的距离
通过数形结合可得:
所以的取值范围是
11、答案:C
解析:,可知,设为底边上的中线,
由重心性质可得: