2017全国高考复数复习专题 10页

复数 一、复数的概念及运算：‎ ‎1、复数的概念：‎ ‎（1）虚数单位；‎ ‎（2）实部：a，虚部：b；‎ ‎（3）复数的分类()；‎ ‎（4）相等的复数：‎ ‎2、复数的加、减、乘、除法则：‎ ‎（1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律；‎ ‎（3）除法：。‎ ‎3、复数的共轭与模：‎ 共轭复数: 复数的模:‎ 复平面:复数与点是一一对应关系，另：与关于轴对称，表示对应点与原点的距离。‎ 二、复数中的方程问题：‎ ‎1、实系数一元二次方程的根的情况：‎ 对方程（其中且），令，‎ 当时，方程有两个不相等的实数根。‎ 当=0时，方程有两个相等的实根；‎ 当时，方程有两个共轭虚根：。‎ ‎2、一元二次方程的根与系数的关系：‎ 若方程（其中且）的两个根为，则；‎ 考点1：复数的基本运算 ‎ ‎1. 复数等于 ‎ ‎2. 已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝ ‎ ‎3. ＝ ‎ ‎4.复数等于 ‎ ‎5. 复数的值是 ‎ 考点2：复数的模长运算 ‎1.已知复数，则等于 ‎ ‎2. 已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是 ‎ 考点3：复数的实部与虚部 1. 复数的虚部为 ‎ 考点4：复数与复平面内的点关系 ‎1. 在复平面内，复数对应的点位于 ‎ ‎2. 在复平面内，复数对应的点位于 （ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 在复平面内，复数对应的点位于 ( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎4. 若对应的点在虚轴上，则实数 ‎ 考点5：共轭复数 ‎1.复数的共轭复数是 ‎ ‎2. 若与互为共轭复数，则实数a、b的值分别为 ‎ ‎3. 把复数z的共轭复数记作，已知,则等于 ‎ ‎ ‎ 考点6：复数的周期 ‎1.已知，则集合的元素个数是 （ 　）‎ A．2 B. C. 4 D. 无数个 考点7：复数相等 ‎1. 已知，求实数x、y的值。 ‎ ‎2. 已知，且，求x、y的值。‎ ‎3. 设，若，求实数a、b。 ‎ ‎4. 已知 ‎ 考点8：复数比较大小 ‎1.使得不等式成立的实数的值为_______‎ 考点9：复数的各种特殊形式 ‎1. 已知i是虚数单位，复数，当m取什么实数时，z是 ‎（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）零。‎ ‎2. 如果复数是实数，则实数 ‎ 若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 ‎ 考点10：复数的综合问题 ‎1. 若，则的最大值是 ‎ ‎2. 下列各式不正确的是 （ ）‎ A． B. C. D ‎3. 对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论的为（ ）个 ‎ ‎4. 设则 ‎ ‎5．若且的最小值是 ‎ ‎6. 设复数，则的关系是 （ ）‎ A．不能比较大小 B． C． D． ‎ ‎7.在复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是 ‎ ‎8.已知中，对应的复数分别为则对应的复数为 ‎ ‎9.在复平面内，复数对应的点分别为,若为线段的中点，则点对应的复数是 ‎ ‎ ‎ ‎10. 复数在复平面内对应点位于 象限 ‎11. 已知复数Z满足，求的最值 四、精选 例1：已知，求；‎ 例2：已知，求；‎ 例3：设为虚数，为实数，且。‎ ‎（1）求的值及的实部的取值范围；‎ ‎（2）证明：为纯虚数；‎ 例4：已知关于的方程有两个根，且满足。‎ ‎（1）求方程的两个根以及实数的值；‎ ‎（2）当时，若对于任意，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。‎ 例5：已知复数满足，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。‎ 例6：设虚数满足。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为实数，求实数的值；‎ ‎（3）若在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数。‎ 例7：已知方程有两个根和，。‎ ‎（1）若，求实数；‎ ‎（2）若，求实数；‎ 例8：已知复数是方程的根，复数满足，求的取值范围。‎ 例9：关于的方程有实根，求一个根的模是2，求实数的值。‎ 例10：设两复数满足（其中且，），求是虚数。‎ ‎（1）求证：是定值，求出此定值；‎ ‎（2）当时，求满足条件的虚数的实部的所有项的和。‎ 例11：设两个复数满足，并且是虚数，当时，求所以满足条件的虚数的实部之和。‎ 例12：计算：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 例13：给定复数，在，这八个值中，不同值的个数至多是___________。‎ 例14：已知下列命题 ‎（1）；（2）为纯虚数；（3）；‎ ‎（4）；（5）；（6）.‎ 其中正确的命题是____________；‎ 例15：是否存在复数同时满足条件：①；②的实部、虚部为整数。若存在，求出复数，若不存在，说明理由。‎ 例16：设是已知复数，为任意复数且，则复数对应的点的轨迹是( )‎ A、以的对应点为圆心、1为半径的圆；‎ B、以的对应点为圆心，1为半径的圆；‎ C、以的对应点为圆心、为半径的圆；‎ D、以的对应点为圆心，为半径的圆；‎ 例17：满足方程的复数对应的点的轨迹是 ( )。‎ A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 例18：复平面内，满足的复数所对应的点的轨迹是 ( )‎ A、椭圆 B、双曲线 C、一条线段 D、不存在 例19：满足方程的复数对应的点的轨迹是 ( )‎ A、四个点 B、四条直线 C、一个圆 D、两个圆 例20：设复数，当在内变化时，求的最小值。‎ 例21：若复数和满足：，且。和在复平面中对应的点为和，坐标原点为O，且，求面积的最大值，并指出此时的值。‎ 例22：已知复数，i为虚数单位，且对于任意复数，有。‎ ‎（1）试求m的值，并分别写出a和b用x、y表示的关系式；‎ ‎（2）将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；‎ ‎（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。‎ 例23：已知复数和，其中均为实数，且。‎ ‎（1）若复数所对应的点在曲线上运动，求复数所对应的点的轨迹方程；‎ ‎（2）将（1）中点P的轨迹上每一点沿向量方向平移，得到新的轨迹C，求C的方程。‎ ‎（3）轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线交轴于点B。问：以为直径的圆是否恒过轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。‎ 例题答案：‎ ‎1、；2、1； 3、（1）；（2）略；5、；6、（1）；（2）；（3）；7、（1）；（2）①当时，方程无解；②当时，；③当时，；8、；9、当时，；当时，。‎ ‎10、（1），定值；（2）时，；时，；‎ ‎11、95；12、略；13、4； 14、（1）（4）；15、存在、或；‎ ‎16、D；17、D；18、C；19、C；‎ ‎20、；21、8，此时，提示：由条件得 ‎，‎ 当且仅当时等号成立。‎ ‎22、（1）；（2）；（3）存在直线，‎ ‎；‎ 提示：设存在直线满足条件，由条件该直线不能平行与坐标轴，设方程为，则变换后的直线为，即。它与重合，当时，方程无解。当时，；‎