浙江高考数学理科试卷完美版含答案 11页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理科）‎ ‎ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎ 请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。‎ 选择题部分（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，集合，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知是虚数单位，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是 ‎ ‎ ‎5．设，是两个非零向量 ‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，则存在实数，使得 ‎ D．若存在实数，使得，则 ‎6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 ‎ A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 ‎7．设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是 ‎ A．若，则数列有最大项 ‎ B．若数列有最大项，则 ‎ C．若数列是递增数列，则对任意，均有 ‎ D．若对任意，均有，则数列是递增数列 ‎8．如图，，分别是双曲线：的 左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近 线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点 ‎．若，则的离心率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设，‎ ‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎10．已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，‎ ‎ A．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ‎ B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ‎ C．存在某个位置，使得直线与直线垂直 ‎ D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直 非选择题部分（共100分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。‎ ‎11．已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥 的体积等于 ．‎ ‎12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．‎ ‎13．设公比为的等比数列的前项和为．‎ 若，，则 ．‎ ‎14．若将函数表示为 ‎，‎ 其中，，，…，为实数，则 ．‎ ‎15．在中，是的中点，，，‎ 则 ．‎ ‎16．定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线 的距离．已知曲线：到直线：的距离等于曲线 ‎：到直线：的距离，则实数 ．‎ ‎17．设，若时均有，‎ 则 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本题满分14分）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积．‎ ‎19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和．‎ ‎（Ⅰ）求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）求的数学期望．‎ ‎20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是 边长为的菱形，，且平面，‎ ‎，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角 的平面角的余弦值．‎ ‎21．（本题满分15分）如图，椭圆：的 离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的 直线与相交于，两点，且线段被直线平分．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．‎ ‎22．（本题满分14分）已知，，函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，‎ ‎ （i）函数的最大值为；‎ ‎ （ii）；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．‎ 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。‎ ‎1．B 2．D 3．A 4．A 5．C ‎6．D 7．C 8．B 9．A 10．B 二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。‎ ‎11．1 12． 13． 14．10‎ ‎15．-16 16． 17．‎ 三、解答题：本题共小题，满分72分。‎ ‎18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）因为，，得 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（Ⅱ）由，得 ‎ ，，‎ ‎ 于是 ‎ ．‎ ‎ 由及正弦定理，得 ‎ ．‎ ‎ 设的面积为，则 ‎ ．‎ ‎19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）由题意得取3，4，5，6，且 ‎ ， ，‎ ‎ ， ．‎ ‎ 所以的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ．‎ ‎20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以 ‎ ‎ ‎ 又因为平面，所以 ‎ 平面．‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ ‎ 连结交于，以为原点，，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，如图所示 ‎ 在菱形中，，得 ‎ ，．‎ ‎ 又因为平面，所以 ‎ ．‎ ‎ 在直角中，，，，得 ‎ ，．‎ ‎ 由此知各点坐标如下，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，．‎ ‎ 设为平面的法向量．‎ ‎ 由，知 ‎ ‎ ‎ 取，得 ‎ ‎ ‎ 设为平面的法向量．‎ ‎ 由，知 ‎ ‎ ‎ 取，得 ‎ ‎ ‎ 于是 ‎ ．‎ ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎ 方法二：‎ ‎ 在菱形中，，得 ‎ ，，‎ ‎ 有因为平面，所以 ‎ ，，，‎ ‎ 所以．‎ ‎ 所以．‎ ‎ 而，分别是，的中点，所以 ‎ ，且．‎ ‎ 取线段的中点，连结，，则 ‎ ，，‎ ‎ 所以为二面角的平面角．‎ ‎ 由，，故 ‎ 在中，，，得 ‎ ．‎ ‎ 在直角中，，得 ‎ ，，，‎ ‎ 在中，，得 ‎ ．‎ ‎ 在等腰中，，，得 ‎ ．‎ ‎ 在中，，，，得 ‎ ．‎ ‎ 所以二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。‎ ‎（Ⅰ）设椭圆左焦点为，则由题意得 ‎ ，‎ ‎ 得 ‎ 所以椭圆方程为 ‎ ．‎ ‎（Ⅱ）设，，线段的中点为．‎ 当直线与轴垂直时，直线的方程为，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线的方程为 ‎，‎ 由消去，整理得 ‎， （1）‎ 则 ‎，‎ 所以线段的中点，‎ 因为在直线上，所以 ‎，‎ 得 ‎（舍去）或，‎ 此时方程（1）为，则 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 设点到直线距离为，则 ‎，‎ 设的面积为，则 ‎，‎ 其中，‎ 令，‎ ‎，‎ 所以当且仅当，取到最大值，‎ 故当且仅当，取到最大值．‎ 综上，所求直线方程为．‎ ‎22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。‎ ‎（Ⅰ）（i）‎ ‎ 当时，有，此时在上单调递增 ‎ 所以当时，‎ ‎ ‎ ‎ （ii）由于，故 ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎ 设，则 ‎ ，‎ ‎ 于是 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 所以 ‎ 当时，‎ ‎ 故 ‎ （Ⅱ）由（i）知，当，，所以 ‎ ‎ ‎ 若，则由（ii）知 ‎ ‎ ‎ 所以对任意恒成立的充要条件是 ‎ ，‎ ‎ 即，或（1）‎ ‎ 在直角坐标系中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，‎ ‎ 作一组平行直线，得 ‎ ．‎ ‎ 所以的取值范围是．‎