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  • 2021-05-13 发布

全国高考文科数学试题及答案重庆卷26811

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‎2009年普通高等学校招生考试(重庆卷)‎ 数学试题卷(文史类)‎ 本试卷满分150分,考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意:‎ ‎ 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.‎ ‎ 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.‎ ‎ 3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.‎ ‎5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式:‎ ‎ 如果事件互斥,那么 ‎ ‎ 如果事件相互独立,那么 ‎ ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 以为半径的球体积:‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.圆心在轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A 解法1(直接法):设圆心坐标为,则由题意知,解得,故圆的方程为。‎ 解法2(数形结合法):由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为 解法3(验证法):将点(1,2)代入四个选择支,排除B,D,又由于圆心在轴上,排除C。‎ ‎2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )‎ A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”‎ B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”‎ C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”‎ D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”‎ ‎ 【答案】B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换,因此逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”。‎ ‎3.的展开式中的系数是( )‎ A.20 B.40 C.80 D.160‎ ‎【答案】D 解法1:设含的为第,则,令,得,故展开式中的系数为。‎ 解法2:根据二项展开式的通过公式的特点:二项展开式每一项中所含的与2分得的次数和为6,则根据条件满足条件的项按3与3分配即可,则展开式中的系数为。‎ ‎4.已知向量若与平行,则实数的值是( )‎ A.-2 B.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】D 解法1:因为,所以由于与平行,得,解得。‎ 解法2:因为与平行,则存在常数,使,即,根据向量共线的条件知,向量与共线,故。‎ ‎5.设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A 解析:设数列的公差为,则根据题意得,解得或(舍去),所以数列的前项和 ‎6.下列关系式中正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C 解析因为,由于正弦函数在区间上为递增函数,因此,即。‎ ‎7.已知,则的最小值是( )‎ A.2 B. C.4 D.5‎ ‎【答案】C 解析因为当且仅当,且 ‎,即时,取“=”号。‎ ‎8.12个篮球队中有3个强队,将这12个队任意分成3个组(每组4个队),则3个强队恰好被分在同一组的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解析:因为将12个组分成4个组的分法有种,而3个强队恰好被分在同一组分法有,故各强队恰好被分在同一组的概率为。‎ ‎9.在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是( )‎ A.若侧棱的长小于底面的变长,则的取值范围为 B.若侧棱的长小于底面的变长,则的取值范围为 C.若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为 D.若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为 ‎【答案】C 解析:设底面边长为1,侧棱长为,过作。在中,,由三角形面积关系得设在正四棱柱中,由于,所以平面,于是,所以平面,故为点到平面 的距离,在中,又由三角形面积关系得 于是,于是当,所以,所以 ‎10.把函数的图像向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度后得到图像.若对任意的,曲线与至多只有一个交点,则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B 解析:根据题意曲线C的解析式为则方程,即,即对任意恒成立,于是的最大值,令则由此知函数在(0,2)上为增函数,在上为减函数,所以当时,函数取最大值,即为4,于是。‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案写在答题卡相应位置上.‎ ‎11.若是小于9的正整数,是奇数,是3的倍数,则 .‎ ‎【答案】‎ 解析:,则所以,所以 ‎12.记的反函数为,则方程的解 .‎ ‎【答案】2‎ 解法1:由,得,即,于是由,解得 解法2:因为,所以 ‎13.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有 种(用数字作答).‎ ‎【答案】72‎ 解析:可分两个步骤完成,第一步骤先排除甲乙外的其他三人,有种,第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中,有种,则甲、乙两不相邻的排法有种。‎ ‎14.从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量如下(单位:克)‎ ‎125 124 121 123 127‎ 则该样本标准差 (克)(用数字作答).‎ ‎【答案】2‎ 解析:因为样本平均数,则样本方差所以 ‎15.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在一点使,则该椭圆的离心率的取值范围为 .‎ ‎【答案】‎ 解法1:因为在中,由正弦定理得 则由已知,得,即 设点由焦点半径公式,得 则 记得由椭圆的几何性质知,‎ 整理得解得,‎ 故椭圆的离心率 解法2 :由解析1知由椭圆的定义知 ‎,‎ 由椭圆的几何性质知 所以以下同解析1.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分.)‎ 设函数的最小正周期为 ‎(Ⅰ)求的最小正周期.‎ ‎(Ⅱ)若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到,求的单调增区间.‎ 解:(Ⅰ)‎ 依题意得,故的最小正周期为.‎ ‎(Ⅱ)依题意得: ‎ 由 解得 ‎‎ 故的单调增区间为: ‎ ‎17.(本小题满分13分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问6分)‎ 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:‎ ‎(Ⅰ)至少有1株成活的概率;‎ ‎(Ⅱ)两种大树各成活1株的概率.‎ 解: 设表示第株甲种大树成活, ; 设表示第株乙种大树成活, ‎ 则独立,且 ‎(Ⅰ)至少有1株成活的概率为:‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:‎ ‎18.(本小题满分13分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问6分)‎ 如题(18)图,在五面体中,∥,,,四边形为平行四边形,平面,.求:‎ ‎(Ⅰ)直线到平面的距离;‎ ‎(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)平面, AB到面的距离等于点A到面的距离,过点A作于G,因∥,故;又平面,由三垂线定理可知,,故,知,所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中,‎ 由平面,得AD,从而在中,‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎(Ⅱ)由己知,平面,得AD,又由,知,故平面ABFE ‎,所以,为二面角的平面角,记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎(Ⅰ)如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)‎ 设可得,由.即,解得 ∥,‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得 ①‎ 知G点在面上,故G点在FD上.‎ ‎,故有 ②‎ 联立①,②解得, ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎(Ⅱ)因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角,又,,,所以 ‎19.(本小题满分12分,(Ⅰ)问7分,(Ⅱ)问5分)‎ 已知为偶函数,曲线过点,.‎ ‎(Ⅰ)求曲线有斜率为0的切线,求实数的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若当时函数取得极值,确定的单调区间.‎ 解: (Ⅰ)为偶函数,故即有 ‎ 解得 又曲线过点,得有 从而,曲线有斜率为0的切线,故有有实数解.即有实数解.此时有解得 ‎ 所以实数的取值范围:‎ ‎(Ⅱ)因时函数取得极值,故有即,解得 又 令,得 当时, ,故在上为增函数 当时, ,故在上为减函数 当时, ,故在上为增函数 ‎20.(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)‎ 已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为,离心率.‎ ‎(Ⅰ)求该双曲线的方程;‎ ‎(Ⅱ)如题(20)图,点的坐标为,是圆上的点,点在双曲线右支上,求的最小值,并求此时点的坐标 解:(Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在轴上,故可设双曲线的方程为,设,由准线方程为得,由 得 解得 从而,该双曲线的方程为;‎ ‎(Ⅱ)设点D的坐标为,则点A、D为双曲线的焦点,‎ 所以 ,是圆上的点,其圆心为,半径为1,故 从而 当在线段CD上时取等号,此时的最小值为 直线CD的方程为,因点M在双曲线右支上,故 由方程组 解得 ‎ 所以点的坐标为;‎ ‎21.(本小题满分12分,(Ⅰ)问3分,(Ⅱ)问4分,(Ⅲ)问5分)‎ 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)设为数列的前项和,求证:;‎ ‎(Ⅲ)求证:.‎ 解:(Ⅰ),所以 ‎(Ⅱ)由得即 所以当时,于是 所以 ‎(Ⅲ)当时,结论成立 当时,有 所以 ‎