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  • 2021-05-13 发布

上海市杨浦区高考数学一模试卷及解析

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‎2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)计算的结果是   .‎ ‎2.(4分)已知集合A={1,2,m},B={3,4},若A∩B={3},则实数m=   .‎ ‎3.(4分)已知,则=   .‎ ‎4.(4分)若行列式,则x=   .‎ ‎5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x+y=   .‎ ‎6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于   .‎ ‎7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是   .‎ ‎8.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上,则an=   .‎ ‎9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为   .‎ ‎10.(5分)抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为   .‎ ‎11.(5分)已知函数,x∈R,设a>0,若函数g(x)=f(x+α)为奇函数,则α的值为   .‎ ‎12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为   .‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎14.(5分)给出下列函数:①y=log2x;②y=x2;③y=2|x|;④y=arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是(  )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.②④‎ ‎15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•=0,•=0,•=0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1+S2+S3的最大值是(  )‎ A. B.2 C.4 D.8‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.‎ ‎(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;‎ ‎(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母线BS的中点.‎ ‎(1)求圆锥的体积;‎ ‎(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)‎ ‎19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且B⊆A.‎ ‎(1)求实数a的取值范围;‎ ‎(2)求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数.‎ ‎20.(16分)设直线l与抛物线Ω:y2=4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.‎ ‎(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离;‎ ‎(2)若直线l又与圆C:(x﹣5)2+y2=16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程;‎ ‎(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.‎ ‎21.(18分)若数列A:a1,a2,…,an(n≥3)中(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n﹣1,ak+1+ak﹣1>2ak恒成立,则称数列A为“U﹣数列”.‎ ‎(1)若数列1,x,y,7为“U﹣数列”,写出所有可能的x、y;‎ ‎(2)若“U﹣数列”A:a1,a2,…,an中,a1=1,an=2017,求n的最大值;‎ ‎(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A:a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数,求M的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2018年上海市杨浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.(4分)计算的结果是 1 .‎ ‎【解答】解:当n→+∞,→0,∴=1,‎ 故答案为:1.‎ ‎2.(4分)已知集合A={1,2,m},B={3,4},若A∩B={3},则实数m= 3 .‎ ‎【解答】解:∵集合A={1,2,m},B={3,4},A∩B={3},‎ ‎∴实数m=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)已知,则= ﹣ .‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴=.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎4.(4分)若行列式,则x= 2 .‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1‎ ‎∴x=2‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,则x+y= 6 .‎ ‎【解答】解:∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是,‎ ‎∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式 ,‎ 解得 x=4,y=2,‎ ‎∴x+y=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)在的二项展开式中,常数项等于 ﹣160 .‎ ‎【解答】解:展开式的通项为Tr+1=x6﹣r(﹣)r=(﹣2)r x6﹣2r 令6﹣2r=0可得r=3‎ 常数项为(﹣2)3=﹣160‎ 故答案为:﹣160‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具),先后抛掷2次,则出现向上的点数之和为4的概率是  .‎ ‎【解答】解:基本事件共6×6个,‎ 点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个,‎ 故P==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=log2‎ ‎(x+1)的反函数的图象上,则an= 2n﹣1 .‎ ‎【解答】解:由题意得n=log2(Sn+1)⇒sn=2n﹣1.‎ n≥2时,an=sn﹣sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1,‎ 当n=1时,a1=s1=21﹣1=1也适合上式,‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n﹣1;‎ 故答案为:2n﹣1 ‎ ‎9.(5分)在△ABC中,若sinA、sinB、sinC成等比数列,则角B的最大值为  .‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,sinA、sinB、sinC依次成等比数列,‎ ‎∴sin2B=sinAsinC,‎ 利用正弦定理化简得:b2=ac,‎ 由余弦定理得:cosB==≥=(当且仅当a=c时取等号),‎ 则B的范围为(0,],即角B的最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)抛物线y2=﹣8x的焦点与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,则这条双曲线的两条渐近线的夹角为  .‎ ‎【解答】解:∵抛物线y2=﹣8x的焦点F(﹣2,0)与双曲线﹣y2=1的左焦点重合,‎ ‎∴a2+1=4,解得a=,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=,‎ ‎∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)已知函数,x∈R,设a>0,若函数g(x)=f(x+α)为奇函数,则α的值为  .‎ ‎【解答】解:函数,‎ ‎=,‎ ‎=s,‎ 函数g(x)=f(x+α)=为奇函数,‎ 则:(k∈Z),‎ 解得:,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知点C、D是椭圆上的两个动点,且点M(0,2),若,则实数λ的取值范围为  .‎ ‎【解答】解:假设CD的斜率存在时,设过点M(0,2)得直线方程为y=kx+2,‎ 联立方程,整理可得(1+4k2)x2+16kx+12=0,‎ 设C(x1,y1),N(x2,y2),则△=(16k)2﹣4×(1+4k2)×12≥0,整理得k2≥,‎ x1+x2=﹣,x1x2=,(*)‎ 由,可得,x1=λx2代入到(*)式整理可得==,‎ 由k2≥,可得4≤≤,解可得<λ<3且λ≠1,‎ 当M和N点重合时,λ=1,‎ 当斜率不存在时,则D(0,1),C(0,﹣1),或D(0,1),C(0,﹣1),则λ=或λ=3‎ ‎∴实数λ的取值范围.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.(5分)在复平面内,复数对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵=,‎ ‎∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2),位于第三象限.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)给出下列函数:①y=log2x;②y=x2;③y=2|x|;④y=arcsinx.其中图象关于y轴对称的函数的序号是(  )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.②④‎ ‎【解答】解:①y=log2x的定义域为(0,+∞),定义域关于原点不对称,则函数为非奇非偶函数;‎ ‎②y=x2;是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.‎ ‎③y=2|x|是偶函数,图象关于y轴对称,满足条件.‎ ‎④y=arcsinx是奇函数,图象关于y轴不对称,不满足条件,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 ‎【解答】解:t≥0⇒△=t2+4t≥0⇒函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞‎ ‎)内存在零点,‎ 函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点⇒△=t2+4t≥0⇒t≥0或t≤﹣4.‎ ‎∴“t≥0”是“函数f(x)=x2+tx﹣t在(﹣∞,+∞)内存在零点”的充分非必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点,且满足•=0,•=0,•=0,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积,则S1+S2+S3的最大值是(  )‎ A. B.2 C.4 D.8‎ ‎【解答】解:设AB=a,AC=b,AD=c,‎ 因为AB,AC,AD两两互相垂直,扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a2+b2+c2=4R2=4 ‎ 所以S△ABC+S△ACD+S△ADB=(ab+ac+bc )≤(a2+b2+c2)=2‎ 即最大值为:2‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.(14分)如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.‎ ‎(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;‎ ‎(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?‎ ‎【解答】解:(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,‎ 它的面积y=x(l﹣3x);‎ 由x>0,且l﹣3x>0,可得函数的定义域为(0,l);‎ ‎(2)y=x(l﹣3x)=×3x(1﹣3x)≤×()2=,‎ 当x=时,这块长方形场地的面积最大,‎ 这时的长为l﹣3x=l,最大面积为.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)如图,已知圆锥的侧面积为15π,底面半径OA和OB互相垂直,且OA=3,P是母线BS的中点.‎ ‎(1)求圆锥的体积;‎ ‎(2)求异面直线SO与PA所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)‎ ‎【解答】(本题满分(14分),第1小题满分(7分),第2小题满分7分)‎ 解:(1)由题意,π•OA•SB=15π,‎ 解得BS=5,…(2分)‎ 故…(4分)‎ 从而体积.…(7分)‎ ‎(2)如图,取OB中点H,连结PH、AH.‎ 由P是SB的中点知PH∥SO,‎ 则∠APH(或其补角)就是异面直线SO与PA所成角.…(10分)‎ ‎∵SO⊥平面OAB,∴PH⊥平面OAB,∴PH⊥AH.‎ 在△OAH中,由OA⊥OB,得,…(11分)‎ 在Rt△APH中,∠AHP=90 O,,…(12分)‎ 则,‎ ‎∴异面直线SO与PA所成角的大小.…(14分)‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)已知函数的定义域为集合A,集合B=(a,a+1),且B⊆A.‎ ‎(1)求实数a的取值范围;‎ ‎(2)求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数.‎ ‎【解答】解:(1)令,解得﹣1<x<1,所以A=(﹣1,1),‎ 因为B⊆A,所以,‎ 解得﹣1≤a≤0,‎ 即实数a的取值范围是[﹣1,0];‎ ‎(2)证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1),定义域关于原点对称,‎ f(﹣x)=ln=ln()﹣1=﹣ln=﹣f(x),‎ 而,,所以,‎ 所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数.‎ ‎ ‎ ‎20.(16分)设直线l与抛物线Ω:y2=4x相交于不同两点A、B,O为坐标原点.‎ ‎(1)求抛物线Ω的焦点到准线的距离;‎ ‎(2)若直线l又与圆C:(x﹣5)2+y2=16相切于点M,且M为线段AB的中点,求直线l的方程;‎ ‎(3)若,点Q在线段AB上,满足OQ⊥AB,求点Q的轨迹方程.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,抛物线Ω的方程为y2=4x,‎ 则p=2,‎ 故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2;‎ ‎(2)设直线l:x=my+b 当m=0时,x=1和x=9符合题意;‎ 当m≠0时,A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足方程组,‎ 所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2.‎ ‎△=16(m2+b)>0,y1+y2=4m,‎ 所以,‎ 所以线段AB的中点M(2m2+b,2m)‎ 因为kAB•kCM=﹣1,,‎ 所以,得b=3﹣2m2‎ 所以△=16(m2+b)=16(3﹣m2)>0,得0<m2<3‎ 因为,所以m2=3(舍去)‎ 综上所述,直线l的方程为:x=1,x=9‎ ‎(3)设直线AB:x=my+b,A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足方程组,‎ 所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2‎ ‎△=16(m2+b)>0,y1+y2=4m,y1y2=﹣4b 所以,得b=0或b=4‎ b=0时,直线AB过原点,所以Q(0,0);‎ b=4时,直线AB过定点P(4,0)‎ 设Q(x,y),因为OQ⊥AB,‎ 所以(x≠0),‎ 综上,点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0‎ ‎21.(18分)若数列A:a1,a2,…,an(n≥3)中(1≤i≤n)且对任意的2≤k≤n﹣1,ak+1+ak﹣1>2ak恒成立,则称数列A为“U﹣数列”.‎ ‎(1)若数列1,x,y,7为“U﹣数列”,写出所有可能的x、y;‎ ‎(2)若“U﹣数列”A:a1,a2,…,an中,a1=1,an=2017,求n的最大值;‎ ‎(3)设n0为给定的偶数,对所有可能的“U﹣数列”A:a1,a2,…,,记,其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs这s个数中最大的数,求M的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)x=1时,,所以y=2或3;‎ x=2时,,所以y=4;‎ x≥3时,,无整数解;‎ 所以所有可能的x,y为,或.‎ ‎(2)n的最大值为65,理由如下:‎ 一方面,注意到:ak+1+ak﹣1>2ak⇔ak+1﹣ak>ak﹣ak﹣1.‎ 对任意的1≤i≤n﹣1,令bi=ai+1﹣ai,则bi∈Z且bk>bk﹣1(2≤k≤n﹣1),故bk≥bk﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立.(*)‎ 当a1=1,an=2017时,注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0,得(2≤i≤n﹣1)‎ 即bi≥i﹣1,此时an﹣a1=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)=bn﹣1+bn﹣2+…+b1≥0+1+2+…+(n﹣2)=,(**)‎ 即,解得:﹣62≤n≤65,故n≤65.‎ 另一方面,为使(**)取到等号,所以取bi=i﹣1(1≤i≤64),则对任意的2≤k≤64,bk>bk﹣1,故数列{an}为“U﹣数列”,‎ 此时由(**)式得,‎ 所以a65=2017,即n=65符合题意. 综上,n的最大值为65. ‎ ‎(3)M的最小值为,证明如下:‎ 当n0=2m(m≥2,m∈N*)时,‎ 一方面:由(*)式,bk+1﹣bk≥1,bm+k﹣bk=(bm+k﹣bm+k﹣1)+(bm+k﹣1﹣bm+k﹣2)+…+(bk+1﹣bk)≥m.此时有:‎ ‎(a1+a2m)﹣(am+am+1)=(a2m﹣am+1)﹣(am﹣a1)‎ ‎=(bm+1+bm+2+…+b2m﹣1)﹣(b1+b2+…+bm﹣1)‎ ‎=(bm+1﹣b1)+(bm+2﹣b2)+…+(b2m+1﹣bm﹣1)‎ ‎≥m+m+…+m=m(m﹣1).‎ 即(a1+a2m)≥(am+am+1)+m(m﹣1)‎ 故 因为,所以,‎ 另一方面,当b1=1﹣m,b2=2﹣m,…,bm﹣1=﹣1,bm=0,bm+1=1,b2m﹣1=m﹣1时,ak+1+ak﹣1﹣2ak=(ak+1﹣ak)﹣(ak﹣ak﹣1)=bk﹣bk﹣1=1>0‎ 取am=1,则am+1=1,a1>a2>a3>…>am,am+1<am+2<…<a2m,‎ 且 此时.‎ 综上,M的最小值为.‎ ‎ ‎