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  • 2021-05-13 发布

全国高考湖南卷理科数学试题及答案解析

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‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)‎ 数学(理工农医类)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎ 1.设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N=‎ A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}‎ ‎【答案】B ‎【解析】 M={-1,0,1} M∩N={0,1}.‎ ‎【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.‎ 先求出,再利用交集定义得出M∩N.‎ ‎2.命题“若α=,则tanα=‎1”‎的逆否命题是 A.若α≠,则tanα≠1 B. 若α=,则tanα≠1‎ C. 若tanα≠1,则α≠ D. 若tanα≠1,则α=‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为“若,则”的逆否命题为“若,则”,所以 “若α=,则tanα=‎1”‎的逆否命题是 “若tanα≠1,则α≠”.‎ ‎【点评】本题考查了“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.‎ ‎3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是 ‎【答案】D ‎【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.‎ ‎【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.‎ ‎4.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(,)‎ C.若该大学某女生身高增加‎1cm,则其体重约增加‎0.85kg D.若该大学某女生身高为‎170cm,则可断定其体重比为‎58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知,所以回归直线过样本点的中心(,),利用回归方程可以预测估计总体,所以D不正确.‎ ‎【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正确的答案,易错.‎ ‎5. 已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 A.-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]‎ ‎【答案】A ‎【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.‎ 又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.‎ 又,,C的方程为-=1.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.‎ ‎6. 函数f(x)=sinx-cos(x+)的值域为 ‎ A. [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)=sinx-cos(x+),,值域为[-,].‎ ‎【点评】利用三角恒等变换把化成的形式,利用,求得的值域.‎ ‎7. 在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1则.[中&%国教*^育出版~网]‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由下图知.‎ ‎.又由余弦定理知,解得.‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意的夹角为的外角.‎ ‎8.已知两条直线 :y=m 和: y=(m>0),与函数的图像从左至右相交于点A,B ,与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时,的最小值为[来源%&:中国~*教育#出版网]‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像如下图,‎ 由= m,得,= ,得.‎ 依照题意得.‎ ‎,.‎ ‎【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=(m>0),图像,结合图像可解得.‎ 二 、填空题: 本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分 ,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎(一)选做题(请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 )‎ ‎9. 在直角坐标系xOy 中,已知曲线: (t为参数)与曲线 :‎ ‎(为参数,) 有一个公共点在X轴上,则.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线:直角坐标方程为,与轴交点为;‎ 曲线 :直角坐标方程为,其与轴交点为,‎ 由,曲线与曲线有一个公共点在X轴上,知.‎ ‎【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线与曲线的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与轴交点,即可求得.‎ ‎10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令,则由得的解集为.‎ ‎【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组).‎ ‎11.如图2,过点P的直线与圆O相交于A,B两点.若PA=1,AB=2,PO=3,则圆O的半径等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设交圆O于C,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知 ‎【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知 ‎,从而求得圆的半径.‎ ‎ (二)必做题(12~16题)‎ ‎12.已知复数 (i为虚数单位),则|z|=_____.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】=,.‎ ‎【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的形式,利用 求得.‎ ‎13.( -)6的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)‎ ‎【答案】-160‎ ‎【解析】( -)6的展开式项公式是.由题意知,所以二项展开式中的常数项为.‎ ‎【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.‎ ‎14.如果执行如图3所示的程序框图,输入,n=3,则输出的数S= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】输入,n=3,,执行过程如下:;;,所以输出的是.‎ ‎【点评】本题考查算法流程图,要明白循环结构中的内容,一般解法是逐步执行,一步步将执行结果写出,特别是程序框图的执行次数不能出错.‎ ‎15.函数f(x)=sin ()的导函数的部分图像如图4所示,其中,P为图像与y轴的交点,A,C为图像与x轴的两个交点,B为图像的最低点.‎ ‎(1)若,点P的坐标为(0,),则 ;‎ ‎(2)若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC内的概率为 .‎ ‎【答案】(1)3;(2)‎ ‎【解析】(1),当,点P的坐标为(0,)时 ‎;‎ ‎(2)由图知,,设的横坐标分别为.‎ 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则,由几何概型知该点在△ABC内的概率为.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P在图像上求,‎ ‎(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.‎ ‎16.设N=2n(n∈N*,n≥2),将N个数x1,x2,…,xN依次放入编号为1,2,…,N的N 个位置,得到排列P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前和后个位置,得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为C变换,将P1分成两段,每段个数,并对每段作C变换,得到;当2≤i≤n-2时,将Pi分成2i段,每段个数,并对每段C变换,得到Pi+1,例如,当N=8时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时x7位于P2中的第4个位置.‎ ‎(1)当N=16时,x7位于P2中的第___个位置;‎ ‎(2)当N=2n(n≥8)时,x173位于P4中的第___个位置.‎ ‎【答案】(1)6;(2)‎ ‎【解析】(1)当N=16时,‎ ‎,可设为,‎ ‎,即为,‎ ‎,即, x7位于P2中的第6个位置,;‎ ‎(2)方法同(1),归纳推理知x173位于P4中的第个位置.‎ ‎【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力.‎ 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎10‎ 结算时间(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;[&%中国教育出~版网*#]‎ ‎(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.‎ ‎(注:将频率视为概率)[中%#国教*育^出版网~]‎ ‎【解析】(1)由已知,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 ‎ ‎ ‎ ‎ 的分布为 ‎ X ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ P X的数学期望为 ‎ .‎ ‎(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 ‎ .‎ 由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以 ‎ ‎ ‎ .‎ 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.‎ ‎【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%知 从而解得,计算每一个变量对应的概率,从而求得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图5,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.[来源%:*中#国教~育出@版网]‎ ‎(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;‎ ‎(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【解析】‎ 解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,,‎ E是CD的中点,所以 所以 而内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE.‎ ‎(Ⅱ)过点B作 由(Ⅰ)CD⊥平面PAE知,BG⊥平面PAE.于是为直线PB与平面PAE 所成的角,且.‎ 由知,为直线与平面所成的角.‎ 由题意,知 因为所以 由所以四边形是平行四边形,故于是 在中,所以 ‎       ‎ 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 ‎         ‎ 解法2:如图(2),以A为坐标原点,所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为:‎ ‎(Ⅰ)易知因为 所以而是平面内的两条相交直线,所以 ‎(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,分别是,的法向量,而PB与 所成的角和PB与所成的角相等,所以 由(Ⅰ)知,由故 解得.‎ 又梯形ABCD的面积为,所以四棱锥的体积为 ‎ .‎ ‎【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知数列{an}的各项均为正数,记A(n)=a1+a2+……+an,B(n)=a2+a3+……+an+1,C(n)=a3+a4+……+an+2,n=1,2,…… [来^&源:中教网@~%]‎ (1) 若a1=1,a2=5,且对任意n∈N﹡,三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.‎ (2) 证明:数列{ an }是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.‎ ‎【解析】‎ 解(1)对任意,三个数是等差数列,所以 ‎            ‎ 即亦即 故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是 ‎(Ⅱ)(1)必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有 由知,均大于0,于是 ‎    ‎ ‎    ‎ 即==,所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎(2)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,‎ 则 ‎   ,‎ 于是得即 ‎   ‎ 由有即,从而.‎ 因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,‎ 综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证.‎ ‎20.(本小题满分13分)[来#源:中教%&*网~]‎ 某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).‎ ‎(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;‎ ‎(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【解析】‎ 解:(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 由题设有 ‎ ‎ 期中均为1到200之间的正整数.‎ ‎(Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为 易知,为减函数,为增函数.注意到 于是 ‎(1)当时, 此时 ‎ ,‎ 由函数的单调性知,当时取得最小值,解得 ‎.由于 ‎.‎ 故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为.‎ ‎(2)当时, 由于为正整数,故,此时易知为增函数,则 ‎.‎ 由函数的单调性知,当时取得最小值,解得.由于 此时完成订单任务的最短时间大于.‎ ‎(3)当时, 由于为正整数,故,此时由函数的单调性知,‎ 当时取得最小值,解得.类似(1)的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为,大于.‎ 综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为44,88,68.‎ ‎【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想.‎ ‎21.(本小题满分13分)[www.z%zstep.co*~&m^]‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)解法1 :设M的坐标为,由已知得 ‎,‎ 易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以 ‎.‎ 化简得曲线的方程为.‎ 解法2 :由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为.‎ ‎(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,则过P且与圆 相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为.于是 整理得 ‎ ①‎ 设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,故 ‎ ②‎ 由得 ③‎ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以 ‎ ④‎ 同理可得 ‎ ⑤‎ 于是由②,④,⑤三式得 ‎.‎ 所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.‎ ‎22.(本小题满分13分)‎ 已知函数=,其中a≠0.[来源^:zz#~s&tep.@com]‎ (1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.‎ ‎(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)若,则对一切,,这与题设矛盾,又,‎ 故.‎ 而令 当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取最小值 于是对一切恒成立,当且仅当 ‎     .                  ①‎ 令则 当时,单调递增;当时,单调递减.‎ 故当时,取最大值.因此,当且仅当即时,①式成立.‎ 综上所述,的取值集合为.‎ ‎(Ⅱ)由题意知,‎ 令则 令,则.‎ 当时,单调递减;当时,单调递增.‎ 故当,即 从而,又 所以 因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使单调递增,故这样的是唯一的,且.故当且仅当时, .‎ 综上所述,存在使成立.且的取值范围为 ‎.‎ ‎【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.‎ 第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为,从而得出a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.‎