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  • 2021-05-13 发布

全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全16概率随机变量及其分布

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‎2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 ‎ (16概率、随机变量及其分布)‎ 一、选择题:‎ ‎1.(2008福建文)某一批花生种子,如果每一粒发芽的概率为,那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是( C )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2008福建理)某一批花生种子,如果每1粒发牙的概率为, 那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(B )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.(2008安徽理)设两个正态分布和的密度函数图像如图所示。则有( A )‎ A. ‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4. (2008湖南理)设随机变量服从正态分布,若,则c= ( B. )‎ A.1 B‎.2 ‎‎ ‎ C.3 D.4 ‎ ‎4.【答案】B ‎4.【解析】‎ ‎ ‎ ‎ 解得=2, 所以选B.‎ ‎5.(2008江西文、理)电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59,每一时刻都由四个数字组成,则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5..一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.‎ ‎ ‎ ‎6.(2008辽宁文、理) 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( C )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(2008山东理)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为( B )‎ ‎(A)  (B) (C)   (D)‎ ‎8. (2008重庆理)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(<3=(D )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎9. (2008重庆文)从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,则所取4个球的 最大号码是6的概率为( B )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题:‎ ‎1.(2008江苏) 一个骰子连续投2 次,点数和为4 的概率 .‎ ‎1.【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6×6 个,点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个,故 ‎【答案】‎ ‎2.在平面直角坐标系中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域, E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域,向D 中随机投一点,则落入E 中的概率__ .‎ ‎2.【解析】本小题考查古典概型.如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此.‎ ‎【答案】‎ ‎3.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己,假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是 0.98 .‎ ‎4.(2008上海文)在平面直角坐标系中,从六个点:中任 取三个,这三点能构成三角形的概率是    (结果用分数表示).‎ ‎5.(2008上海理)在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 . (结果用分数表示)‎ 三、解答题:‎ ‎1.(2008安徽文)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了10张卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.‎ ‎(Ⅰ)现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张,测试后放回,余下2位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上,拼音都带有后鼻音“g”的概率。‎ ‎(Ⅱ)若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张,求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率。‎ ‎1.解:(1)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而所求的概率为 ‎(2)设表示所抽取的三张卡片中,恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为则 ‎ , ‎ ‎ 因而所求概率为 ‎ ‎ ‎2.(2008安徽理)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差为。‎ ‎(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列;‎ ‎(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率 ‎2. (1)由得,从而 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得 ‎ 或 ‎ ‎3.(2008北京文)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率.‎ ‎3.解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA,那么 ‎          P(EA)=‎ 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 ‎(Ⅱ)记甲、乙两个同时参加同一岗位服务为事件E,那么 P(E)=‎ 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P()=1-P(E)=‎ ‎4.(2008北京理)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.‎ ‎4.解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.‎ ‎(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,‎ 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.‎ ‎(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,‎ 则.‎ 所以,的分布列是 ‎1‎ ‎3‎ ‎5. (2008福建文)三人独立破译同一份密码,已知三人各自译出密码的概率分别为,且他们是否破译出密码互不影响。(1)求恰有二人破译出密码的概率;(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率那个大?说明理由。‎ ‎5.解:记“第i个人破译出密码”为事件,则:‎ ‎ (1)设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有:‎ ‎(2)设“密码被破译”为事件C,“密码未被破译”为事件D,则有:‎ ‎ , ‎ ‎ 所以密码被破译的概率大 ‎6.(2008福建理)某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科 ‎   目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证 ‎   书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为,科目B每次考试 ‎   成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.‎ ‎  (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率;‎ ‎  (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的数学期望E.‎ ‎6.本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.‎ ‎ 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A,“科目A补考合格”为事件A2;“科目B第一次考试合格”为事件B,“科目B补考合格”为事件B.‎ ‎ (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立,‎ 则.‎ 答:该考生不需要补考就获得证书的概率为.‎ ‎(Ⅱ)由已知得,=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故 答:该考生参加考试次数的数学期望为.‎ ‎7. (2008广东文)某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表. ‎ 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到初二年级女生的概率是0.19 .‎ ‎(1)求x的值;‎ ‎(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名?‎ ‎(3)已知,求初三年级中女生比男生多的概率。‎ ‎ ‎ ‎7.解: (1)由,解得,‎ ‎ (2)初三年级人数为,‎ ‎ 设应在初三年级抽取m人,则,解得m=12. ‎ ‎ 答: 应在初三年级抽取12名.‎ ‎ (3)设初三年级女生比男生多的事件为,初三年级女生和男生数记为数对,‎ 由(2)知,则基本事件总数有:‎ 共11个,‎ 而事件包含的基本事件有:‎ 共5个,‎ ‎∴‎ ‎8. (2008广东理)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获利分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为.‎ ‎(1)求ξ的分布列;‎ ‎(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望);‎ ‎(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%. 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?‎ ‎8.解: (1) 依题意得, ξ的所有可能取值为6,2,1,-2. ‎ ‎ ξ=6,2,1,-2分别对应抽取1件产品为一等品、二等品、三等品、次品这四个事件.‎ ‎ 所以,‎ ‎ ,‎ ‎ 所以ξ的分布列为 ‎ ‎ ‎ (2) 1件产品的平均利润为Eξ=60.63+20.25+10.1-20.02=4.34‎ ‎ (3)设三等品率为x,则二等品率为0.29-x,此时ξ的分布列为 ‎ ‎ ‎ 1件产品的平均利润为Eξ=60.7+2(0.29-x)+x-20.01=4.76-x 令Eξ=4.76-x4.73,解得=3%,‎ 答:三等品率最多是3%.‎ ‎9、(2008海南、宁夏文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下:5,6,7,8,9,10。把这6名学生的得分看成一个总体。(1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本。求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率。‎ ‎9.解:(Ⅰ)总体平均数为.-----------4分 ‎(Ⅱ)设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过‎0.5”‎.‎ 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有:,,,,,,,,,,,,,,.共15个基本结果.‎ 事件包括的基本结果有:,,,,,,.共有7个基本结果.‎ 所以所求的概率为.-----------------12分 ‎10、(2008海南、宁夏理)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析,X1和X2的分布列分别为 X1‎ ‎5%‎ ‎10%‎ X2‎ ‎2%‎ ‎8%‎ ‎12%‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎(1)在A、B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差DY1、DY2;(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值。 (注:D(aX + b) = a2DX)‎ ‎10.解:(Ⅰ)由题设可知和的分布列分别为 ‎ Y1‎ ‎5‎ ‎10‎ P ‎0.8‎ ‎0.2‎ ‎ Y2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎12‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎,‎ 当时,为最小值.‎ ‎11. (2008湖北理)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.‎ ‎(Ⅰ)求ξ的分布列,期望和方差;‎ ‎(Ⅱ)若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.‎ ‎11.本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念,以及基本的运算能力.(满分12分)‎ 解:(Ⅰ)的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由,得a2×2.75=11,即又所以 当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2; ‎ 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4. ‎ ‎∴或即为所求.‎ ‎12.(2008湖南文) 甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格 就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试 合格的概率都是,且面试是否合格互不影响。求:‎ ‎(I)至少一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。‎ ‎12.解:用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,‎ 且 ‎(I)至少有一人面试合格的概率是 ‎(II)没有人签约的概率为 ‎ ‎ ‎13 (2008湖南理)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响.求:‎ ‎(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率;‎ ‎(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.‎ ‎13.解: 用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,‎ 且P(A)=P(B)=P(C)=.‎ ‎(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是 ‎(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以, 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的期望 ‎14.(2008江西文) 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出一种拯救果树的方案,该方案需分两年实施且相互独立.该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4.‎ ‎(1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率;‎ ‎(2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.‎ ‎14.解:(1)令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件 ‎ ‎ ‎(2)令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件 ‎ ‎ ‎15.(2008江西理) 因冰雪灾害,某柑桔基地果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果树的方案,每种方案都需分两年实施.若实施方案一,预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立,令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.‎ ‎(1)写出ξ1、ξ2的分布列;‎ ‎(2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?‎ ‎(3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大?‎ ‎15.解:(1)ξ1的分布列为 ξ1‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1‎ ‎1.125‎ ‎1.25‎ P1‎ ‎0.2‎ ‎0.15‎ ‎0.35‎ ‎0.15‎ ‎0.15‎ ξ2的分布列为 ξ2‎ ‎0.8‎ ‎0.96‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.44‎ P2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.18‎ ‎0.24‎ ‎0.08‎ ‎(2)由(1)可得P1>1的概率P(P1>1)= 0.15 + 0.15 = 0.3,‎ P2>1的概率P(P2>1)= 0.24 + 0.08 = 0.32,‎ 可见,P(P2>1)>P(P1>1)‎ ‎∴实施方案2,两年后产量超过灾前概率更大。‎ ‎(3)设实施方案1、2的平均利润分别为利润1、利润2,根据题意 ‎ 利润1 = (0.2 +0.15)×10 + 0.35×15 + (0.15 + 0.15)×20‎ ‎ = 14.75(万元)‎ ‎ 利润2 = (0.3 + 0.2)×10 + 0.18×15 + (0.24 + 0.08)×20‎ ‎ = 14.1(万元)‎ ‎∴利润1>利润2,‎ ‎∴实施方案1平均利润更大。‎ ‎16.(2008辽宁文)某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;‎ ‎(Ⅱ)若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ‎(ⅰ)4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;‎ ‎(ⅱ)该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.‎ ‎16.本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3. 4分 ‎(Ⅱ)由题意知一周的销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3,故所求的概率为 ‎ (ⅰ). 8分 ‎ (ⅱ). 12分 ‎17.(2008辽宁理) 某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示:‎ 周销售量 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 频数 ‎20‎ ‎50‎ ‎30‎ ‎(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率;‎ ‎(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.‎ ‎17.本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ 解:(Ⅰ)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3. 3分 ‎(Ⅱ)的可能值为8,10,12,14,16,且 P(=8)=0.22=0.04,‎ P(=10)=2×0.2×0.5=0.2,‎ P(=12)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,‎ P(=14)=2×0.5×0.3=0.3,‎ P(=16)=0.32=0.09.‎ 的分布列为 ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ P ‎0.04‎ ‎0.2‎ ‎0.37‎ ‎0.3‎ ‎0.09‎ ‎ 9分 ‎=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元) 12分 ‎18.(2008全国Ⅱ卷文) 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击中8环,9环,10环的概率分别为0.6,0.3,0.1,乙击中8环,9环,10环的概率分别为0.4,0.4,0.2.‎ 设甲、乙的射击相互独立.‎ ‎(Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率;‎ ‎(Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.‎ ‎18.解:记分别表示甲击中9环,10环,‎ 分别表示乙击中8环,9环,‎ 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数,‎ 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,‎ 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.‎ ‎(Ⅰ), 2分 ‎. 6分 ‎(Ⅱ), 8分 ‎,‎ ‎,‎ ‎. 12分 ‎19.(2008全国Ⅱ卷理) 购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率;‎ ‎(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).‎ ‎19.解:各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是,记投保的10 000人中出险的人数为,则.‎ ‎(Ⅰ)记表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则发生当且仅当, 2分 ‎,‎ 又,‎ 故. 5分 ‎(Ⅱ)该险种总收入为元,支出是赔偿金总额与成本的和.‎ 支出 ,‎ 盈利 ,‎ 盈利的期望为 , 9分 由知,,‎ ‎.‎ ‎(元).‎ 故每位投保人应交纳的最低保费为15元. 12分 ‎20.(2008全国Ⅰ卷文)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法:‎ 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.‎ 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.‎ 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率.‎ ‎20.解:对于甲:‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 对于乙:‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎.‎ ‎21.(2008全国Ⅰ卷理) 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方法:‎ 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.‎ 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.‎ ‎(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;‎ ‎(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.‎ ‎21.解:(Ⅰ)对于甲:‎ 次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 概率 ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 对于乙:‎ 次数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,的期望为.‎ ‎22.(2008山东文)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者通晓日语,通晓俄语,通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.‎ ‎(Ⅰ)求被选中的概率;‎ ‎(Ⅱ)求和不全被选中的概率.‎ ‎22.解:(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间 ‎{,,‎ ‎,,,‎ ‎,,,‎ ‎}‎ 由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.‎ 用表示“恰被选中”这一事件,则 ‎{,‎ ‎}‎ 事件由6个基本事件组成,‎ 因而.‎ ‎(Ⅱ)用表示“不全被选中”这一事件,则其对立事件表示“全被选中”这一事件,‎ 由于{},事件有3个基本事件组成,‎ 所以,由对立事件的概率公式得.‎ ‎23.(2008山东理)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎(Ⅰ)求随机变量ε分布列和数学期望; ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).‎ ‎23.(Ⅰ)解法一:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且 ‎ ‎ 所以ε的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ε的数学期望为 ‎     Eε=‎ 解法二:根据题设可知 因此ε的分布列为 ‎(Ⅱ)解法一:用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C、D互斥,又 由互斥事件的概率公式得 解法二:用Ak表示“甲队得k分”这一事件,用Bk表示“已队得k分”这一事件,k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件,故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).‎ ‎24..(2008陕西文)一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.‎ ‎(Ⅰ)连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;‎ ‎(Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率.‎ ‎24. 解:(Ⅰ)从袋中依次摸出2个球共有种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有种结果,则所求概率 ‎.‎ ‎(Ⅱ)第一次摸出红球的概率为,第二次摸出红球的概率为,第三次摸出红球的概率为,则摸球次数不超过3次的概率为 ‎.‎ ‎25.(2008陕西理)某射击测试规则为:每人最多射击3次,击中目标即终止射击,第次击中目标得分,3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8,其各次射击结果互不影响.‎ ‎(Ⅰ)求该射手恰好射击两次的概率;‎ ‎(Ⅱ)该射手的得分记为,求随机变量的分布列及数学期望.‎ ‎25.(Ⅰ)设该射手第次击中目标的事件为,则,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)可能取的值为0,1,2,3. 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.008‎ ‎0.032‎ ‎0.16‎ ‎0.8‎ ‎.‎ ‎26.(2008四川文) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎ (Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(Ⅱ)求进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未购买甲种也未购买乙种商品的概率。‎ ‎26.【解】:(Ⅰ)记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,‎ ‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)记表示事件:进入商场的3位顾客中都未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;‎ ‎ 表示事件:进入商场的1位顾客未选购甲种商品,也未选购买乙种商品;‎ ‎ 表示事件:进入商场的3位顾客中至少有2位顾客既未选购甲种商品,也未选选购乙种商品;‎ ‎【点评】:此题重点考察相互独立事件有一个发生的概率;‎ ‎【突破】:分清相互独立事件的概率求法;对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用;‎ ‎27.(2008四川理) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为,购买乙种商品的概率为,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。‎ ‎ (Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;‎ ‎(Ⅲ)记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求的分布列及期望。‎ ‎27.【解】:记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,‎ ‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种,‎ 记表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种,‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ),故的分布列 ‎ 所以 ‎【点评】:此题重点考察相互独立事件的概率计算,以及求随机变量的概率分布列和数学期望;‎ ‎【突破】:分清相互独立事件的概率求法,对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用;‎ ‎28.(2008天津文)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求乙投球的命中率;‎ ‎(Ⅱ)求甲投球2次,至少命中1次的概率;‎ ‎(Ⅲ)若甲、乙两人各投球2次,求两人共命中2次的概率.‎ ‎28.本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.‎ ‎(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件,由题意得 ‎,‎ 解得或(舍去),所以乙投球的命中率为.‎ 解法二:设“甲投球一次命中”为事件,“乙投球一次命中”为事件,由题意得 ‎,‎ 于是或(舍去),故.‎ 所以乙投球的命中率为.‎ ‎(Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知,,.‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为.‎ 解法二:由题设和(Ⅰ)知,,.‎ 故甲投球2次至少命中1次的概率为.‎ ‎(Ⅲ)解:由题设和(Ⅰ)知,,,,.‎ 甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次.概率分别为 ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为 ‎.‎ ‎29.(2008天津理) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与,且乙投球2次均未命中的概率为.‎ ‎(Ⅰ)求乙投球的命中率;‎ ‎(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为,求的分布列和数学期望.‎ ‎29.解:(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B 由题意得 解得或(舍去),所以乙投球的命中率为 ‎(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知 可能的取值为0,1,2,3,故 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎30.(2008浙江文)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球,已知袋中共有10个球,从中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.求:‎ ‎ (Ⅰ)从中任意摸出2个球,得到的数是黑球的概率;‎ ‎(Ⅱ)袋中白球的个数。‎ ‎30.本题主要考查排列组合、概率等基础知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。‎ ‎ (Ⅰ)解:由题意知,袋中黑球的个数为 记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是黑球”为事件A,则 ‎(Ⅱ)解:记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件B。‎ 设袋中白球的个数为x,则 得到 x=5‎ ‎31.(2008浙江理)一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是。‎ ‎ (Ⅰ)若袋中共有10个球,‎ ‎(i)求白球的个数; ‎ ‎(ii)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。‎ ‎(Ⅱ)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。‎ ‎31.本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念,同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力.满分14分.‎ ‎(Ⅰ)解:(i)记“从袋中任意摸出两个球,至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为,则,‎ 得到.‎ 故白球有5个.‎ ‎(ii)随机变量的取值为0,1,2,3,分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ‎.‎ ‎(Ⅱ)证明:设袋中有个球,其中个黑球,由题意得,‎ 所以,,故.‎ 记“从袋中任意摸出两个球,至少有1个黑球”为事件B,则 ‎.‎ 所以白球的个数比黑球多,白球个数多于,红球的个数少于.‎ 故袋中红球个数最少.‎ ‎32.(2008重庆文)在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:‎ ‎(Ⅰ)恰有两道题答对的概率;‎ ‎(Ⅱ)至少答对一道题的概率.‎ ‎32.(本小题13分)‎ ‎ 解:视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.‎ ‎ 由独立重复试验的概率计算公式得:‎ ‎ (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法二:至少有一道题答对的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎33.(2008重庆理)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为,且各局胜负相互独立.求:‎ ‎(Ⅰ) 打满3局比赛还未停止的概率;‎ ‎(Ⅱ)比赛停止时已打局数的分别列与期望E.‎ ‎33.(本小题13分)‎ ‎   解:令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.‎ ‎    (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满3局比 赛还未停止的概率为 ‎       ‎ ‎    (Ⅱ)的所有可能值为2,3,4,5,6,且 ‎       ‎ ‎       ‎ ‎       ‎ ‎       ‎ ‎       ‎ ‎    故有分布列 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎       ‎ ‎       从而(局).‎