2015高考数学人教A版本（3-4定积分与微积分基本定理）一轮复习学案 9页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 3-4定积分与微积分基本定理课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(2013·山东济南一模)设a＝dx，b＝dx，c＝dx，则下列关系式成立的是(　　)‎ A.<< B.<< C.<< D.<< ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a＝dx＝ln2，b＝dx＝ln3，c＝dx＝ln5，‎ ‎∴＝ln2＝ln，＝ln3＝ln，＝ln5＝ln，而<<，∴<<，选C.‎ ‎2.‎ ‎(2012·深圳第一次调研)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意得，区域M的面积等于2sinxdx＝－2cosx|＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是，选B.‎ ‎3．(2013·湖北理，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)‎ A．1＋25ln5 B．8＋25ln C．4＋25ln5 D．4＋50ln2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由于v(t)＝7－3t＋，且汽车停止时速度为0，‎ 因此由v(t)＝0可解得t＝4，‎ 即汽车从刹车到停止共用4s.‎ 该汽车在此期间所行驶的距离 s＝(7－3t＋)dt＝[7t－＋25ln(t＋1)]| ‎＝4＋25ln5(m)．‎ ‎4．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是(　　)‎ A．2π B．3π C. D．π ‎[答案]　A ‎[解析]　如图，‎ S＝∫(1－cosx)dx ‎＝(x－sinx)|＝2π.‎ ‎[点评]　此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为，则对称性就无能为力了．‎ ‎5．(2013·安徽联考)设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足f ′(x)dx＝0的实数a有________个．(　　)‎ A．3　　　　B．‎2　‎　　　C．1　　　　D．0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵f ′(x)dx＝f(a)－f(0)＝0，∴a＝0或1或－1，又由积分性质知a>0，故a ‎＝1，选C.‎ ‎6．(2013·保定调研)已知函数f(x)＝，‎ ‎ (　　)‎ A. B．1‎ C．2 D. ‎[答案]　D ‎[解析]　‎ 二、填空题 ‎7.‎ ‎(2013·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)．曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入正方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ‎________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1，‎ ‎∴所求概率为1－＝.‎ ‎8．(2013·湖南省五市十校联考)(ex＋x)dx＝________.‎ ‎[答案]　e－ ‎[解析]　(ex＋x)dx＝(ex＋x2)|＝e＋－1＝e－.‎ ‎9．(2013·滨州一模)设a＝sinxdx，则二项式(a－)6展开式的常数项等于________．‎ ‎[答案]　－160‎ ‎[解析]　a＝sinxdx＝－cosx|＝2，Tr＋1＝C(2)6－rr＝(－1)r26－rCx3－r，‎ ‎∵Tr＋1为常数项，∴3－r＝0，∴r＝3，‎ ‎∴常数项为(－1)3×23×C＝－160.‎ ‎10．(2013·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　由题知所求面积为3x2dx＝x3|＝1.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(2013·长春一模)与定积分∫dx相等的是(　　)‎ A.∫sindx B.∫|sin|dx C．|∫sindx| D．以上结论都不对 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵1－cosx＝2sin2，‎ ‎∴∫dx＝∫|sin|dx ‎＝∫|sin|dx.‎ ‎12．(2013·日照一模)设(＋x2)3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为(　　)‎ A. B．9‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　(＋x2)3，即(x2＋)3的通项Tr＋1＝C(x2)3－r()r＝Cx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.‎ 则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝(3x－x2)dx＝(x2－x3)|＝.故选C.‎ ‎13．(2013·山西诊断)若函数，则f(2012)＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　‎ 二、填空题 ‎14．(2013·江西省七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝∫dx(n∈N*)，则S100＝________.‎ ‎[答案]　ln101‎ ‎[解析]　依题意，an＝lnx|＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.‎ ‎15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．‎ ‎[答案]　18‎ ‎[解析]　由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量，x＝、x＝4－y 三、解答题 ‎16.‎ 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．‎ ‎[解析]　f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，‎ ‎∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．‎ ‎∴S阴影＝[0－(－x3＋ax2)]dx ‎＝(x4－ax3)|＝a4＝，‎ ‎∵a<0，∴a＝－1.‎ 考纲要求 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．‎ 补充说明 ‎1．掌握本节内容需熟记微积分基本定理及积分的三条性质；明确曲边梯形面积(只取正值)与定积分(任意实数)的关系．抓住三个考点：定积分的计算，已知定积分求参数值，定积分的应用．‎ ‎2．用定义求定积分的一般方法是：‎ ‎①均匀分割：n等分区间[a，b]；‎ ‎②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；‎ ‎③求和：(ξi)·；‎ ‎④取极限：f(x)dx＝li(ξi)·.‎ ‎3．由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：‎ S＝[f(x)－g(x)]dx(如图)．‎ ‎4．本节重点体会数形结合思想，无限逼近的极限思想．‎ 备选习题 ‎1．设集合P＝{x|(3t2－10t＋6)dt＝0，x>0}，则集合P的非空子集个数是(　　)‎ A．2　　　　B．‎3　‎　　　C．7　　　　D．8‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意得(3t2－10t＋6)dt＝(t3－5t2＋6t)|＝x3－5x2＋6x＝0，由此解得x＝0或x＝2或x＝3.又x>0，因此集合P＝{2,3}，集合P的非空子集的个数是22－1＝3，选B.‎ ‎2． (　　)‎ A．0 B. C．2 D．4‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　 ‎ ‎3．设f(x)＝(1－t)3dt，则f(x)的展开式中x的系数是(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．－4 D．4‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　f(x)＝(1－t)3dt＝－(1－t)4|＝－(1－x)4，故展开式中x的系数为－×(－C)＝1，故选B.‎ ‎4．(2013·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝4xdx，则公比q的值为(　　)‎ A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ ‎[答案]　C ‎[解析]　因为S3＝4xdx＝2x2|＝18，所以＋＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选C.‎ ‎5．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则lnxdx＝(　　)‎ A．1 B．e C．e－1 D．e＋1‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是lnxdx＝(xlnx－x)|＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.‎ ‎6.‎ ‎(2014·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于(－x2)dx＝(x－x3)|＝，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于，选D.‎