极坐标与参数方程基本题型高考一轮复习资料极坐标与直角坐标普通方程与参数方程 的互相转化 8页

极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．‎ ‎【强化理解】‎ ‎1．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（　　）‎ A． B． C． D．4x2+9y2=1‎ ‎【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1②，‎ 把①代入②得到：故选：A ‎2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1．‎ ‎【解答】解：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1．‎ 将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，‎ 比较系数得λ＝，μ＝．‎ 所以将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1．‎ 亦可利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为＋＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得 ‎3、（2015春•浮山县校级期中）曲线x2+y2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（　　）‎ A．25x2+9y2=1 B．9x2+25y2=1 C．25x+9y=1 D．+=1‎ ‎【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x2+y2=1可得25（x′）2+9（y′）2=1，‎ 故选：A．‎ 二、极坐标 ‎1.公式：‎ ‎（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：‎ 点 直角坐标 极坐标 互化公式 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2. 极坐标与直角坐标的转化 ‎（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A：直角坐标化为极坐标的步骤 ①运用 ②在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．‎ B::极坐标化为直角坐标的步骤，运用 （2） 直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路 A：直角坐标转化成极坐标 思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。‎ 例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即 B：极坐标转化成直角坐标 类型①：直接转化---直接利用公式转化 例如：ρ(cosθ＋sinθ)＝1‎ 思路：第一步：去括号，ρcosθ＋ρsinθ＝1‎ ‎ 第二步：用公式转化，即 类型②：利用三角函数的两角和差公式，即 思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简 ‎ 第二步：利用公式转化 例如：直线的极坐标方程是 解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即 ‎ 第二步：第二步：利用公式转化 ‎ ‎ 类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为 例如：‎ 思路：直接代入 ‎(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)‎ 三、 曲线极坐标与直角坐标互换 ‎（一）圆的直角与极坐标互换 ‎1.圆的极坐标转化成直角坐标 类型一：‎ 详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。‎ 所以两边同时乘以，即 类型二：‎ 没有三角函数时，可以考虑两边同时平方 2. 圆的直角坐标转化成极坐标 解题方法一：拆开--公式代入 解题方法二：代入-拆-合 ‎【强化理解】‎ ‎1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．‎ ‎①将点M的极坐标化成直角坐标；‎ ‎②将点N的直角坐标(4，－4)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．‎ ‎【解答】解：①∵x＝4cosπ＝4cos＝4×＝－2，y＝4sinπ＝4sin＝2，∴点A的直角坐标是(－2，2)．‎ ‎②∵ρ＝＝8，tanθ＝＝－，θ∈[0，2π)，又点(4，－4)在第四象限，∴θ＝，∴对应的极坐标为．‎ ‎2、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．‎ ‎①y2＝4x; ②θ＝(ρ∈R)；‎ ‎③ρ2cos2θ＝4; ④ρ＝．‎ ‎【解答】解：①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ．化简得ρsin2θ＝4cosθ．‎ ‎②当x≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝，化简得y＝x(x≠0)；当x＝0时，y＝0．显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．‎ ‎③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4．‎ ‎④因为ρ＝，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此 ‎2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0．‎ ‎3．化极坐标方程ρ2cosθ﹣ρ=0为直角坐标方程为（　　）‎ A．x2+y2=0或y=1 B．x=1 C．x2+y2=0或x=1 D．y=1‎ ‎【解答】解：∵ρ2cosθ﹣ρ=0，‎ ‎∴ρcosθ﹣1=0或ρ=0，‎ ‎∵，‎ ‎∴x2+y2=0或x=1，‎ 故选C．‎ ‎4．将曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为（　　）‎ A．y+2x﹣1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x2+2y2﹣1=0 D．2y2+x2﹣1=0‎ ‎【解答】解：由曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0，及，‎ 可得x+2y﹣1=0．‎ ‎∴曲线ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0的极坐标方程化为直角坐标方程为x+2y﹣1=0．故选：B．‎ ‎5、在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.，求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎【解答】解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ 三、参数方程 ‎1.必记的曲线参数方程 已知条件 普通方程 参数方程 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α (α为参数)‎ 圆心在点M0(x0，y0)，半径为r (θ为参数)‎ 长半轴a和短半轴b 椭圆＋＝1(a＞b＞0)‎ (θ为参数)‎ 实轴a和虚轴b 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)‎ (θ为参数)‎ 已知p 抛物线y2＝2px(p＞0)‎ 2. 参数方程与普通方程的转化 （1） 参数方程转化成普通方程 类型一：含t的消参 思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：‎ 思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，‎ 思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。‎ 例如：曲线C：‎ 解：思路一：代入消元：∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.‎ ‎ 思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.‎ 类型二：含三角函数的消参 思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加 移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边 化同：把三角函数前面的系数化成相同 平方：两道式子左右同时平方 相加：平方后的式子进行相加 ‎（注：有时候并不需要全部步骤）‎ 例如：圆消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.‎ 解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）‎ 平方：‎ 相加：‎ 2. 参数方程涉及题型 （1） 直线参数方程的几何意义 （2） 距离最值（点到点、曲线点到线、）‎ ‎【强化理解】‎ ‎1、直线l的参数方程为为参数）．写出直线l的直角坐标方程；‎ ‎【解答】直线l的参数方程为为参数）．‎ 由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得 根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）‎ ‎2、．将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（　　）‎ A．y=x﹣2 B．y=x﹣2（0≤y≤1） C．y=x+2（﹣2≤x≤﹣1） D．y=x+2‎ ‎【解答】解：将参数方程（θ为参数）化为普通方程为：y=x+2，（﹣2≤x≤﹣1）．‎ 故选：C．‎