江苏版高考数学一轮复习专题17参数方程与极坐标讲理 8页

专题11.7 参数方程与极坐标 ‎【最新考纲解读】‎ ‎【考点深度剖析】‎ ‎ 1. 江苏高考中，本知识点考查的主要内容有：极坐标与参数方程的基本概念、公式的理解与掌握.特别是极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程之间的互化，以及参数方程的简单应用是本知识点考查的重中之重.‎ ‎2. 重点掌握将极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，体会参数思想和数形结合思想的应用，明确解析几何的精髓.‎ ‎【课前检测训练】‎ ‎【练一练】‎ ‎1.求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程.‎ 解　点(2，)在直角坐标系下的坐标为 ‎(2cos ，2sin )，即(0,2).‎ ‎∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.‎ 即为ρsin θ＝2.‎ ‎2.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求△AOB(其中O为极点)的面积.‎ 解　由题意知A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin ＝3.‎ ‎3.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.‎ ‎4.直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率.‎ 解　将直线l的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.‎ ‎5.已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值.‎ 解　直线l1的方程为y＝－x＋，斜率为－；‎ 直线l2的方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.‎ ‎∵l1与l2垂直，‎ ‎∴(－)×(－2)＝－1⇒k＝－1.‎ ‎6.已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求PF的值.‎ 解　将抛物线的参数方程化为普通方程为y2＝4x，则焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，又P(3，m)‎ 在抛物线上，由抛物线的定义知PF＝3－(－1)＝4.‎ ‎7.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长.‎ ‎【题根精选精析】‎ 考点1:极坐标系 ‎【1-1】函数y＝sin(2x＋)经伸缩变换后的解析式为________．‎ ‎【答案】y′＝sin(x′＋)‎ ‎【解析】解析：由得 ①‎ 将①代入y＝sin(2x＋)，得2y′＝sin(2·x′＋)，‎ 即y′＝sin(x′＋)．‎ ‎【1-2】双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标为________．‎ ‎【答案】F1(－5,0)，F2(5,0)‎ ‎【解析】解析：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入x2－＝1得－＝1，‎ 化简得－＝1，‎ 即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．‎ ‎【1-3】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．‎ ‎【答案】（1）(x－2)2＋y2＝.（2） ‎【1-4】在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．‎ ‎【答案】相交 ‎【解析】直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝0<1.故直线与圆相交．‎ ‎【1-5】已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin(θ＋)＝2.‎ ‎(1)求曲线C在极坐标系中的方程；‎ ‎(2)求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【答案】（1）ρ＝4cos θ.（2）2.‎ ‎【基础知识】‎ ‎1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与极坐标 ‎ (1)极坐标系：‎ 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．‎ ‎(2)极坐标：‎ 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．‎ 一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．‎ ‎3．极坐标与直角坐标的互化 设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：‎ 点M 直角坐标(x，y)‎ 极坐标(ρ，θ)‎ 互化公式 ‎4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 ‎(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) ‎ ‎(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos_θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a(0＜θ＜π)‎ ‎【思想方法】.‎ ‎1．确定极坐标方程的四要素 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎2．直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤 ‎(1)运用ρ＝，tan θ＝(x≠0)‎ ‎(2)在[0,2π)内由tan θ＝(x≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．‎ ‎3. 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．‎ ‎4. 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．‎ ‎【温馨提醒】直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．‎ 考点2：参数方程 ‎【2-1】若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．‎ ‎【答案】－ ‎【解析】解析：∵＝＝－，∴tan α＝－.‎ ‎【2-2】参数方程为(0≤t≤5)的曲线为________．(填“线段”“射线”“圆弧”或“双曲线的一支”)‎ ‎【答案】线段 ‎【解析】化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，‎ 即x－3y－5＝0，‎ 由于x＝3t2＋2∈[2,77]，‎ 故曲线为线段．‎ ‎【2-3】已知P1，P2是直线(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段P1P2的中点到点P(1，－2)的距离是________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由t的几何意义可知，线段P1P2的中点对应的参数为，P对应的参数为t＝0，‎ ‎∴线段P1P2的中点到点P的距离为.‎ ‎【2-4】已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝4相交于B，C两点，则|BC|的值为________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【2-5】曲线(θ为参数)中两焦点间的距离是________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】曲线化为普通方程为＋＝1，∴c＝，故焦距为2.‎ ‎【基础知识】‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎【思想方法】‎ ‎1．化参数方程为普通方程的方法 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．‎ ‎2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0＝；‎ ‎(2)|PM|＝|t0|＝；‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|；‎ ‎(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ ‎【温馨提醒】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．‎ ‎【易错问题大揭秘】 ‎ 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.‎